Positive Solutions for a Class of Nonhomogeneous Kirchhoff Type Equation with Critical Exponent in High Dimension

考虑如下一类具有临界指数的非齐次Kirchhoff型方程：

其中Ω⊂$\mathbb{R}$^N(N≥4)是非空有界开集，a，b，λ>0为参量，$f \in L^{\frac{2 *}{2^{*}-1}}$(Ω)是非零非负函数.

近期，如下带临界指数的Kirchhoff型方程被广泛研究：

其中Ω⊂$\mathbb{R}$³(N≥3)是非空有界开集，0≤q < 2^*-1.当N=3，q=0时，文献[1-3]先后利用变分法和临界点理论研究了方程(2)，其中文献[3]完善了文献[1]的结果，补充了文献[2]的结果.本文在文献[1-3]的基础上研究方程(1)正解的存在情况.当N=4，1≤q < 3时，文献[4]获得了方程(2)正解的存在性结果和正解存在的条件.随后，文献[5]在N≥4，1 < q < 3的情况下获得了方程(2)正解的存在性以及解的多重性，补充完善了文献[4]中相应的结果.文献[6]补充了文献[4]中q=1的结果.当N≥4，0 < q < 1时，文献[7]研究了方程(2)正解的存在性与解的多重性.当N=4，-1 < q < 0时，文献[8]研究了方程(2)正解的存在性和多解性条件.特别地，文献[9]证明了文献[4]提出的部分公开方程.文献[10-11]也研究了Kirchhoff型方程正解的存在性.

为了寻找方程(1)的正解，定义其对应的能量泛函I为

其中$u = {\left( {\int_\mathit{\Omega } | \nabla u{|^2}{\rm{d}}x} \right)^{\frac{1}{2}}}$为Sobolev空间H₀¹(Ω)的范数，u^±=max{±u，0}.显然，I∈C¹(H₀¹(Ω)，$\mathbb{R}$)，且∀φ∈H₀¹(Ω)有

众所周知，方程(1)的解与其能量泛函I的临界点是一一对应的.记$|u|_{p}=\left(\int_{\Omega}|u|^{p} \mathrm{d} x\right)^{\frac{1}{p}}$为空间L^p(Ω)的范数，且S为最佳Soboleve嵌入常数，即

定理1  假设a，b，μ>0，N≥4，$f \in L^{\frac{2 *}{2^{*}-1}}$(Ω)是非零非负函数，则存在λ_*>0，使得对∀0 < λ < λ_*，方程(1)都存在一个正局部极小解u_*，满足I(u_*) < 0.

证  根据Hölder不等式和(3)式，可得

从而结合(3)式和(4)式，有

一方面，当N=4时，2^*=4.根据(5)式，可得

当0 < μ≤bS²时，I在空间H₀¹(Ω)上是强制的.从而结合(5)式，容易得证：存在正数R，ρ，λ_*，使得对∀0 < λ < λ_*都有

其中S_R={u∈H₀¹(Ω)：‖u‖=R}.当μ>bS²时，对∀t>0，令

容易得到$g^{\prime}(t)=\frac{a}{2}-\frac{3\left(\mu-b S^{2}\right)}{4} t^{2}$.令g′(t)=0，可得$t_{\max }=\left[\frac{2 a}{3\left(\mu-b S^{2}\right)}\right]^{\frac{1}{2}}$，且

取R=t_max>0，有

从而，结合(5)式，存在ρ>0，使得对∀0 < λ < λ_*都有(6)式成立.

另一方面，当N≥5时，2^* < 4.故对∀μ>0，I在空间H₀¹(Ω)上是强制的.从而，容易得到(6)式成立.

因此，对∀N≥4，μ>0，存在正数R，ρ，λ_*，使得对∀0 < λ < λ_*都有(6)式成立.对∀u∈H₀¹(Ω)且u⁺≠0，有$\mathop {\lim }\limits_{t \to {0^ + }} \frac{{I(tu)}}{t} = - \lambda \int_\mathit{\Omega } f (x){u^ + }{\rm{d}}x < 0$.因此，对∀u∈H₀¹(Ω)且u⁺≠0，当t>0充分小时有I(tu) < 0.从而，$m = \mathop {\inf }\limits_{u \in \overline {{B_R}} } I(u) < 0$有定义.接下来，证明泛函I在H₀¹(Ω)中能达到局部极小值m，即存在u_*∈$\overline {{B_R}} $使得I(u_*)=m，其中$\overline {{B_R}} $={u∈H₀¹(Ω)}：‖u‖≤R}为一个闭球.

