On Image Watermarking Algorithm Based on Frequency Domain Transformation and Geometric Distortion Correction

四元数是一个复数的推广，它可表示为具有一个实部和3个虚部的四维复数，其模型如下^[8]：

其中，w，x，y，z均为实数；i，j，k为虚部矢量，三者之间的关系如下：

由于彩色图像f(x，y)包含了R，G，B 3个分量，因此，也可以利用四元数来充分描述三者之间的关系：

其中，f_R(x，y)，f_G(x，y)，f_B(x，y)分别是f(x，y)的R，G，B分量.

Fourier变换是将图像从空域转换到频域，可较好地反映像素的灰度变化，是图像信号处理的常用方法^[9].为了拓展Fourier变换的优势，Ouyang等人^[9]将四元数与Fourier变换结合，提出了四元离散Fourier变换，并将其用于图像信号处理^[9]中：

其中，f(u，v)是彩色图像f(x，y)的四元离散Fourier变换结果；MN表示f(x，y)的尺寸为M ×N.

依据文献[9]可知，式(4)对应的可逆变换为：

为了展示式(4)的四元数特点，将其转变为如下模型：

其中，A(u，v)是彩色图像f(x，y)的四元离散Fourier变换对应的实部；C(u，v)，D(u，v)，E(u，v)则是相应的虚部.

以图 1(a)为例，利用式(4)对其处理后，得到的实部与3个虚部分别见图 1(b)-图 1(e).

由于多尺度多分辨率特征，小波变换被广泛用于图像水印、图像加密等领域.但是，传统的图像小波变换容易受到图像平移的影响，使其鲁棒性不佳，为此，本文引入四元小波变换来解决此不足，它具有近似平移不变性和丰富的相位信息.对于图像f(x，y)，其四元小波变换函数f_A(x，y)如下所示：

其中，f_D(x，y)是离散小波变换结果；H₁，H₂是部分Hilbert变换；H_T是总的Hilbert变换.

利用四元小波变换处理f(x，y)，输出系数矩阵Q为：

其中，L代表低频；H代表高频；φ()是尺度函数；ϕ()是小波函数.

在式(8)中，每一行均对应一个四元数：

对于尺寸为M×N的初始图像f(x，y)，经过l级的离散小波变换分解后，得到一个(2^2-lM)(2^2-lN)维的系数矩阵Q.以图 1(a)为对象，对其进行二级离散小波变换分解，其实部与3个虚部分别见图 2(a)-图 2(d).

图像特征的多尺度表示是很重要的.随着多尺度几何分析在许多领域中的广泛应用，国内外学者提出了大量的统计模型，统计模型的目的就是用少量的统计参数来描述图像的分布特征，当前，较为成熟的统计模型有：广义高斯分布、柯西分布、拉普拉斯分布以及BKF分布^[12].为了利用载体图像的鲁棒特征来训练SVM机制，需要选择出四元小波变换子带系数的最佳拟合分布.在本文中，选择二级四元小波变换的6个高通子带进行测试分析，包括实部系数的水平、纵向以及对角线细节，和虚部系数的水平细节. 图 3显示了二级四元小波变换的6个高通子带的经验直方图的拟合结果.依图可知，BKF分布可以最好地拟合四元小波变换子带对应的经验直方图.因此，本文选用BKF分布的形状与尺度参数来表示图像的鲁棒特征.

根据文献[13]可知，BKF分布的概率密度函数为

其中，p>0，c>0分别是拟合分布的形状、尺度参数；Γ(t)=∫₀^∞e^-uu^t-1du；K()是改进的贝塞尔函数^[14].

依据形状、尺度参数，BKF分布的特征函数可表示为

根据上述公式可知，当p=1时，式(11)是一个双指数概率密度函数；当p＞1，式(11)接近高斯分布；当p＜1，式(11)的分布呈现尖峰形态.不同的形状参数对应的BKF分布形态见图 4.

本文所设计的彩色水印方案的数据隐藏过程如图 5所示，主要分为水印数据的嵌入、同步校正与水印检测3个步骤.

