Existence and Uniqueness of Several Types of Pullback Attractors and Applications to Non-Autonomous <i>p</i>-Laplacian Lattice Systems

LI Lin; YANG Yuan; SHU Ji

doi:10.13718/j.cnki.xsxb.2021.09.001

In this paper, the definition of pullback attractors has been generalized, the concepts of semi-uniformly compact $\mathscr{D} $-pullback attractors and semi-uniformly attracting $\mathscr{D} $-pullback attractors been introduced, and corresponding abstract results been established. The two abstract results have been applied to a non-autonomous p-Laplacian lattice system defined on the integer set. It shows that the system has a unique semi-uniformly compact $\mathscr{D} $-pullback attractor and a unique semi-uniformly attracting $\mathscr{D} $-pullback attractor in the energy space Ɩ². In addition, the relationship and structure of those attractors have also been investigated. The main difficulties is to overcome the non-compactness of embeddings in infinite lattice systems and the nonlinearity of the discrete p-Laplace operator for p>2.

HTML

动力系统是微分方程与泛函分析等多个数学分支的融合. 吸引子可看作状态空间中具有吸引性和不变性的紧集，它很好地描述了动力系统的解的长时间渐近行为. 目前，国内外越来越多的学者从事吸引子这一领域的研究，关于这方面的研究可参考文献[1-4]. 目前，自治动力系统的整体吸引子已被广泛研究，然而关于非自治动力系统的拉回吸引子的研究已逐步受到国内外广大学者的关注^[5-11].

由文献[6]可知非自治动力系统的拉回吸引子$ \mathscr{A}$={$ \mathscr{A}$(τ)}_{τ∈ $ \mathbb{R}$}是一族具有紧性、拉回吸引性、不变性和最小性的集合，且该文献研究了∪_s≤τ$ \mathscr{A}$(s)在状态空间中的有界性. 最近，文献[8]研究了∪_s≤τ$ \mathscr{A}$(s)在状态空间中的紧性并建立了相关理论结果. 由该文献可知，若非自治动力系统在状态空间中有一个单调递增的拉回吸收集且是半一致拉回渐近紧的，则该非自治过程在状态空间中具有一个半一致紧的拉回吸引子.

然而，该理论结果只对于确定性的吸引域成立，且该文献并没有研究拉回吸引子的半一致吸引性. 目前，对于变化吸引域情形的拉回吸引子的半一致吸引性的研究还是公开的. 本文的首要目的是研究变化吸引域情形下的非自治动力系统的$ \mathscr{D}$-拉回吸引子的半一致吸引性与半一致紧性，这里$ \mathscr{D}$是一个变化的吸引域. 我们首先介绍半一致紧的$ \mathscr{D}$-拉回吸引子与半一致吸引的$ \mathscr{D}$-拉回吸引子的定义. 此外，还证明，若非自治动力系统有一个半一致吸收的拉回$ \mathscr{D}$-吸收集，则它具有一个唯一的半一致紧的$ \mathscr{D}$-拉回吸引子$ \mathscr{A}$={$ \mathscr{A}$ (τ)}_{τ∈$ \mathbb{R}$}与一个唯一的半一致吸引的$ \mathscr{D}$-拉回吸引子U={U(τ)}_{τ∈$ \mathbb{R}$}，且它们满足包含关系$ \mathscr{A}$⊆U，见定理1.

本文的第二个目的是把该理论结果应用到定义在无界整数集上的非自治p-Laplacian格点系统：

且带有初始条件：

其中λ>0且p≥2. 格点动力系统是偏微分方程的空间离散化. 近些年来，关于格点动力系统及其相关动力学的研究在物理学、化学、生物学、力学、金融学等相关学科领域大量涌现^[12].