根据下确界的定义，存在极小化序列{u_n}⊂$\overline {{B_R}} $，使得$\lim\limits_{n \rightarrow \infty} I\left(u_{n}\right)=m<0$.从而，对{u_n}的一个子列(仍记为{u_n})，存在一个u_*∈H₀¹(Ω)，使得当n→∞时有

注意到$\overline {{B_R}}$是闭凸集，从而$\overline {{B_R}}$是弱闭的，因此u_*∈$\overline {{B_R}}$.下证I(u_*)=m.根据控制收敛定理，可得

不妨假设w_n=u_n-u_*，根据以及Brézis-Lieb引理，可得

其中o(1)是n→∞时的无穷小量.由(6)式，对∀0 < λ < λ_*有

由(11)式和m < 0可知，存在ε₀>0，使得对∀n∈$\mathbb{N}$₊都有‖u_n‖≤R-ε₀.从而，结合u_*∈$\overline {{B_R}}$以及(9)式可知，当n充分大时有w_n∈$\overline {{B_R}}$.再次用(6)式，可得

再结合(8)-(10)式，有

从而，当n→∞时，有m≥I(u_*).又因为u_*∈→$\overline {{B_R}}$，从而有I(u_*)≥m.因此I(u_*)=m.即u_*是方程(1)的非零解.从而，对∀φ∈H₀¹(Ω)有

特别地，取φ=$u_*^ - $，可得

从而$u_*^ - $=0，即u_*≥0在Ω中几乎处处成立.因此，u_*是一个非零非负解.再由强极大值原理可得，u_*是方程(1)的正解且I(u_*)=m < 0.定理1证毕.

接下来，假设N=4，μ>bS²，研究方程(1)的山路解.首先证明泛函I在H₀¹(Ω)上满足局部(PS)_c条件.此时，$I(u) = \frac{a}{2}u{^2} + \frac{b}{4}u{^4} - \frac{\mu }{4}\left| {{u^ + }} \right|_4^4 - \lambda \int_\mathit{\Omega } f (x){u^ + }{\rm{d}}x$.

引理1  假设a，b>0，μ>bS²，$f \in L^{\frac{4}{3}}$(Ω)是一个非零非负函数，则对任意的$c<\frac{a^{2} S^{2}}{4\left(\mu-b S^{2}\right)}-D \lambda^{2}$，I在H₀¹(Ω)上满足局部(PS)_c条件，其中$D=\frac{9|f|_{\frac{4}{3}}^{2}}{16 a S}$.

证  假设{u_n}使得I在H₀¹(Ω)上满足局部(PS)_c条件，即当n→+∞有

我们断言：{u_n}是H₀¹(Ω)上的有界序列.事实上，根据(12)式、(3)式以及Hölder不等式，可得

这就意味着{u_n}在H₀¹(Ω)上有界.从而存在子列，仍记为{u_n}，以及u∈H₀¹(Ω)为其弱极限，记w_n=u_n-u.当n→∞时，将u_*换成u，则(7)-(10)式都成立.由(8)式和(12)式，可得

进一步，结合(9)-(10)式，可得

再次利用(12)式，可得

一方面，根据(14)式以及Young不等式，可得

另一方面，根据(13)式和(14)式，可得

由(3)式，可得$\int_\mathit{\Omega } {{{\left( {w_n^ + } \right)}^4}} {\rm{d}}x\int_\Omega {{{\left| {{w_n}} \right|}^4}} {\rm{d}}x\frac{{{{\left\| {{w_n}} \right\|}^4}}}{{{S^2}}}$.从而根据(16)式，可得al²+bl⁴+bl²‖u‖²≤$\frac{\mu l^{4}}{S^{2}}$，这就意味着$l^{2} \geqslant \frac{\left(a+b\|u\|^{2}\right) S^{2}}{\mu-b S^{2}}$.从而，结合(16)式和(17)式，可得

这与(15)式矛盾.故l≡0.即当n→∞时，u_n→u(x∈H₀¹(Ω)).即对$\forall c<\frac{a^{2} S^{2}}{4\left(\mu-b S^{2}\right)}-D \lambda^{2}$，I在H₀¹(Ω)上满足局部(PS)_c条件.引理1证毕.