1) 令I={f(x，y)，0≤x＜M，0≤y＜N}是尺寸为M×N的彩色载体图像.其中，f(x，y)是(x，y)位置处的像素值. W={w(i，j)，0≤i＜P，0≤j＜Q}是二值水印，尺寸为P×Q，且w(i，j)∈[0, 1].为了改善算法的不可感知性，本文通过仿射变换^[15]来混淆二值水印，充分破坏其像素空间关系.其中，仿射映射为

其中，(x，y)、(x′，y′)分别是加密前后的像素点坐标；a，b，c，d都是变形系数；e，f是平移系数.

通过式(12)的置乱后，可获取加密水印W′={w′(i，j)，0≤i＜P，0≤j＜Q}.

2) 由于图像经过一系列的旋转与反向旋转后，图像的边缘像素通常会丢失.为了改善水印图像的鲁棒性，本文计算出载体图像的最大中心区域，该区域内被旋转与反向旋转操作后，不会丢失像素，具有较高的稳健性.对图像旋转45°时，可获取其最大中心区域，见图 6.为了便于后续的表述，用I_C={g(x，y)，0≤x，y＜t}来表示最大中心区域，其中，t= $\sqrt {2} $/2min(M，N).

3) 随后，利用四元离散Fourier变换章节的内容，处理最大中心区域I_C，输出一个实部系数矩阵A和3个虚部系数矩阵C，D，E.

4) 人眼对四元离散Fourier变换的高频信息较为敏感，当把二者水印信息嵌入到这些高频系数中时，会导致其不可感知性较低.因此，在本文算法中，将二值水印嵌入到四元离散Fourier变换的低频系数中.根据四元离散Fourier变换理论可知，当水印图像经过可逆四元离散Fourier变换处理后，其仍需表示为一个纯四元数形式，使其在RGB颜色空间能够传输高质量的水印图像.所以，为了得到彩色水印图像的纯四元数形式，除了将水印嵌入低频系数A(i，j)之外，还必须修改对称四元数傅立叶变换的实部系数A(L-i，L-j)，见图 7.根据文献[6]，本文设计了同步水印嵌入方法：

其中，A(i，j)代表初始的四元离散Fourier变换系数；A′(i，j)是嵌入水印后的四元离散Fourier变换系数；Δ为水印强度因子；w′(x，y)为加密水印信息；L为系数矩阵的维数.

在进行式(13)的数据隐藏过程中，Δ值的大小对水印性能影响较大.为了兼顾良好的隐秘性与鲁棒性，本文引入人眼视觉系统HSV^[16-17]来优化Δ.基于HSV嵌入强度Δ可自适应于彩色图像的特征，以确保最高的透明性.为此，根据彩色图像I的亮度M_L、纹理M_T与边缘掩码，获取嵌入强度Δ：

其中，ρ∈[0.4，0.5]是权重因子；M_L为亮度掩码；M_T为纹理掩码；I是彩色载体；E_DI()是常见的边缘算子；E_DE()是扩展操作；F是滤波操作；Z为HSV掩码.

本文利用HSV掩码来控制水印的嵌入强度Δ.将图 8(a)作为对象，其对应的M_L，M_T以及E_DI分别见图 8(b)-8(d).最终形成的HSV掩码见图 8(e).

为了确保提取的二值图像无失真，本文联合QWT(Quaternion Wavelet Transform)与FSVM(Fuzzy Support Vector Machine)方法^[17]，来恢复受攻击的水印图像.令水印图像为I′{f′(x，y)，0≤x≤M′，0≤y≤N′}.则失真校正步骤为：

1) 形成训练数据库.为了充分训练FSVM，需构建合适的训练图像集H^k(k=0，1，2，…，K-1).首先，将3种内容修改类型施加于彩色水印图像，从而形成了训练样本库Ω_k.这些几何失真类型的参数分别用t_x^k，t_y^k，S^k，θ^k来表示.其中，t_x，t_y是沿着X，Y轴的运动距离；S是尺度因子；θ为旋转角度.