考虑如下Banach空间：

且范数为‖u‖_p= $ {\left( {\sum\limits_{i \in \mathbb{Z}} {{{\left| {{u_i}} \right|}^p}} } \right)^{\frac{1}{p}}}$. 若p=2，我们分别用‖·‖和(·，·)去表示Ɩ²的范数与内积. 在本文中，我们假设F_i∈C¹($\mathbb{R} $，$\mathbb{R} $)是一类局部Lipschitz连续(对i∈$\mathbb{Z} $是一致的)的非线性函数且满足F_i(s)s≥s^p，∀i∈$\mathbb{Z} $，s∈$\mathbb{R} $. 对于时间依赖的外力源g={g_i}_{i∈$\mathbb{Z} $}∈L_loc²($\mathbb{R} $，Ɩ²)，我们给出两种不同的假设：对于τ∈$\mathbb{R} $，

若p=2，则p-Laplacian格点系统(1)退化为标准的反应扩散格点系统. 目前，关于反应扩散格点系统的渐近行为已被研究^{[3-4, 7, 13]}. 本文主要研究p≥2的情形. 具体地，将在假设条件(3)，(4)下证明系统(1)具有唯一的半一致紧的$ \mathscr{D}$-拉回吸引子与唯一的半一致吸引的$ \mathscr{D}$-拉回吸引子. 而实现这一目标的关键点是如何建立系统的解在Ɩ²中的半一致$ \mathscr{D}$-拉回渐近紧性. 需要克服以下三个难点：

1) 由于整数集$ \mathbb{Z}$是无界的，因此Sobolev嵌入不是紧的.

2) 由于很难半一致地控制系统(1)的解在时间无穷远处的极限行为，因此不太容易获得解的半一致估计.

3) 由于离散的p-Laplace算子在p≠2时是非线性的，因此后向一致尾部估计会比p=2时困难得多.

为了克服以上困难，首先证明系统(1)在能量空间Ɩ²上具有一个半一致吸收的$ \mathscr{D}$拉回吸收集，然后采用文献[13]中的一致尾部估计的方法来建立该系统的解的后向一致渐近紧性. 此外，本文将多次用到下面的两个不等式：对于任意的p≥2和a，b∈ $ \mathbb{R}$，存在两个只依赖于p的正常数γ₁和γ₂使得

1. 半一致紧的拉回吸引子与半一致吸引的拉回吸引子的概念

本节简单介绍一些关于非自治动力系统的基本概念和一些新的定义. 关于非自治动力系统的详细介绍可参考文献[6]. 设(X，‖·‖_X)是一个Banach空间，且X上两个集合A与B的Hausdorff半距离为：dist_X(A，B)=sup_a∈Ainf_b∈B‖a-b‖_X.

定义 1   设定义在X上的一族映射Φ={Φ(t，τ)：t∈ $ \mathbb{R}$⁺，τ∈ $ \mathbb{R}$}满足：对于所有的t，s∈ $ \mathbb{R}$⁺和τ∈ $ \mathbb{R}$，都有Φ(0，τ)=I和Φ(t+s，τ)=Φ(t，s+τ)。Φ(s，τ)成立，则称S(·，·)是X上的一个非自治动力系统.

设D={D(τ)：τ∈ $ \mathbb{R}$}是X中的某些非空有界集合所构成的集合族. 此外，记D是所有这种集合族构成的全体，且假设D是包含封闭的^[14].

下面介绍通常的$ \mathscr{D}$-拉回吸引子和半一致紧的$ \mathscr{D}$-拉回吸引子的概念.

定义 2  ^[14]设Φ是定义在X上的一个非自治动力系统且$\mathscr{A} $={$\mathscr{A} $ (τ)}_{τ∈ $ \mathbb{R}$}∈$\mathscr{D} $是X上的一个非自治集，若$\mathscr{A} $满足如下条件：

1) 对于任意的τ∈ $ \mathbb{R}$，$\mathscr{A} $(τ)在X中是紧的；

2) $\mathscr{A} $是不变的：对于任意的t∈ $ \mathbb{R}$⁺和τ∈ $ \mathbb{R}$，都有Φ(t，τ)$\mathscr{A} $(τ)=$\mathscr{A} $(t+τ)成立；

3) $\mathscr{A} $是$ \mathscr{D}$-拉回吸引的：即对于任意的τ∈ $ \mathbb{R}$和D∈$\mathscr{D} $，都有

则称$\mathscr{A} $是Φ的一个$ \mathscr{D}$-拉回吸引子. 此外，在本文中，若∪_s≥τ$\mathscr{A} $(s)^X在X中是紧的，则称$\mathscr{A} $是Φ的一个前向一致紧的$ \mathscr{D}$-拉回吸引子. 若∪_s≤τ$\mathscr{A} $(s)^X在X中是紧的，则称$\mathscr{A} $是Φ的一个后向一致紧的$ \mathscr{D}$-拉回吸引子.

