Positive Solutions of m-Point Boundary Value Problem for Singular Fourth-Order Differential Equation

近几十年来，微分方程边值问题一直受到广泛的关注^[1-12].而四阶常微分方程的边值问题可用来描述悬臂梁问题，以及弹性物理等工程实际问题，引起了许多学者的关注.对于四阶常微分方程边值问题正解的存在性，一些学者已经做了较多的研究^[1-6]，多数文献通过运用Krasnosel'skill不动点定理、锥拉伸与压缩不动点定理、迭合度理论、上下解方法等得到了四阶微分方程边值问题正解存在的结果.

文献[1]研究了如下的奇异四阶微分方程两点边值问题：

运用第一特征值的相关理论以及压缩映射原理，得到了上述问题正解的唯一存在性.

文献[3]研究了如下的四阶微分方程三点边值问题：

运用锥拉伸与压缩不动点定理，得到了上述问题正解的存在性.

文献[5]研究了如下的四阶微分方程三点边值问题：

运用Krasnosel'skill不动点定理，得到了上述问题正解的存在性.

受上述结论的启发，本文将研究如下奇异四阶微分方程m点边值问题，即

其中：η_i∈(0，1)，0 < η₁ < η₂ < … < η_m-2 < 1；β_i∈[0，∞)且$\sum\limits_{i = 1}^{m - 2} {{\beta _i}{\eta _i} < 1} $；允许h(t)在t=0或t=1处奇异.

文中首先构建奇异四阶微分方程m点边值问题(1)的格林函数，并得到其相关性质；其次构建Banach空间上的锥及其锥上的凸泛函，运用凸泛函上的不动点指数定理来计算不动点指数，得到了边值问题(1)至少有一个正解的结论.据作者所知，未见有讨论上述问题的相关文献，且作者所用方法不同于以往文献.

令G(t，s)为齐次微分方程u⁽⁴⁾(t)=0满足问题(1)中的边值条件下的格林函数，具体表示为

其中

引理1  函数g(t，s)满足下面不等式：

证  令

故当0 ≤t≤1时，有

当$\frac{1}{4} \le t \le \frac{3}{4}$时，有

为了方便，作如下假设条件：

(H₁) $$；

(H₂) h：(0，1)→[0，+∞)连续，h(t)不恒等于0，允许h(t)在t=0，1处奇异；

(H₃) f：[0，+∞)→[0，+∞)连续.

在Banach空间C[0, 1]中，其中范数为$\left\| u \right\| = \mathop {\max }\limits_{0 \le t \le 1} \left| {u\left( t \right)} \right|$，令

则P是C[0, 1]上的正锥.取

其中$l = \frac{1}{{128}}$.

定义算子

引理2  设条件(H₁)-(H₃)满足，则算子A：P₁→P₁全连续.

证  由(2)式可知

于是

由(3)式，则有

从而A：P₁→P₁，且A(P₁)→P₁.由Azela-Ascoli定理则知，算子A：P₁→P₁全连续.

下面介绍有关凸泛函的两个不动点指数引理.

定义1^[10]  如果锥P上的泛函ρ：$P\to \mathbb{R}$，对于∀x，y∈P，t∈[0, 1]，满足

则称ρ是锥P上的凸泛函.

引理3^[10]  设P是E中的锥，Ω是E中的有界开集，且θ∈Ω.假设算子A：P∩ Ω→P全连续，ρ：P→[0，+∞)是凸泛函，且满足ρ(θ)=0，并对∀x≠θ，ρ(x)>0.如果ρ(Ax)≤ρ(x)，且当x∈P∩∂Ω时，Ax≠x，则不动点指数i(A，P∩Ω，P)=1.

引理4^[10]  设P是E中的锥，Ω是E中的有界开集.假设算子A：P∩Ω→P全连续，ρ：P→[0，+∞)是一致连续的凸泛函，且满足ρ(θ)=0，并对∀x≠θ，ρ(x)>0.如果：

(i) $\mathop {\inf }\limits_{x \in P \cap \partial \mathit{\Omega }} \rho \left( x \right) > 0$；

(ii) ρ(Ax)≥ρ(x)，且对∀x∈P∩∂Ω，Ax≠x.

则不动点指数i(A，P∩Ω，P)=0.

令

显然有h₀≥h_τ>0.

定理1  假设(H₁)-(H₃)成立，如果存在常数a和b，使得当a，b>0时满足：

(i) b < a；

(ii) ∀u≤bl^-1h_τ^-1，f(u)≤h₀^-1u；

(iii) ∀ah_τ^-1l≤u ≤ah_τ^-1l^-1，f(u)≥h_τ^-1u.

