On Existence of Exponential Attractors for Kirchhoff-Type Coupled Suspension Bridge Equations

不失一般性，定义Hilbert空间${{V}_{s}}=D\left( {{A}^{\frac{s}{2}}} \right)$，其内积和范数分别为

当s=0时，记H=L²(Ω)；当s=1时，记V₁=H¹(Ω)∩H₀¹(Ω)；当s=2时，记V₂=H²(Ω)∩H₀¹(Ω)；为了书写方便，记O=V₂×H×V₁×H用‖Au‖表示D(A)的范数，其中A=－Δ.

特别地，有紧嵌入V_s+1⊂V_s和Poincaré不等式

其中λ₁是A的第一特征值.

此外，非线性项满足如下条件：f_i∈C($\mathbb{R} $，$\mathbb{R} $)，i=1，2，且满足

由条件(3)可知，存在正常数K₁，K₂，K₃，K₄≥0，∀s∈$\mathbb{R} $及η_i=η_i(λ₁)＞0，i=1，2，使得

为了得到问题(1)的全局吸引子，还需要下面的抽象结果：

定义1 ^[5]  设X为Banach空间且{S(t)}_t≥0为X上的一族映射. {S(t)}_t≥0被称为X上的强弱连续半群，当且仅当{S(t)}_t≥0满足：

1) 为恒等S(0)=Id映射；

2) S(t)S(s)=S(t+s)，∀t，s≥0；

3)当t_n→t，x_n→x时，S(t_n)x_n→S(t)x.

定义2 ^[8]   Banach空间M中的半群{S(t)}_t≥0被称为满足条件(C)，如果对任意ε>0和M中的任意有界集B，存在t(B)>0和有限维子空间X₁，使得{‖PS(t)x‖|x∈B，t≥t(B)}有界，且当t≥t(B)时，有

这里P：M→X₁为正交投影.

定理1 ^[8]  设X为Banach空间且{S(t)}_t≥0为X上的强弱连续半群.那么{S(t)}_t≥0在X上存在全局吸引子，当且仅当

1) {S(t)}_t≥0在X上存在有界吸收集B；

2) {S(t)}_t≥0满足条件(C).

引理1 ^[13]   (解的存在唯一性)设条件(2)，(3)成立.若g_i∈L²(Ω)，i=1，2，u₀∈V₂，v₀∈V₁，u₁，v₁∈H，则问题(1)有唯一解(u(t)，v(t)，u_t(t)，v_t(t))满足

并且{u₁，v₁，u₂，v₂}→{u(t)，v(t)，u_t(t)，v_t(t)}在O上连续.

运用引理1，定义与问题(1)相关的C⁰半群S(t)，即

且S(t)将映射到自己.

定理2   设α₁>0，α₂>0，f_i∈C($\mathbb{R} $，$\mathbb{R} $)满足条件(2)和(3)，g_i∈L²(Ω)，i=1，2.则球B=B_O(0，ρ₁)与问题(1)生成的解半群{S(t)}_t≥0在O中存在有界吸收集，即对O中任意有界集B，存在t≥t₁(B)，使得当t≥t(B)时，有S(t)B⊂B.

证  取0 < ε < 1，用φ=u_t+εu，ψ=v_t+εv，分别与(1)

式中的两个式子在空间L²(Ω)中作内积，有

结合(2)，(3)式，Hölder不等式和Poincaré不等式，有

此外

和

及

将(9)-(15)式代入(8)式，并通过简单计算后得

令

根据(4)-(7)式，运用Sobolev紧嵌入定理，有

其中：N₁=2K₂|Ω|+ $\frac{1}{\lambda _{1}^{2}\varepsilon }$ ‖g₁‖²，N₂=2K₄|Ω|+ $\frac{1}{{{\lambda }_{1}}\varepsilon }$‖g₂‖².

其中：N₃=2K₁|Ω|+ $\frac{1}{\lambda _{1}^{2}}$‖g₁‖²，N₄=2K₃|Ω|+$\frac{1}{{{\lambda }_{1}}\varepsilon }$‖g₂‖².

取ε，η₁和η₂充分小，使得

从而

即

由(21)-(23)式可知

因此，对$\forall {{\rho }_{1}}>\frac{2\left( {{M}_{3}}+{{M}_{4}} \right)}{{{C}_{1}}}$，存在t₁=t₁(B)，使得

所以，若u，v是系统(1)的解，令${{B}_{1}}=\bigcup\limits_{t>0}{S}(t)B_{1}^{\prime }$，其中

则B是半群{S(t)}_t≥0在O上的有界吸收集.

有界吸收集的存在性意味着对于依赖于有界集的初值，问题(1)的解全局有界，即，若(u，v，u_t，v_t)是问题(1)在有界集B上对应于初值(u₀，v₀，u₁，v₁)的解，则

其中ρ₁≥0是依赖于B的常数.

引理2^[6]  设f_i∈C($\mathbb{R} $，$\mathbb{R} $)，i=1，2满足条件(2)和(3)，则(f₁，f₂)：V₂×V₁ H×H为紧连续.

定理3  设方程(1)的解半群为{S(t)}_t≥0，若非线性项f_i∈C($\mathbb{R} $，$\mathbb{R} $)，满足条件(2)和(3)，g_i∈L²(Ω)，i=1，2，则{S(t)}_t≥0在O有全局吸引子 < 124>A < 124>_α.

证  根据定理1和定理2，只需要证明满足条件(C)，设(γ_i，λ_j)，i，j=1，2，…为算子A²×A在空间V₂×V₁中的特征值，满足

且当j→∞时，λ_j→∞；当i→∞时，γ_i→∞；(x_j，ω_i)为特征值(λ_j，γ_i)对应的特征向量，它们构成空间V₂×V₁的一组正交基，满足：

设H_m=span{x₁，x₂，…x_m}，Q_n=span{ω₁，ω₂，…ω_n}，P_m：V₂→H_m与Q_n：V₁→G_n为正交投影，对∀(u，v，u_t，v_t)∈V₂×V₁作如下分解

其中

根据引理2，对任意ε>0，存在m，n>0，有

取0 < ε < 1，用φ₂=u_2t+εu₂，ψ₂=v_2t+εv₂，分别与(1)式中的两个式子在空间L²(Ω)中作内积，有

类似(9)式作进一步估计，有

此外

结合(26)，(27)式，Hölder不等式和Poincaré不等式，有

结合(29)-(32)式，代入(28)式可得

定义泛函

取ε充分小，使得

令${{C}_{2}}=\min \left\{ \frac{{{\alpha }_{1}}}{4}-\varepsilon , \varepsilon \left( \frac{1}{2}-\frac{\varepsilon {{\alpha }_{1}}}{\lambda _{1}^{2}} \right), \frac{{{\alpha }_{2}}}{4}-\varepsilon , \varepsilon \left( \frac{1}{2}-\frac{\varepsilon {{\alpha }_{2}}}{{{\lambda }_{1}}} \right), \varepsilon \right\}$.

所以，当t≥t₁时，有

根据Gronwall引理，可得