下面介绍半一致吸引的$ \mathscr{D}$-拉回吸引子的概念.

定义 3   设Φ是定义在X上的一个非自治动力系统且U={U(τ)}_{τ∈ $ \mathbb{R}$}∈$\mathscr{D} $是X上的一个非自治集. 若U满足如下条件：

(i) 对于任意的τ∈ $ \mathbb{R}$，U(τ)在X中是紧的；

(ii) U是前向一致$ \mathscr{D}$-拉回吸引的：即对每一个τ∈ $ \mathbb{R}$和D∈$\mathscr{D} $，都有

(iii) U是所有满足条件(i)和(ii)的集合中最小的一个，则称U是Φ的一个前向一致吸引的$ \mathscr{D}$-拉回吸引子. 此外，若U满足如下条件：

1) 对于任意的τ∈ $ \mathbb{R}$，U(τ)在X中是紧的；

2) U是后向一致$ \mathscr{D}$-拉回吸引的：即对每一个τ∈ $ \mathbb{R}$和D∈$\mathscr{D} $，都有

3) U是所有满足条件(1)和(2)的集合中最小的一个，则称U是Φ的一个后向一致吸引的$ \mathscr{D}$-拉回吸引子.

定义 4   设Φ是一个定义在X上的一个非自治动力系统且$\mathscr{K} $={$\mathscr{K} $(τ)}_{τ∈ $ \mathbb{R}$}是X中的一个非自治集.

(i) 若对每一个τ∈ $ \mathbb{R}$和D∈$\mathscr{D} $，都存在一个时间T=：T(τ，D)>0使得

则称$\mathscr{K} $是关于Φ的一个$ \mathscr{D}$-拉回吸收集.

(ii) 若对每一个τ∈ $ \mathbb{R}$和D∈$\mathscr{D} $，都存在一个时间T=：T(τ，D)>0使得

则称$\mathscr{K} $是一个关于Φ的一个前向一致吸收$ \mathscr{D}$-拉回吸收集.

(iii) 若对每一个τ∈ $ \mathbb{R}$和D∈$\mathscr{D} $，都存在一个时间T=：T(τ，D)>0使得

则称$\mathscr{K} $是关于Φ的一个后向一致吸收$ \mathscr{D}$-拉回吸收集.

定义 5   设Φ是一个定义在X上的非自治动力系统.

(i) 若τ∈ $ \mathbb{R}$和D∈$\mathscr{D} $，当t_n→+∞和x_n∈$\mathscr{D} $(τ-t_n)时，序列{Φ(t_n，τ-t_n)x_n}_n=1^∞在X中是预紧的，则称Φ在X中是$ \mathscr{D}$-拉回渐近紧的.

(ii) 若τ∈ $ \mathbb{R}$和D∈$\mathscr{D} $，当s_n≥τ，t_n→+∞和x_n∈D(s_n-t_n)时，序列{Φ(t_n，s_n-t_n)x_n}_n=1^∞在X中是预紧的，则称Φ在X中是前向一致$ \mathscr{D}$-拉回渐近紧的.

(iii) 若τ∈ $ \mathbb{R}$和D∈$\mathscr{D} $，当s_n≤τ，t_n→+∞和x_n∈$\mathscr{D} $(s_n-t_n)时，序列{Φ(t_n，s_n-t_n)x_n}_n=1^∞在X中是预紧的，则称Φ在X中是后向一致$ \mathscr{D}$-拉回渐近紧的.

