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记
$D$ 是复平面$\mathbb{C}$ 上的开单位圆盘,$\partial D$ 是单位圆周. 记$\mathrm{d} \theta$ 为$\partial D$ 上的弧长测度,$L^{2}(\partial D)$ 表示由$\frac{\mathrm{d} \theta}{2}$ 诱导的Lebesgue空间. Hardy空间$H^{2}$ 是由$D$ 上满足条件的解析函数f在‖·‖2范数下构成的赋范线性空间.
$H^{\infty}$ 表示$D$ 上的有界解析函数空间, 且$\|f\|_{\infty}=\sup\limits _{0 <r <1}\{|f(z)|: z \in D\} .$ 根据Riesz定理和Fatou定理$^{[1]}, H^{p}$ 等距同构于$L^{p}(\partial D)$ 的一个闭子空间. 本文在不加说明的情况下, 将$H^{2}$ 视为$L^{2}(\partial D)$ 的一个闭子空间, 将$L^{p}(\partial D)(0 <p <\infty)$ 简记为$L^{p}$ .设
$P: L^{2} \longrightarrow H^{2}$ 为正交投影算子, 对$\varphi \in L^{\infty}, f \in H^{2}$ , Hardy空间$H^{2}$ 上以$\varphi$ 为符号的Toeplitz算子与Hankel算子分别定义为这里
$U f(w)=\bar{w} \tilde{f}(w)$ 为西算子,$\widetilde{f}(w)=f(\bar{w})$ . 经简单计算可知$U P=(I-P) U$ . 根据Hankel算子的定义可知$H_{f}^{*}=H_{f^{*}}$ , 这里$f^{*}=\bar{f}(\bar{w})$ , 而且对于任意的$\varphi \in H^{\infty}$ , 总有$H_{\varphi}=0 .$ Toeplitz算子与Hankel算子之间有下述密切的代数关系：对任意的f，g∈L∞，
如果f∈H∞，则有
在Hardy空间上，与研究单个Toeplitz算子的性质相比，研究Toeplitz算子的乘积的情况要困难得多[2]. 而且在Toeplitz算子的代数运算中，2个Toeplitz算子乘积的结果很难推广到3个或以上的Toeplitz算子乘积的情况[3]. 在Hardy空间上，文献[4]给出了2个Toeplitz算子的乘积
$T_{\varphi} T_{\psi}$ 是一个Toeplitz算子的充要条件是$\varphi$ 是余解析的，或者ψ是解析的. 在这两种情况下，$T_{\varphi} T_{\psi}=T_{\varphi j} .$ 文献[5]利用Berezin变换得到了Hardy空间上有界符号的Toeplitz算子的乘积之和$T_{f} T_{g}+T_{h} T_{k}$ 是一个Toeplitz算子的条件. 在单位圆盘Bergman空间上，文献[6-7]借助Laplace算子和Berezin变换研究了有界调和符号的Toeplitz算子的乘积在何种条件下是一个Toeplitz算子的问题. 文献[8]给出了Dirichlet空间上的2个Toeplitz算子的乘积是一个Toeplitz算子的条件. 文献[9]研究了小Hankel算子的性质，文献[10-12]分别研究了幂等算子及Hardy空间上Hankel算子乘积和复合算子乘积. 本文完全刻画了Hardy空间上的3个Toeplitz算子的乘积在何种条件下仍是一个Toeplitz算子或是一个Hankel算子.
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在本文的主要结果的证明中，会多次用到前人关于Hardy空间上的Toeplitz算子的紧性以及Hankel算子的有限秩性质的刻画. 故本文引用相关结果如下：
引理1[1] 设
$ {\varphi}$ ∈L∞，则$T_{\varphi}$ 是紧算子当且仅当$ {\varphi}$ =0.著名的Kronecker定理[13]完全描述了有限秩的Hankel算子，该定理表明Hankel算子T是有限秩的当且仅当存在h∈H∞(
$\partial D$ )及u为有限Blaschke积，使得$T = {H_{z\bar ug}}$ . Kronecker定理揭示了有限秩的Hankel算子与有理函数之间的关系. 本文引用另一版本的Kronecker定理如下：引理2[13] 若
$ {\varphi}$ ∈L∞，则$ H_{\varphi}$ 是有限秩的当且仅当存在一个非零的解析多项式a(z)，使得$a \varphi \in$ H∞($\partial D$ ).