2) 利用QWT，对这些训练图像H^k(k=0，1，2，…，K-1)进行二级分解；

3) 根据图 3所示的6个高通子带的BKF分布的形状和尺度参数，建立特征矢量p₁^k，c₁^k，p₂^k，c₂^k，p₃^k，c₃^k，p₄^k，c₄^k以及p₅^k，c₅^k，p₆^k，c₆^k.再联合几何失真参数t_x^k，t_y^k，S^k，θ^k，形成了相应的训练样本，

4) 把训练样本Ω作为FSVM的输入矢量，对FSVM实施训练，最终得到参数值t_x^′k，t_y^′k，S^′，θ^′k.根据预测结果，对受到攻击的彩色水印图像完成校正.

为了验证所提校正方法的预测精度，从USC-SIPI数据集^[18]中任意选择一幅彩色图像作为此次试验的对象，见图 9(a)；再利用如下几何失真类型对其修改：10°的旋转攻击、沿Y轴平移15个单位、X与Y轴同时移动15个单位、缩放比例为0.5，输出一组训练数据集，如图 9(b)-9(e)所示.再利用这些数据来训练FSVM，以恢复遭受内容修改的水印图像.

再次从USC-SIPI数据集中挑选彩色样本Barbara实施恢复测试，如图 10(a)所示，再对其施加表 1中的内容修改类型，得到的数据见图 10(b)，10(d)，10(f)，10(h).通过校正过程，得到的恢复图像见图 10(c)，10(e)，10(g)，10(i)，其预测的参数见表 1.由表 1数据和图 10可知，所提的几何校正机制能够准确恢复攻击图像，且预测误差较小.

通过稳定几何失真校正方法处理后，可获取正确的水印图像为I^*.随后，通过如下水印提取方法，将二值水印从I^*中检测出来，步骤如下：

1) 根据图 6所示，计算I^*的最大中心区域I_c^*={g^*(x，y)，0＜x，y＜t}；

2) 利用四元Fourier变换处理最大中心区域I_c^*，输出实部系数矩阵A^*和3个虚部系数矩阵C^*，D^*，E^*；

3) 根据如下水印提取方法，从实部系数矩阵A^*中的低频系数中复原加密水印：

4) 通过式(18)，可获取加密水印W^*={w^*(i，j)，0＜i＜P，0＜j＜Q}；随后，对W^*进行可逆仿射变换，获取二值水印.

基于Matlab软件完成该算法的性能测试，同时，为了体现该方案的先进性，将文献[4-6]当作对比组.仿真条件为：DELL vostro1088，3GHz，双核CPU，400GB硬盘以及4G内存.为了兼顾一般性，从USC-SIPI数据集中任意选择3幅彩色载体，见图 11(a)-11(c)，尺寸均为256×256；同时，将图 11(d)-11(f)作为二值水印，其大小是64×64.其中，训练图像K=100，a=b=c=1，d=2，e=f=1.5；且选择RBF函数作为FSVM的核函数.衡量指标：(1)不可感知性；(2)鲁棒性.

借助本文所提算法、文献[4]、文献[5]以及文献[6]的水印隐藏过程，把图 11(d)-11(f)分别嵌入到图 11(a)-11(c)中，输出的水印数据见图 12.根据水印结果可知，这4种方案都具备良好的不可感知性，非授权用户不能从中直接得到任何有用的线索.