2. 半一致紧的拉回吸引子与半一致吸引的拉回吸引子的存在性定理

本节研究半一致紧的$ \mathscr{D}$-拉回吸引子与半一致吸引的$ \mathscr{D}$-拉回吸引子的存在性与唯一性. 此外，我们还研究了他们的结构和关系.

定理 1 设Φ是X中的一个非自治动力系统，我们有如下两个结论：

(i) 若Φ在X中有一个闭的前向一致吸收的$ \mathscr{D}$-拉回吸收集$\mathscr{K} $={$\mathscr{K} $(τ)}_{τ∈ $ \mathbb{R}$}∈$\mathscr{D} $，且Φ在X中是前向一致$ \mathscr{D}$-拉回渐近紧的，则Φ在X中有一个唯一的前向一致紧$ \mathscr{D}$-拉回吸引子$\mathscr{A} $={$\mathscr{A} $(τ)}_{τ∈ $ \mathbb{R}$}∈$\mathscr{D} $和一个唯一的前向一致吸引的$ \mathscr{D}$-拉回吸引子U={U(τ)}_{τ∈ $ \mathbb{R}$}∈$\mathscr{D} $. 此外，我们还有$\mathop \cup \limits_{s \ge \tau } $$\mathscr{A} $(s)^X⊆U(τ)，且A与U有如下结构：

(ii) 若Φ在X中有一个闭的后向一致吸收的$ \mathscr{D}$-拉回吸收集K={K(τ)}_{τ∈ $ \mathbb{R}$}∈$\mathscr{D} $，且Φ在X中是后向一致$ \mathscr{D}$-拉回渐近紧的，则Φ在X中有一个唯一的后向一致紧$ \mathscr{D}$-拉回吸引子$\mathscr{A} $={$\mathscr{A} $(τ)}_{τ∈ $ \mathbb{R}$}∈$\mathscr{D} $和一个唯一的后向一致吸引的$ \mathscr{D}$-拉回吸引子U={U(τ)}_{τ∈ $ \mathbb{R}$}∈$\mathscr{D} $. 此外，我们还有∪_s≤τ$\mathscr{A} $(s)^X⊆U(τ)，且$\mathscr{A} $(τ)与U(τ)有如下结构：

证由于(ii)的证明与(i)的类似，故只需证明(i)即可. 首先分三步证明(10)式中的U∈$\mathscr{D} $且U是非自治动力系统Φ在X中的唯一的前向一致吸引的$ \mathscr{D}$-拉回吸引子.

第一步：U∈$\mathscr{D} $. 由于$\mathscr{K} $∈$\mathscr{D} $且$\mathscr{K} $是Φ在X中的一个前向一致吸收的$ \mathscr{D}$-拉回吸收集，于是对于每一个τ∈ $ \mathbb{R}$，存在T₁ = T₁(τ，$\mathscr{K} $) >0使得$ \mathop \cup \limits_{y \ge {T_1}} \mathop \cup \limits_{s \ge \tau } $Φ(t，s-t)$\mathscr{K} $(s-t)⊆$\mathscr{K} $(τ). 由于$\mathscr{K} $是闭的，因此对于所有的r≥T₁，

再由U(τ)的定义可知

由于$\mathscr{D} $是包含闭的且$\mathscr{K} $∈$\mathscr{D} $，因此U∈$\mathscr{D} $.

第二步：U在X中的紧性. 任取{y_n}_n=1^∞⊆U(τ)，由U(τ)的定义可知存在s_n≥τ，t_n↑→+∞和x_n∈ $\mathscr{K} $(s_n-t_n)使得

由于Φ在X中是前向一致$\mathscr{D} $拉回渐近紧的，可知存在y₀∈X和一个收敛子列使得

对于r>0，由(13)式可知存在一个K∈$\mathbb{N} $，使得当k≥K时，t_{n_k}≥r且

由此可知y₀∈U(τ). 另一方面，由(12)-(13)式可知，在X中，当k→∞时，y_{n_k}→y₀. 故U(τ)在X中是紧的.

