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α -偏正态分布(ASN(α))[1]的密度函数fα(x)为
分布函数记作Fα(x).当α=0时，ASN(0)即为标准正态分布，因此ASN(α)对有偏数据的拟合效果比正态分布更好.文献[2]利用α -偏正态分布与偏正态分布等分布的混合分布对伽马射线爆发持续时间的分布进行拟合.文献[3]将斜切分布中的标准正态分布改为α -偏正态分布从而得到新的斜切分布.文献[4]基于偏正态分布的表达式将α -偏正态分布推广到更一般的形式.
在极值理论中，给定分布的序列的极值分布与分布尾的特征紧密相关.本文首先研究ASN(α)在α≠0时的尾部特征，包括Mills型不等式与Mills型比率.在此基础上，得到α -偏正态分布极值的极限分布，并建立相应的极值分布的收敛速度.相关研究参见文献[5-7].
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本节给出ASN(α)的Mills型不等式、1-Fα的渐近展开、ASN(α)极值的极限分布与规范化常数，最后给出了极值分布的收敛速度.
定理1 当α≠0且
$ x>\sqrt{1+\sqrt{2}}$ 时，有以下不等式成立证 当x>0时，有
$x\left(1-F_{a}(x)\right) <\int_{x}^{\infty} t f_{a}(t) \mathrm{d} t $ .令函数可得g(t)最大值为
$ {1 + \sqrt 2 }$ ，由分部积分得当
$ x>\sqrt{1+\sqrt{2}}$ 时，由式(3)得式(2)右端不等式.另一方面，因为
$x^{-2}\left(1-F_{a}(x)\right)>\int_{x}^{\infty} t^{-2} f_{a}(t) \mathrm{d} t $ ，那么由分部积分可得由g(t)最小值为
$ 1 - \sqrt 2 $ 可得那么
得式(2)左端不等式成立.定理证毕.
对标准正态分布，当x充分大时，有
$1-\mathit{\Phi}(x)=\frac{\varphi(x)}{x}\left(1+O\left(x^{-2}\right)\right) $ ，其中Φ(x)，φ(x)分别为标准正态分布的分布函数与密度函数.对于ASN(α)有类似的结果.定理2 当x充分大时，有
证 由分部积分得
使用洛必达法则知，
故对充分大的x，式(3)成立.定理证毕.
定理1与定理2均可得下面的Mills型比率.
推论1 对充分大的x，有
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本节将给出ASN(α)极值的极限分布以及在相应规范化常数下极值分布的收敛速度.
定理3 取规范化常数an，bn为
则
$ F_{a}^{n}\left(a_{n} x+b_{n}\right) \rightarrow \mathit{\Lambda}(x)=\exp (-\exp (-x))$ ，并且有以下收敛速度证 令
$u_{n}=\alpha_{n} x+\beta_{n} $ ，由文献[8]中定理1.5.1，可取$1-F_{a}\left(u_{n}\right)=\frac{1}{n} \exp (-x) $ ，则当$n \to \infty $ 时${u_n} \to \infty $ .由式(4)可得当n充分大时，有$ \frac{n}{u_{n}} f_{a}\left(u_{n}\right)\left(1+O\left(\left(u_{n}\right)^{-2}\right)\right)=\exp (-x)$ ，那么两边同时除以un2得到
可得
$u_{n}^{2} \sim 2 \log n $ ，进一步得$\frac{2 \log n}{u_{n}^{2}}=1+O\left(\frac{\log \log n}{\log n}\right) $ .因此，将式(9)，(10)代入式(7)中，计算可得
那么
由文献[8]定理1.5.1有
$F_{a}^{n}\left(\alpha_{n} x+\beta_{n}\right) \rightarrow \mathit{\Lambda}(x) $ ，又因为$a_{n}^{-1} \alpha_{n}=1, a_{n}^{-1}\left(\beta_{n}-b_{n}\right) \rightarrow 0 $ ，根据文献[8]定理1.2.3可得下证式(6).令
$u_{n}^{\prime}=a_{n} x+b_{n} $ ，那么由式(5)可得由式(4)可得，当n充分大时
将
带入式(11)，可得
则对于
$ \tau(x)=\exp (-x)$ ，有最后，由文献[8]定理2.4.2可得
定理证毕.
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