The Degrees of Irreducible Characters of Finite 5-Groups of Maximal Class

通过有限p-群的数量性质来研究有限p-群是有限p-群的重点研究方向之一.文献[1-2]分别通过子群的共轭类数和交换子群的个数研究了有限p-群的结构.文献[3]研究了具有特定特征标维数的有限p-群的结构.事实上，给出一个有限p-群的特征标维数是比较困难的.本文将研究一些有限极大类5-群的特征标维数.有限极大类p-群^[4]作为有限p-群中极为重要的一类群，其结构和性质已经有了比较成熟的理论.目前有限极大类p-群在群表示方向的研究成果也主要体现在有限极大类p-群的特征标维数与群结构的联系.如果群的不可约特征标是正规子群的线性特征标的诱导特征标，那么称这个特征标是正规单项特征标.文献[5]证明了：若极大类p-群G的所有不可约特征标都是正规单项特征标，则G的导长至多是$\frac{1}{2}|\operatorname{cd}(G)|+\frac{11}{2}$，其中cd(G)表示G的所有不可约特征标的维数集合.显然，极大类2-群的特征标维数集合只能是{1，2}，极大类3-群的特征标维数集合是{1，3}或者{1，3，3²}.文献[6]说明了不存在特征标维数集合是$\operatorname{cd}(G)=\left\{1, p, p^{\frac{p+3}{2}}\right\}$的极大类群，并构造证明了存在特征标维数集合是$\operatorname{cd}(G)=\left\{1, p, p^{\frac{p+1}{2}}\right\}$的极大类p-群，同时还提出了不存在特征标维数集合是{1，p，p^m}的极大类p-群，其中$m>\frac{p+1}{2}$.

本文主要研究极大类5-群的特征标维数，通过构造具体例子来验证阶不大于5⁷的极大类5-群特征标维数存在的情况.本文构造的极大类5-群的极大子群P₁基于如下两个重要引理：

引理1^[7]  设G是有限极大类p-群且|G|≥p^p+2，则G存在唯一的极大子群P₁是绝对正则p-群，即|P₁: ₁(P₁)|=p^p-1.

引理2^[8]  设G是有限极大类p-群且|G|≥p^6p-23，则G存在极大子群P₁，其幂零类至多是3.

当极大类5-群的阶不小于5⁷的时候，则一定存在极大子群是绝对正则的，且幂零类不大于3.

为了方便，我们还给出下面一些重要结论：

引理3^[9]  设群G是有限群，χ是G的任意不可约特征标，则χ(1)²≤|G:Z(χ)|.等式成立的充要条件是对任意g∈G-Z(χ)有χ(g)=0.

引理4^[10]  对任意正整数n≥3，一定存在阶是pⁿ且有交换子群是极大子群的极大类p-群.

设G是有限p-群，我们用cd(G，pⁿ)表示阶是pⁿ的极大类群G的特征标维数集合.本文主要得到了下面的定理：

定理1  设G是有限极大类5-群.则：

(ⅰ) cd(G，5³)={1，5}；

(ⅱ) cd(G，5⁴)={1，5}；

(ⅲ) cd(G，5⁵)={1，5}，{1，5，5²}；

(ⅳ) cd(G，5⁶)={1，5}，{1，5，5²}；

(ⅴ) cd(G，5⁷)={1，5}，{1，5，5²}，{1，5，5³}，{1，5，5²，5³}.

证  取G的极大子群P₁.易得商群G/P₁^′也是极大类5-群，且G/P′₁是非交换群.于是G/P′₁存在极大子群是交换群，故5∈cd(G).

情形1  当5³≤|G|≤5⁴时，G存在极大子群是交换子群，故cd(G，5³)={1，5}=cd(G，5⁴).

情形2  设|G|=5⁵.由于G幂零，对任意χ∈Irr(G)都有Z(χ)≠1.由引理3可得χ(1)≤5².再由引理4，仅需要构造出满足cd(G，5⁵)={1，5，5²}的极大类5-群G.令

则|P₁|=5⁴.设b是P₁的外自同态，满足a_i^b=a_ia_i+1，a₄^b=a₄(i=1，2，3)，且〈b〉∩P₁=1.易得b是P₁的外自同构，且对P₁中任意元x都有x^b5=1.令群G=〈a₁，b〉，则|G|=5⁵，P₁是G的极大子群，且

故G是极大类5-群.由于存在η∈Irr(P₁)满足η(1)=5，又因Z(P₁)=〈a₃〉×〈a₄〉，易得Ker η≠Z(G)，即Ker η不是G的正规子群，于是η不可能扩张到G.从而可得η^G=χ∈Irr(G)是维数为5²的不可约特征标.