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设
$f \in L^{\infty}$ , 记$f^{+}=P f$ 及$f^{-}=(I-P) f$ , 则$f^{+}, f^{-}$ 均属于$\bigcap\limits_{q>1} L^{q}$ , 因而$T_{f^{+}}$ 与$T_{f}-$ 均是$H^{2}$ 上的稠定算子.定理1 设
$f_{1}, f_{2}, f_{3} \in L^{\infty}, h \in L^{\infty}$ , 则$T_{f_{1}} T_{f_{2}} T_{f_{3}}=T_{h}$ 当且仅当下列条件之一成立:(a)
$f_{1}$ 与$f_{1} f_{2}$ 都属于$\overline{H^{2}}$ ;(b)
$f_{1} \in \overline{H^{2}}$ 且$f_{3} \in H^{2}$ ;(c)
$f_{3}$ 与$f_{3} f_{2}$ 都属于$H^{2}$ ;(d) 存在
$\lambda \in \mathbb{C}$ , 使得$f_{1} f_{2}^{+}-\lambda f_{1} \in \overline{H^{2}}$ 且$\lambda f_{3}+f_{2}^{-} f_{3} \in H^{2}$ .证 充分性 显然，条件(a)或(b)或(c)成立可以推出
$T_{f_{1}} T_{f_{2}} T_{f_{3}}=T_{h}$ . 由于若条件(d)成立，设
则
因此可得
即
$T_{f_{1}} T_{f_{2}} T_{f_{3}}$ 是一个Toeplitz算子，其中最后一个等号成立是由Brown-Halmos定理得到的.必要性 设
$T_{f_{1}} T_{f_{2}} T_{f_{3}}=T_{h}$ . 由于从而则有
因此
即
下面我们将分2种情形进行讨论：
情形1 如果
$P{\bar{z}} f_{1} f_{2}^{+} \otimes P \overline{z f_{3}}=0=-P \bar{z} f_{1} \otimes P \overline{z f_{2}^{-} f_{3}}=0$ ，那么有以下两种可能：情形1.1
$P{\bar{z}} f_{1} f_{2}^{+}=0$ ，则有或
如果
$(2)$ 式成立, 即$P{\bar{z}} f_{1} f_{2}^{+}=0$ 且$P_{z}^{\bar{~}} f_{1}=0$ , 那么可得$\bar{z} f_{1} \in\left(H^{2}\right) \perp=\bar{z} \overline{H^{2}}$ , 从而则有$f_{1} \in \overline{H^{2}}$ . 同理, 根据$P{\bar{z}} f_{1} f_{2}^{+}=0$ , 则有$f_{1} f_{2}^{+} \in \overline{H^{2}}$ , 从而$f_{1} f_{2}=f_{1} f_{2}^{+}+f_{1} f_{2}^{-} \in \overline{H^{2}}$ . 因此, 条件(a)成立.如果
$(3)$ 式成立, 即$P{\bar{z}} f_{1} f_{2}^{+}=0$ 且$P \overline{z f_{2}^{-} f_{3}}=0$ , 则可得$f_{1} f_{2}^{+} \in \overline{H^{2}}$ 及$\overline{f_{2}^{-} f_{3}} \in \overline{H^{2}}$ , 从而有$f_{1} f_{2}^{+} \in$ $\overline{H^{2}}$ 及$f_{2}^{-} f_{3} \in H^{2}$ , 故存在$\lambda=0$ , 使得$f_{1} f_{2}^{+}-0 f_{1} \in \overline{H^{2}}$ 且$0 f_{3}+f_{2}^{-} f_{3} \in H^{2}$ , 因此条件$(\mathrm{d})$ 成立.情形1.2
$P \overline{z f_{3}}=0$ , 则有或
如果
$(4)$ 式成立, 即$P \overline{z f_{3}}=0$ 且$P \bar{z} f_{1}=0$ , 则可得$\overline{f_{3}} \in \overline{H^{2}}$ 且$f_{1} \in \overline{H^{2}}$ , 即$f_{1} \in \overline{H^{2}}$ 且$f_{3} \in H^{2}$ . 因此, 条件($\mathrm{b}$ ) 成立.如果