众所周知，$U(x)=\frac{2 \sqrt{2}}{1+|x|^{2}}$(x∈$\mathbb{R}$⁴)是临界方程-Δu=u³(x∈$\mathbb{R}$⁴)的正解，且‖U‖²=|U|₄⁴=S².记η∈C₀^∞(Ω)为截断函数，使得0≤η≤1，|▽η|≤C₁.当|x|≤δ时，η(x)=1；当|x|≥2δ时，η(x)=0.令u_ε(x)=$\varepsilon^{-1} \eta(x) U\left(\frac{x}{\varepsilon}\right)$=$\frac{2 \sqrt{2} \varepsilon \eta(x)}{\varepsilon^{2}+|x|^{2}}$.根据文献[12]，可得

引理2  假设a，b>0，μ>bS²，$f \in L^{\frac{4}{3}}$(Ω)是非零非负函数且满足条件(F)：

$f \in L^{\frac{4}{3}}$存在δ，ρ＞0和1＜β＜2，使得对∀|x|＜ρ有$\sup\limits_{t \geqslant 0} I\left(t u_{0}\right)<\frac{a^{2} S^{2}}{4\left(\mu-b S^{2}\right)}-D \lambda^{2}$.

则存在λ^*>0以及u₀∈H₀¹(Ω)，使得对∀0 < λ < λ^*有$\mathop {\sup }\limits_{t \ge 0} $ I(tu₀) < $\frac{a^{2} S^{2}}{4\left(\mu-b S^{2}\right)}$-Dλ².

证  对任意的0 < λ < $\left[\frac{a^{2} S^{2}}{4 D\left(\mu-b S^{2}\right)}\right]^{\frac{1}{2}}$，有$\frac{a^{2} S^{2}}{4\left(\mu-b S^{2}\right)}$-Dλ²>0. ∀t≥0，定义

进一步，根据(18)式，可得

因此，类似于文献[3]中引理2.3的证明可得，存在t_ε>0使得$\sup _{t \geqslant 0}$ I(tu_ε)=I(t_εu_ε)，且存在与ε无关的正常数t₀和T₀使得t₀ < t_ε < T₀.令

则有I′_ε(t)=at‖u_ε‖²+bt³‖u_ε‖⁴-μ t³|u_ε|₄⁴.令I′_ε(t)=0，则

可得T_ε²=$\frac{{a{{\left\| {{u_\varepsilon }} \right\|}^2}}}{{\mu \int_\mathit{\Omega } {u_\varepsilon ^4} {\rm{d}}x - b{{\left\| {{u_\varepsilon }} \right\|}^4}}}$.因此，对∀0 < t < T_ε，I′_ε(t)>0.而当t>T_ε时有I′_ε(t) < 0，且I_ε(t)在T_ε处达到最大值.从而，根据(20)式，可得

根据条件(F)以及u_ε的定义，对∀0 < ε < $\sqrt{\delta}$，可得

其中C表示不同的正常数.因此，根据(21)式和(22)式，可得

其中C₁，C₂>0为正常数.取λ=ε且0 < λ < $\left(\frac{C_{2}}{C_{1}+D}\right)^{\frac{1}{\beta-1}}$，由于1 < β < 2，可得C₁ε²-C₂λε^2-β=λ²(C₁-C₂λ^1-β) < -Dλ².取

当0 < λ < λ^*时，有I(tu_ε) < $\frac{a^{2} S^{2}}{4\left(\mu-b S^{2}\right)}$-Dλ².因此，取u₀=u_ε，当0 < λ < λ^*时，有$\mathop {\sup }\limits_{t \ge 0}$≥0 I(tu₀) < $\frac{a^{2} S^{2}}{4\left(\mu-b S^{2}\right)}$-Dλ².引理2证毕.

定理2  假设a，b>0，N=4，μ>bS²，$f \in L^{\frac{4}{3}}$(Ω)是非零非负函数，且满足条件(F)，则存在λ_**>0(λ_**≤λ_*)，使得对∀0 < λ < λ_**，方程(1)还存在一个正山路解u_**，且I(u_**)>0.

证  取λ_**=min{λ_*，λ^*}，则对∀0 < λ < λ_**，定理1以及引理1、引理2均成立.从而，根据(6)式和(19)式，容易得到泛函I在H₀¹(Ω)上满足山路几何结构.即当u∈S_R时，有I(u)|_SR>ρ>0；存在e∈H₀¹(Ω)使得‖e‖>R且I(e) < 0.定义

根据引理1和引理2，存在{u_n}⊂H₀¹(Ω)使得I(u_n)→c>ρ>0且I′(u_n)→0，则序列{u_n}在H₀¹(Ω)中存在收敛子列(仍记为{u_n}).不妨假设在H₀¹(Ω)中u_n→u_**.根据山路定理，可得$\lim\limits_{n \rightarrow \infty}$ I(u_n)=I(u_**)=c>0且I′(u_**)=0.因此u_**是方程(1)的非零解.根据u_*的证明，同理可证，u_**是方程(1)的正解.