Groups with Number of Proper Subgroups Equal to Minimal Number of Proper Subgroups Required to Cover the Group

在研究有限群的结构的问题上，有很多学者利用元素的阶与子群的个数去刻画群.文献[1-2]分别通过讨论元素的最高阶元的阶和交换子群的个数去研究有限群的结构与性质.文献[3]利用最高阶元的阶和ONC-度量刻画了Conway单群和Fischer单群.关于一个群最少可以表示为几个真子群的并的问题，国内外很多优秀的学者对其进行了研究并且取得了丰硕的研究成果.文献[4]证明了：当G是n阶有限群时，存在整数$ k\le \frac{n}{2}+1 $，使得G可以表示为K个交换子群的并.文献[5]证明了：σ(S_n)≤2^n-1，且当n≠7，9时，σ(A_n)≥2^n-2.文献[6]证明了：不存在能表示为11和13个真子群的并集的有限群.文献[7]证明了：一个群能表示为3个真子群的并的充要条件为这个群同态于Klein四元群，并且进一步讨论了怎样的群可以表示为4个真子群的并.文献[8]给出了同态于Klein四元群的群能表示为3个真子群的并的一种简单证明方法.文献[9]研究了有限群表示为4个真子群的并的问题，给出了一个新证明，并且对群结构进行了更详细的讨论，证明了：如果一个有限群G能表示为4个真子群G₁，G₂，G₃及G₄的并，则要么G₁，G₂，G₃及G₄中至少有一个是G的正规子群，要么G同态于S₃或C₃×C₃，且同态核是G₁∩G₂∩G₃∩G₄.文献[10]通过计算子群的阶的方法，给出了能表示成p+1或p+2个真子群并的有限群的结构.但有限群G的真子群个数与G的极小子群覆盖个数相等时G的结构如何尚未讨论.本文将就这一问题展开讨论.

本文所用符号都是标准的，可参考文献[11].

设G为有限群，σ(G)表示G的极小真子群覆盖数，即把G表示成真子群的并所用子群的最小个数，k(G)表示G的真子群的个数.有限群由极小个真子群的并表示称为极小子群覆盖.本文证明下述定理：

定理1  设G为有限群，p，q为素数，且p < q，则σ(G)=k(G)当且仅当G为下列群：

(ⅰ) G=C_p×C_p；

(ⅱ) G为pq阶非交换群.

引理1  设G为有限群，如果σ(G)=k(G)，则G的任意两个不同的真子群之间没有包含关系.

证  设σ(G)=s，G=A₁∪A₂∪…∪A_s，其中A₁，…，A_s为G的两两不同的真子群.因为σ(G)=k(G)，所以k(G)=s，于是A₁，…，A_s为G的全部真子群.

如果G中存在两个真子群A_i⊆A_j(i < j)，那么A_i∪A_j⊆A_j，于是

这与σ(G)=s矛盾.

由引理1我们可以知道：对于有限p-群G，如果要满足σ(G)=k(G)，则G中不能含有p^r(r≥2)阶真子群，否则，如果G中存在p^r(r≥2)阶真子群H，H中包含p阶真子群，由引理1可知这样的群G不能满足σ(G)=k(G)；阶为$ p_{1}^{{{\alpha }_{1}}}p_{2}^{{{\alpha }_{2}}}\cdots p_{m}^{{{\alpha }_{m}}}(m\ge 2) $的群G，若要满足σ(G)=k(G)，则G中不能存在p_i^t(i=1，2，…，m；t≥2)阶子群，否则，如果存在某个k，α_k>1，则G中有p_k^α_k阶子群P_k，P_k中包含p_k阶真子群，通过引理1可知这样的G无法满足σ(G)=k(G).由此我们可以初步判断，如果群G满足σ(G)=k(G)，则群G的阶要么为p^t(t≤2)，要么为p₁p₂…p_m.

引理2  ^[12]  如果G是一个非循环p^-群，则σ(G)=p+1.

引理3  ^[11]  设G为pⁿ阶初等交换p^-群，则G的p^m阶(1≤m≤n)子群的个数为

引理4  设p，q为素数，且p < q，G为pq阶非交换群，则k(G)=q+1.

证  设n_p为G中Sylow p^-子群的个数，n_q为G中Sylow q^-子群的个数.由Sylow定理知，n_q≡1(mod q)，且n_q|p.因为p < q，所以n_q=1，即G中只有一个Sylow q^-子群，设为Q.同样地，n_p≡1(mod p)，n_p|q.因为q为素数，所以n_p=1，q.若n_p=1，那么此时G中只有一个Sylow p^-子群，这样的G为pq阶循环群，矛盾.从而n_p=q，即G中有q个Sylow p^-子群.设H为G中任一真子群，由拉格朗日定理知，|H|||G|，即|H|=p，q，从而得到G中的Sylow p^-子群和Sylow q^-子群组成了G的全部真子群，即k(G)=q+1.

引理5  设p，q为素数，且p < q，G为pq阶非交换群，则σ(G)=q+1.

证  由引理4，G中有q个Sylow p^-子群，设为P₁，P₂，…，P_q，同时设Q为G的Sylow q^-子群.

设G可表示为最少m个两两不同真子群的并，即G=A₁∪A₂∪…∪A_m.因为G中有q-1个q阶元，所以A₁，…，A_m中必有一个为Q，令A_m=Q，即

其中|A_i|=p(i=1，…，m-1).由于A₁，…，A_m-1互不相同，且它们的阶均为p，所以|A_i∩A_j|=1，1≤i≠j≤m-1，又因|A_i∩Q|=1，i=1，…，m-1，所以pq=(m-1)(p-1)+q-1+1.于是m=q+1.所以σ(G)=q+1.

引理6^[13]  若有限群G的元的阶除单位元1外都是素数，则称G为有限质元群.有限质元群有且仅有下述3种类型：

1) qⁿ阶群；

2) pqⁿ阶群；

3) A₅.

定理1的证明

如果G=C_p×C_p，则由引理2可知，σ(G)=p+1.又由引理3知

故σ(G)=k(G).

若G为pq阶非交换群，由引理4、引理5，有σ(G)=k(G).

反之，设G为有限群，且满足条件σ(G)=k(G)，下面证明G只能为(ⅰ)，(ⅱ)中的群.

设$ |G|=p_{1}^{\alpha_{1}} \cdots p_{m}^{\alpha_{m}} $.

若m≥3，由引理1知，|G|=p₁p₂…p_m.我们证明G中没有p₁p₂…p_t(t≥2)阶真子群.如果G中存在p₁p₂…p_t(t≥2)阶真子群S，则S中必含有p_i阶真子群N_i(i=1，…，t)，N_i同时为G的p_i阶真子群.由引理1知，这时σ(G)≠k(G).所以当|G|=p₁p₂…p_m(m≥3)时，G中的真子群必定为素数阶群，从而G中的元除单位元外都为素数阶元，这样的群G为有限质元群.由引理6，这与有限质元群的阶为qⁿ，pqⁿ，2²·3·5矛盾.所以m≤2.

若m=2，由引理1知，|G|=p₁p₂.记p₁=p，p₂=q，则G为pq阶群.由于pq阶群只有两个类型，即pq阶循环群与pq阶非交换群，而循环群不能表示为真子群的并，所以G为pq阶非循环群.即定理1(ⅱ)中的群.

若m=1，由引理1，记p₁=p，则|G|= p，p².又因G不是循环群，所以G为p²阶初等交换群，即定理1(ⅰ)中的群.