$(5)$ 式成立, 即$P \overline{z f_{3}}=0$ 且$P \overline{z f_{2}^{-} f_{3}}=0$ , 则由$P \overline{z f_{3}}=0$ 可得$f_{3} \in H^{2}$ , 以及由$P \overline{z f_{2}^{-} f_{3}}=0$ 可得$\overline{f_{2}^{-} f_{3}} \in \overline{H^{2}}$ , 从而$f_{2}^{-} f_{3} \in H^{2}$ , 因此$f_{2} f_{3}=f_{2}^{-} f_{3}+f_{2}^{+} f_{3} \in H^{2}$ , 故条件$(\mathrm{c})$ 成立.情形2 如果
$P{\bar{z}} f_{1} f_{2}^{+} \otimes P \overline{z f_{3}} \neq 0$ , 则存在不为0的数$\lambda$ , 使得即
$P\left(\bar{z} f_{1} f_{2}^{+}-\lambda \bar{z} f_{1}\right)=0 $ , 从而,$ f_{1} f_{2}^{+}-\lambda f_{1} \in \overline{H^{2}}$ . 而且将(6)式代人(1) 式中, 可得即
故
从而
$P\left[\overline{\left(\lambda f_{3}+f_{2}^{-} f_{3}\right) z}\right]=0$ , 即$\overline{\lambda f_{3}+f_{2}^{-} f_{3}} \in \overline{H^{2}}$ , 因而$\lambda f_{3}+f_{2}^{-} f_{3} \in H^{2}$ , 即条件$(\mathrm{d})$ 成立.例1 若
$f_{1}, f_{2}, f_{3}$ 均为解析多项式, 则$h=f_{1} f_{2} f_{3}$ 且$T_{f_{1}} T_{f_{2}} T_{f_{3}}=T_{h}$ .
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本节我们考虑Toeplitz算子的乘积与Hankel算子之间的关系. 下面首先寻找使得2个Toeplitz算子的乘积等于一个Hankel算子的条件.
问题1 设
$f, g, \varphi \in L^{\infty}$ ∈L∞，什么条件下，成立$T_{f} T_{g}=H_{\varphi}$ ?对于问题1，我们得到如下的结论：
定理2 若
$f, g, \varphi \in L^{\infty}$ ∈L∞，则$T_{f} T_{g}=H_{\varphi}$ 当且仅当f或g为0，且$ {\varphi}$ ∈H∞.证 必要性 设
$T_{f} T_{g}=H_{\varphi}$ ，则从而可得
即
由于
$T_{\bar{z}} H_{\varphi} T_{z}=H_{\varphi z^{2}}$ ，故$H_{\varphi\left(z^{2}-1\right)}=P{\bar{z}} f \otimes P \overline{g z}$ . 下面我们分2种情况进行讨论：情形1 若
$P {\bar{z}} f \otimes P \overline{g z}=0$ ，则$H_{\varphi\left(z^{2}-1\right)}=0$ ，从而$\varphi\left(z^{2}-1\right) \in H^{2} $ . 根据引理2知，$H_{\varphi}$ 是有限秩算子. 故由$T_{f} T_{g}=H_{\varphi}$ 及引理1可知f或g为0.情形2 若
$P \bar{z} f \otimes P \overline{g z} \neq 0$ ，则由于$H_{\varphi\left(z^{2}-1\right)}$ 是秩为1的算子，根据引理2知，存在一次解析多项式a(z)，使得$a(z)$ $\varphi\left(z^{2}-1\right) \in H^{2} $ . 由于$a(z)\left(z^{2}-1\right)$ 仍然是解析多项式，再次根据引理2，$H_{\varphi}$ 为有限秩算子. 因此，由$T_{f} T_{g}=H_{\varphi}$ 及引理1可得f或g为0.由
$T_{f} T_{g}=H_{\varphi}$ ，f或g为0以及$ {\varphi}$ ∈L∞，易得$ {\varphi}$ ∈H∞.充分性 显然.