情形3  设|G|=5⁶.由引理3可得χ(1)≤5².类似地仅需要构造出满足cd(G，5⁶)={1，5，5²}的极大类5-群G.令

即P₁=〈a₁，a₂，a₄〉*〈a₂，a₃〉是两个阶为5³的非交换群的中心积，因此是阶为5⁵的超特殊5-群.设b是P₁的外自同态，满足a_i^b=a_ia_i+1，a₄^b=a₄a₁^-5(i=1，2，3)，且〈b〉∩P₁=1.下面验证b是P₁的5阶自同构.

b作用在换位子上，有

同时还可得

b作用在a₁上，有

由于[a₃，a₂]=a₁⁵，则(a₂a₃)^k=a₂^ka₃^k$a_{1}^{\frac{(k-1) k}{2}}$，k≥2，于是

进而可得

同样可得a_i^b5=a_i(i=2，3，4).显然b作用在P₁上是同态，因此b是P₁的5阶自同构.

令群G=〈a₁，b〉，则G=P₁⋊〈b〉是阶为5⁶的极大类p-群.又因P₁是超特殊5-群，易得cd(P₁)= {1，5²}，且P₁中特征标维数是5²的不可约特征标只有4个.取η∈Irr(P₁)满足η(1)=5²，则η一定可以扩张到G.因此存在χ∈Irr(G)使得χ_P1=η，由此说明χ(1)=5².

情形4  设|G|=5⁷.类似地仅需要分别构造出满足cd(G，5⁷)={1，5，5²}，cd(G，5⁷)={1，5，5³}，cd(G，5⁷)={1，5，5²，5³}的极大类5-群G.

情形4.1  令

设b是P₁的自同态，且满足P₁∩〈b〉=1，其中a_i^b=a_ia_i+1(i=1，2，3)，a₄^b=a₄a₁^-5a₂^-10.验证可得

故〈b〉是P₁的阶为5的自同构群.令群G=〈a₁，b〉=P₁⋊〈b〉，从而可得G是阶为5⁷的极大类p-群，且G存在指数是5²的交换正规子群A=〈a₂，a₃，a₄，a₁⁵〉.由于存在η∈Irr(P₁)满足η(1)=5，又因Ker η≠〈a₂⁵〉=Z(G)，即Ker η不是G的正规子群.于是η不可能扩张到G，从而可得η^G=χ∈Irr(G)是维数为5²的不可约特征标.因此存在cd(G，5⁷)={1，5，5²}.

情形4.2  令子群

即P₁/〈a₁⁵〉是阶为5⁵的超特殊5-群，即cd(P₁)={1，5²}.设b是P₁的外自同态，满足a_i^b=a_ia_i+1，a₄^b=a₄a₁^-5a₂^-10(i=1，2，3)，且〈b〉∩P₁=1.类似地可以验证b是P₁的5阶自同构，即对任意g₁，g₂∈P₁，一定有g₁^b5=g₁，[g₁，g₂]^b=[g₁^b，g₂^b].又令G=〈a₁，b〉=P₁⋊〈b〉，则可得G也是阶为5⁷的极大类5-群.由于P₁的任意非线性特征标η都有η(1)=5²，又因Z(P₁)非循环，Ker η≠〈a₂⁵〉= Z(G)，即Ker η不是G的正规子群.于是η不可能扩张到G，从而可得η^G=χ∈Irr(G)是维数为5³的不可约特征标.因此存在cd(G，5⁷)={1，5，5³}.

情形4.3  令子群

即P₁/〈a₁⁵〉是阶为5⁵的超特殊5-群.又因P₁/〈a₂⁵〉存在极大子群是交换群，即cd(P₁)={1，5，5²}.设b是P₁的外自同态，满足a_i^b=a_ia_i+1，a₄^b=a₄a₁^-5a₂^-10(i=1，2，3)，且〈b〉∩P₁=1.可以验证得到

则b是P₁的5阶自同构.又令G=〈a₁，b〉=P₁⋊〈b〉，则可得G也是阶为5⁷的极大类5-群.

由于P₁/〈a₁⁵〉是阶为5⁵的超特殊5-群，则存在P₁的非线性特征标η，使得η(1)=5²，且Ker η=〈a₁⁵〉不是G的正规子群.于是η不可能扩张到G，从而η^G=χ∈Irr(G)是G的维数为5³的不可约特征标.又因P₁/〈a₂⁵〉存在极大子群是交换群，则可以得到P₁的非线性特征标θ，使得θ(1)=5且Ker θ不是G的正规子群.因此θ^G是G的维数为5²的不可约特征标，故此时cd(G，5⁷)={1，5，5²，5³}.

注1  本文还构造了阶是5⁸的极大类5-群的特征标维数的情况，即cd(G，5⁸)={1，5}，{1，5，5²}，{1，5，5³}，{1，5，5²，5³}.同时还构造了存在cd(G，5⁹)={1，5，5²，5³，5⁴}的极大类5-群.

我们提出下面问题：

问题  对任意m≥1以及集合A={1，p，p²，p³，…，p^m-1，p^m}，是否存在阶为p^2m+1+e的极大类p-群G，使得cd(G)=A，其中e=0，1?