第三步：U的前向一致吸引性. 用反证法证明，对于每一个τ∈ $ \mathbb{R}$和D∈$\mathscr{D} $，U满足(8)式. 若不成立，则存在η>0，τ₀∈ $\mathbb{R} $，s_n≥τ₀，t_n→+∞和x_n∈$\mathscr{D} $(s_n-t_n)使得

由第二步的证明过程可知，存在y₀∈X和一个收敛子列使得在X中当k→∞时，Φ(t_{n_k}，s_{n_k}-t_{n_k})x_{n_k}→y₀且y₀∈U(τ₀). 这与(14)式矛盾. 故U具有前向一致$ \mathscr{D}$-拉回吸引性.

第四步：U的最小性. 设B∈$\mathscr{D} $在X中是紧的且是Φ的一个前向一致吸引的$ \mathscr{D}$-拉回吸引集. 我们将证明U⊆B. 对于每一个τ∈ $ \mathbb{R}$，设x∈U(τ). 由U(τ)的定义可知，存在s_n≥τ，t_n→+∞，x_n∈ $\mathscr{K} $(s_n-t_n)使得当n→∞时，Φ(t_n，s_n-t_n)x_n→x. 另一方面，由B，$\mathscr{K} $∈$\mathscr{D} $和B的前向一致$ \mathscr{D}$-拉回吸引性可知，当n→∞时，

再由B(τ)的紧性可知x∈B(τ)，故U(τ)⊆B(τ)，从而证明了U的最小性和唯一性.

由以上4个步骤可知U∈$\mathscr{D} $是Φ的唯一的前向一致吸引的$ \mathscr{D}$-拉回吸引子. 此外，由本定理的条件和文献[14]的定理2.23可知，非自治动力系统Φ在X中有一个唯一的$ \mathscr{D}$-拉回吸引子$\mathscr{A} $∈$\mathscr{D} $，且$\mathscr{A} $由(10)式给出. 由$\mathscr{A} $与U的结构可知，对于任意的τ∈ $ \mathbb{R}$，有$ \mathop \cup \limits_{s \ge \tau } $$\mathscr{A} $(s)^X⊆U(τ). 这与U(τ)在X中的紧性可推得$ \mathop \cup \limits_{s \ge \tau } $$\mathscr{A} $(s)^X在X中的紧性. 于是$\mathscr{A} $∈$\mathscr{D} $是Φ的唯一的前向一致紧的$ \mathscr{D}$-拉回吸引子. 证毕.

3. 非自治p-Laplacian格点系统

为了把系统(1)-(2)转化为一个定义在Ɩ²上的抽象系统，定义两个由Ɩ²到Ɩ²的有界线性算子B和B^*：(Bu)_i=u_i+1-u_i和(B^*u)_i=u_i-1-u_i，∀u=(u_i)_{i∈$\mathbb{Z} $}∈Ɩ². 容易证明，对于任意的u，v∈ Ɩ²，都有‖Bu‖≤2‖u‖，BB^*=B^*B和(B^*u，v)=(u，Bv). 对于p≥2，定义离散的p-Laplace算子A_p：Ɩ²→Ɩ²

由(6)式和(15)式可知，对于任意的u，v∈ Ɩ²，

于是A_p：Ɩ²Ɩ²是局部Lipschitz连续的，也即是，对于每一个Ɩ²上的有界集E，存在一个常数c₁=c₁(E)>0使得

此外，由(5)式和(15)式可知，对于任意的u，v∈Ɩ²，

于是A_p：Ɩ²→Ɩ²是单调的，也即是

为了处理方程中的非线性函数，定义算子F(u)=(F_i(u_i))_{i∈$\mathbb{Z} $}，∀u=(u_i)_{i∈$\mathbb{Z} $}∈Ɩ². 由于F_i∈ C¹($\mathbb{R} $，$\mathbb{R} $)是局部Lipschitz连续的，于是对于每一个Ɩ²上的有界集E，存在一个常数c₂=c₂(E)>0使得