则四阶边值问题(1)至少存在一个正解.

证  令

则ρ₁：P₁→[0，+∞)是一致连续的凸泛函，且ρ₁(θ)=0.

对于∀u∈P₁\{θ}，有

设Ω₁={u∈C[0, 1]：ρ₁(u) < b}.显然Ω₁是C[0, 1]上的开集，且θ∈Ω₁.

如果u∈P₁∩ Ω₁，则有

因此有‖u‖≤b l^-1h_τ^-1.这意味着P₁∩Ω₁是有界的.

如果u∈P₁∩∂Ω₁，则ρ₁(u)=b且‖u‖≤bl^-1h_τ^-1，因此

假设A在P₁∩∂Ω₁上没有不动点，则由引理3知

令

则ρ₂：P₁→[0，+∞)是一致连续的凸泛函，且ρ₂(θ)=0，对于u∈P₁\{θ}，ρ₂(u)>0.

设Ω₂={u∈C[0, 1]：ρ₂(u) < a}.显然Ω₂是C[0, 1]上的开集.

如果u∈P₁∩ $\overline {{\mathit{\Omega }_2}} $，则有

于是得‖u‖≤al^-1h_τ^-1.这意味着P₁∩Ω₂是有界的.

如果u∈P₁∩∂Ω₂，则ρ₂(u)=a且‖u‖≤al^-1h_τ^-1，由于

所以‖u‖≥ah_τ^-1，于是

所以

假设A在P₁∩∂Ω₂上没有不动点，由引理4知

∀u∈P₁∩ $\overline {{\mathit{\Omega }_1}} $，有

因此，P₁∩$\overline {{\mathit{\Omega }_1}} $$ \subset {P_1} \cap {\mathit{\Omega }_2}$，于是进一步得

则A在P₁∩(Ω₂\$\overline {{\mathit{\Omega }_1}} $)上至少有一个不动点，也即是四阶m点边值问题(1)至少存在一个正解.

定理2  假设(H₁)-(H₃)成立，如果存在常数a和b，使得当0 < b < a时满足：

(i) b < al²h_τ²h₀^-1；

(ii) ∀blh_τ^-1≤u≤bl^-1h_τ^-1，f(u)≥h_τ^-1u；

(iii) ∀u ≤al^-1，f(u)≤ah₀^-1.

则四阶边值问题(1)至少存在一个正解.

证  因为

对∀u≤bl^-1h_τ^-1，有

设

于是，ρ_i：P₁→[0，+∞)是一致连续凸泛函，且ρ_i(θ)=0(i=1，2).

∀u∈P₁\{θ}，有

令Ω₁={u∈C[0, 1]：ρ₂(u) < b}，Ω₂={u∈C[0, 1]：ρ₁(u) < a}.显然Ω₁和Ω₂是C[0, 1]上的开集，且θ∈Ω₁.

如果u∈P₁∩$\overline {{\mathit{\Omega }_1}} $，则有

因此，‖u‖≤bl^-1h_τ^-1，这意味着P₁∩Ω₁是有界的.进一步有

所以P₁∩$\overline {{\mathit{\Omega }_1}} $$ \subset {P_1}$∩Ω₂.

如果u∈P₁$\overline {{\mathit{\Omega }_2}} $，则有

于是‖u‖≤al^-1，这意味着P₁∩Ω₂是有界的.

假设A在P₁∩∂Ω₁和P₁∩Ω₂上没有不动点.

如果u∈P₁∩∂Ω₁，则b=ρ₂(u)≤‖u‖h_τ，且

进一步则有

所以由引理4知

如果u∈P₁∩∂Ω₂，则

由引理3知

综上所述，

则A在P₁∩(Ω₂\$\overline {{\mathit{\Omega }_1}} $)上至少有一个不动点.也即四阶m点边值问题(1)至少存在一个正解.

例1  考虑如下四阶边值问题

其中${\eta _1} = \frac{1}{6}, {\eta _2} = \frac{1}{5}, {\eta _3} = \frac{1}{4}, {\beta _1} = \frac{3}{2}, {\beta _2} = \frac{4}{3}, {\beta _3} = \frac{6}{5}, {D^{ - 1}} \approx 0.909\;1.$.

取$h\left( t \right) = \frac{1}{{{t^{\frac{2}{3}}}\left( {1 - t} \right)}}$，f(u)=0.02·(e^0.2u-1)，a≈48.883 7，b≈0.001 113 3.根据定理1知四阶微分方程的五点边值问题(5)至少存在一个正解.