下面，我们考虑3个Toeplitz算子的乘积等于一个Hankel算子的条件. 设
$T_{f_{1}} T_{f_{2}} T_{f_{3}}$ =$H_{\varphi}$ ，则从而
由于
$T_{\bar{z}} H_{\varphi} T_{z}=H_{\varphi z^{2}}$ ，故这表明
$H_{\varphi} T_{z^{2}-1}=H_{\varphi\left(z^{2}-1\right)}$ 是秩至多为2的算子. 由引理2知$H_{\varphi}$ 为有限秩算子. 从而$T_{f_{1}} T_{f_{2}} T_{f_{3}}$ =$H_{\varphi}$ 为有限秩算子. 因此，根据引理1可知，f1或f2或f3为0，从而有$ {\varphi}$ ∈H∞.反过来，如果f1或f2或f3为0，且
$ {\varphi}$ ∈H∞，则显然有$T_{f_{1}} T_{f_{2}} T_{f_{3}}$ =0=$H_{\varphi}$ . 因此，我们有下述结论：定理3 设f1，f2，f3∈L∞，
$ {\varphi}$ ∈L∞，则$T_{f_{1}} T_{f_{2}} T_{f_{3}}$ =$H_{\varphi}$ 当且仅当f1或f2或f3为0，且$ {\varphi}$ ∈H∞.应用上述的方法和技巧，上面的结论可以推广至任意有限多个Toeplitz算子的乘积是一个Hankel算子的情形，即：
定理4 设
$f_{1}, f_{2}, \cdots, f_{n} \in L^{\infty}, \varphi \in L^{\infty}$ ，则$T_{f_{1}} T_{f_{2}} \cdots T_{f_{n}}=H_{\varphi}$ 当且仅当f1或f2或…或fn为0，且$ {\varphi}$ ∈H∞.引理3 设
$f_{1}, f_{2}, \cdots, f_{n} \in L^{\infty}, \varphi \in L^{\infty}$ ，则$T_{f_{1}} T_{f_{2}} \cdots T_{f_{n}}=\sum\limits_{i=1}^{n-1} T_{a_{i}} T_{\bar{b}_{i}}+T_{\varphi}$ , 这里$a_{i}(z), b_{i}(z) \in \bigcap\limits_{q>1} H^{q}$ 且$\varphi \in \bigcap\limits_{q>1} L^{q}$ .证 应用数学归纳法证明该结论. 首先，如果n=2，则
这里，
$a=f_{1}^{+}, b=\bar{f_{2}^{-}}$ 均属于$\bigcap\limits_{q>1} H^{q}$ ，且现在假设结论对n个Toeplitz算子的情况成立，即
其中
$a_{i}(z), b_{i}(z) \in \bigcap\limits_{q>1} H^{q}, \varphi_{1} \in \bigcap\limits_{q>1} L^{q}$ ，那么对n+1个Toeplitz算子的乘积有这里
且
$A_{i}, B_{i} \in \bigcap\limits_{q>1} H^{q}$ ,即结论对n+1个Toeplitz算子的情况也成立.
综上所述，对一切自然数n，均有结论成立.
定理4的证明 充分性显然，下证必要性. 如果
$T_{f_{1}} T_{f_{2}} \cdots T_{f_{n}}=H_{\varphi}$ ，根据引理3，有此处
$a_{i}(z), b_{i}(z) \in \bigcap\limits_{q>1} H^{q}$ 且$\psi \in \bigcap\limits_{q>1} L^{q}$ . 从而由于
$T_{\bar{z}} H_{\varphi} T=H_{\varphi z}{ }^{2}$ ，因此是秩至多为n－1的算子. 又根据
$H_{\varphi\left(z^{2}-1\right)}=H_{\varphi} T_{z^{2}-1}$ 及引理2知，$H_{\varphi}$ 为有限秩算子，从而$T_{f_{1}} T_{f_{2}} \cdots T_{f_{n}}$ 是有限秩算子. 由引理1可得，f1或f2或…或fn为0，从而$H_{\varphi}$ =0，即$ {\varphi}$ ∈H∞. 故必要性得证.
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