为了体现4种方案的差异，为此，本文利用差分图来客观量化所提算法与文献[4]、文献[5]、文献[6]的优劣，通过分析水印图像与初始载体的灰度分布拟合程度来评估.将图 12(a)、图 12(c)-12(f)视为对象，嵌入率为0.4 bpp，根据文献[3]的方法，输出的差分图曲线如图 13所示.根据测试数据可知，本文方法的水印图像对应的灰度分布与初始载体的拟合度最高，阶梯效应非常小，见图 13(a)；文献[6]的差分图也比较理想，无明显的阶梯效应，与所提算法较为接近，但是，其水印图像的灰度分布不理想，见图 13(d).而文献[4]和文献[5]方法的差分图曲线不佳，分别见图 13(b)与图 13(c).原因是所提技术通过联合多种视觉因素来得到子块的量化步长，最大化了水印图像的不可感知性；并根据嵌入强度设计了同步水印嵌入方法，将加密的二值水印嵌入到彩色载体的四元Fourier变换低频系数中，对载体的修改范围较小.而文献[6]是将水印信息嵌入到整个图像的四元Fourier变换系数中，对载体图像的修改范围较大，而且水印嵌入过程中没有考虑人眼视觉特性，使其不可感知性要低于所提技术.文献[4]虽然也对二值水印进行了加密处理，但是，该技术是将水印信息嵌入到整个载体的极谐波变换矩阵中，忽略了人眼视觉特性，对载体图像的修改范围较大，导致其不可感知性不理想.文献[5]利用人类视觉系统的隐秘特性，对每个图像块的纹理特征和边缘特征进行分析，选择隐秘性好的图像块作为嵌入位置，并将加密后的水印信息嵌入到离散小波变换的低频系数中，具有较高的不可感知性.但是，此技术在水印嵌入过程中，没有考虑水印嵌入强度对水印结果的影响，采用经验值来完成水印嵌入，容易造成水印“溢出”或“下溢”的问题，使其隐秘性能要略低于所提技术.

为了突出所提技术的抗几何失真能力，以水印图像(图 9(c)-9(e))为样本，分别将方差为0.02的椒盐噪声攻击、45°的旋转、1倍的缩放、以及“旋转+缩放”的组合攻击施加给每幅水印图像，并基于本文所提算法、文献[4]、文献[5]和文献[6]的水印提取机制来复原二值水印，利用PSNR与NC来客观评价复原水印的失真度，数据见表 2.根据测试数据可知，4种技术所提取的二值水印与源水印数据间存在差异，然而，本文方案的鲁棒性最强，其提取的二值水印质量最高，对应的PSNR与NC值始终是最大的.文献[6]算法的抗几何失真能力比较强，要优于文献[4]和文献[5]，其对应的PSNR与NC值始终与所提算法较为接近.而文献[4]、文献[5]的抗几何失真能力不佳，当水印图像被攻击时，二者所复原的二值水印均有不同程度的失真，对应的PSNR与NC值都要小于所提技术.主要是因为本文所提水印算法利用被攻击后水印图像的6个高通子带的BKF分布的形状和尺度参数作为特征矢量来训练FSVM模型，这些参数更适合描述图像特征，从而有效提高了二值水印的提取质量.而文献[6]与所提算法类似，都是构建了几何校正方法，将彩色载体的低阶伪Zernike矩阵作为特征矢量来训练最小二乘支持向量机LS-SVM模型，利用训练好的LS-SVM来预测几何失真参数，这些预测结果来校正水印图像，增强了二值水印的提取质量，但是，低阶伪Zernike矩阵无法提供图像的多尺度分析，使其不能很好地描述载体的鲁棒特征，使其几何校正能力要略低于本文所提算法.文献[4]则是利用水印图像的极谐波变换矩阵对应的不变性来抵御几何失真，但是，这种极谐波变换难以抵御混合攻击.文献[5]采用的SIFT技术对噪声攻击较为敏感，存在一定的伪特征点，且SIFT特征无法有效描述图像的分布特征，限制其稳健性.

为了确保提取水印信息的质量，本文设计了多元频域变换与稳定几何失真校正的彩色图像水印算法.利用仿射变换来混淆二值水印图像，高度破坏其像素的空间关系，改善水印信息的隐秘程度.利用四元离散Fourier变换和四元小波变换，分别对彩色载体的最大中心区域进行频域变换和二级分解，降低图像对几何变换的敏感性；并根据系数分布函数对应的形状与尺度参数来构建训练样本，完成训练并恢复篡改水印图像的位置.测试数据表明了所提算法具有较高的鲁棒性与不可感知性，所复原的二值水印的失真度较小.