An S-Type Singular Value Inclusion Set for Rectangular Tensors

用$\mathbb{R}$($\mathbb{C}$)表示实(复)数集，p，q，m，n为正整数，m，n≥2，且N={1，2，…，n}.记A=(a_{i1…ipj1…jq})，若

则称A为一个(p，q)阶m×n维实矩形张量，记作A∈$\mathbb{R}$^{[p，q；m，n]}.若存在λ∈$\mathbb{C}$和非零向量x=(x₁，…，x_m)^T，y=(y₁，…，y_n)^T满足方程组

则称λ为A的奇异值，x，y为相应于λ的左、右特征向量，其中l=p+q，Ax^p-1y^q和x^[l-1]为m维向量，它们的第i个分量为

Ax^py^q-1和y^[l-1]为n维向量，它们的第j个分量为

弹性张量是满足p=q=2且m=n=2，3的矩形张量，其在非线性弹性材料学中有着重要的应用^[1].文献[10]就m=n这种情形对矩形张量的奇异值进行了定位，给出了如下包含集定理：

定理1^[10]  设A∈$\mathbb{R}$^{[p，q；n，n]}，则

其中σ(A)表示A的所有奇异值所成的集合，

为了减少计算量，文献[11]通过划分N为非空真子集S及其补集S给出了如下S-型奇异值包含集定理：

定理2^[11]  设A∈$\mathbb{R}$^{[p，q；n，n]}，S为N的非空真子集，S为S在N中的补集，则

定理3  设A∈$\mathbb{R}$^{[p，q；n，n]}，S为N的非空真子集，S为S在N中的补集，则

证  设λ∈σ(A)，x=(x₁，x₂，…，x_n)^T和y=(y₁，y₂，…，y_n)^T分别为λ对应的左、右特征向量，

则|x_s|和|x_t|中至少有一个是正数，|y_g|和|y_h|中至少有一个是正数.下面分4种情形来证明.

情形1  假设V_max=|x_s|，则|x_s|>0.任取j∈S，(1)式的第s个方程可写为

情形1.1  若|x_j|≥|y_j|，则对(3)式取模，并应用三角不等式，得

即

若(4)式中|x_j|>0，则由(1)式的第j个方程

得

将(4)式和(5)式相乘，并消去|x_s|^l-1|x_j|^l-1>0，可得

若(4)式中|x_j|=0，则由|x_s|>0得

此时(6)式仍成立.

情形1.2  若|y_j|>|x_j|，类似地可得

若(7)式中|y_j|>0，由(2)式的第j个方程

得

将(7)式和(8)式相乘，并消去|x_s|^l-1|y_j|^l-1>0，可得

若(7)式中|y_j|=0，则由|x_s|>0得

此时(9)式仍成立.

由(6)式和(9)式得

此时$\lambda \in {{\overset{\wedge }{\mathop{\gamma }}\, }_{s, j}}$(A).由j∈S的任意性得$\lambda \in \bigcap\limits_{j\in \bar{S}}{{{\overset{\wedge }{\mathop{\gamma }}\, }_{s, j}}}$(A).由s∈S得$\lambda \in \bigcup\limits_{i\in S}{\bigcap\limits_{j\in \bar{S}}{{{\overset{\wedge }{\mathop{\gamma }}\, }_{i, j}}}}$(A).

类似于情形1的证明，可完成其它3种情形的证明：

情形2  假设V_max=|y_g|，此时$\lambda \in \bigcup\limits_{i\in S}{\bigcap\limits_{j\in \bar{S}}{{{{\tilde{\gamma }}}_{i, j}}}}$(A).

情形3  假设V_max=|x_t|，此时$\lambda \in \bigcup\limits_{i\in \bar{S}}{\bigcap\limits_{j\in S}{{{\overset{\wedge }{\mathop{\gamma }}\, }_{i, j}}}}$(A).

情形4  假设V_max=|y_h|，此时$\lambda \in \bigcup\limits_{i\in \bar{S}}{\bigcap\limits_{j\in S}{{{\overset{\wedge }{\mathop{\gamma }}\, }_{i, j}}}}$(A).

由定理1、定理2和定理3易得如下比较定理：

定理4  设A∈$\mathbb{R}$^{[p，q；n，n]}，S为N的非空真子集，S为S在N中的补集，则

例1  设A∈$\mathbb{R}$^{[2，2；3，3]}，其中a₁₁₁₁=a₁₁₂₂=a₁₁₃₃=a₁₂₂₂=a₁₂₃₁=a₁₂₃₃=a₁₃₁₃=a₁₃₂₂=a₁₃₂₃=a₁₁₃₂=a₂₁₁₃=a₂₁₂₂=a₂₁₂₃=a₂₂₁₃=a₂₃₂₃=a₂₃₃₁=a₂₃₃₃=a₃₁₁₃=a₃₁₂₁=a₃₁₂₃=a₃₁₃₁=a₃₂₁₁=a₃₂₂₃=a₃₃₁₃=a₃₃₂₁=a₃₃₂₃=a₃₃₃₂=1，a₂₁₁₁=a₂₁₃₃=a₂₂₂₂=a₂₃₁₂=a₂₃₃₂=a₃₁₁₂=a₃₁₂₂=a₃₁₃₂=a₃₁₃₃=a₃₂₁₂=a₃₂₁₃=a₃₂₂₁=a₃₂₂₂=a₃₂₃₁=a₃₂₃₂=a₃₂₃₃=a₃₃₁₁=a₃₃₂₂=a₃₃₃₁=2，a₃₃₃₃=3，a₁₁₃₁=9，a₂₁₃₁=10，a₂₁₂₁=14，其余元素均为0.下面对A的奇异值进行定位.

取S={3}，S={1，2}，由定理1和定理2均得

由文献[12]中定理3.3得

由定理3得

显然γ^S(A)⊆T(A)⊆Ω^S(A)⊆Ω(A).

例1表明：由定理3得到的张量奇异值包含集比由文献[10]中定理2.2、文献[11]中定理1和文献[12]中定理3.3得到的包含集精确.

例2  设A∈$\mathbb{R}$^{[2，2；2，2]}，其中a₁₁₁₁=a₁₁₁₂=a₁₂₂₂=a₂₁₁₂=a₂₁₂₁=a₂₂₂₁=1，其余元素均为0.经计算得所有奇异值为±3，±1.677 4±0.672 2i，±1.245 2±0.632 2i，±1.141 7±0.201 8i，±1.068 2±1.217 5i，±1，±0.859 9±0.507 2i，±0.822 6，±0.337 3±1.812 5i，±0.209 0±1.037 2i，±0.137 8±1.253 0i，0.取S={1}，S={2}，由定理3得γ^S(A)={z∈$\mathbb{C}$：|z|≤3}.显然σ(A)⊆γ^S(A).

例2表明：由定理3得到的张量奇异值包含集可以恰好包含所有的奇异值.