此外，还有(F(u)，u)≥‖u‖_p^p，∀u∈Ɩ². 最后，把系统(1)-(2)重写Ɩ²上的抽象的系统：

且具有初始条件：

由(16)-(18)式可知，对于每一个g∈L_loc²($\mathbb{R} $，Ɩ²)和(τ，u₀)∈ $ \mathbb{R}$×Ɩ²，系统(19)-(20)有一个唯一的解u(·，τ，u₀)∈C([τ，+∞)，Ɩ²). 基于此，对于t∈ $ \mathbb{R}$⁺和τ∈ $ \mathbb{R}$，我们定义一个非自治动力系统Φ(t，τ)：Ɩ²Ɩ²，Φ(t，τ)u₀=u(t+τ，τ，u₀)，∀u₀∈Ɩ². 为了获得解的一致估计，我们介绍3个吸引域：D，B和C，它们分别是满足如下条件的集合族D={D(τ)：τ∈ $\mathbb{R} $}，B={B(τ)：τ∈ $\mathbb{R} $}和C={C(τ)：τ∈ $ \mathbb{R}$}所构成的全体：

4. 解的一致估计与一致尾端估计

首先建立系统(19)-(20)的解在Ɩ²上的一致估计.

引理 1   (i) 若(3)式或(4)式成立，则对于每个τ∈ $ \mathbb{R}$和D∈$\mathscr{D} $，存在T：=T(τ，D)>0使得

(ii) 若(3)式成立，则对于每个τ∈ $ \mathbb{R}$和B∈$\mathscr{B} $，存在T：=T(τ，$\mathscr{B} $)>0使得

(iii) 若(4)式成立，则对于每个τ∈ $ \mathbb{R}$和C∈$\mathscr{C} $，存在T：=T(τ，C)>0使得

证   由于(i)与(iii)的证明与(ii)的证明是类似的，故只证明(ii). 由(19)-(20)式可知

于是由(17)式和(F(u)，u)≥‖u‖_p^p可知

对于τ∈ $ \mathbb{R}$和B∈$\mathscr{B} $，由Gronwall不等式可知，对于任意的s≥τ和t≥0，

于是由$\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{t \to + \infty } $e^-λt $ \mathop {{\rm{sup}}}\limits_{s \ge \tau } $‖B(s-t)‖²=0可知，存在T：=T(τ，B)>0使得当t≥T时，

证毕.

接下来运用文献[13]中的截断方法获取解的后向一致尾部估计. 定义一个光滑函数ξ：$\mathbb{R} $→[0, 1]使得当|s|≤1时ξ(s)=0，且当|s|≥2时ξ(s)=1.

引理 2   (i) 若(3)式或(4)式成立，则对于每个τ∈ $ \mathbb{R}$和D∈$\mathscr{D} $，有

(ii) 若(3)式成立，则对于每个τ∈ $ \mathbb{R}$和B∈$\mathscr{B} $，有

(iii) 若(4)式成立，则对于每个τ∈ $ \mathbb{R}$和C∈$\mathscr{C} $，有

证   由于(i)与(iii)的证明与(ii)的证明是类似的，故只证明(ii).

对于任意的n∈$\mathbb{N} $，记ξ_n= $ \left( {\xi \left( {\frac{i}{n}} \right)} \right)$_{i∈$\mathbb{Z} $}和ξ_nu= $ \left( {\xi \left( {\frac{i}{n}} \right){u_i}} \right)$_{i∈$\mathbb{Z} $}. 由(19)-(20)式可知

由光滑函数ξ的性质和Ɩ²⊆l^p可知，(25)式左边的第三项满足

其中c₃，c₄和c₅都是不依赖于n的正常数. 最后由(25)-(26)式和(F(u)，u)≥0可知

对于τ∈ $ \mathbb{R}$和B∈$\mathscr{B} $，我们由Gronwall不等式和(24)式可知，存在T：=T(τ，B)>0使得当t≥T时，对于任意的s≥τ都有

由(28)式和(3)式可知，当t→+∞和n→∞时，

由此可知(ii)得证. 证毕.

5. 半一致紧的拉回吸引子与半一致吸引的拉回吸引子的存在性

本节证明非自治p-Laplacian格点系统(19)-(20)在能量空间Ɩ²上分别有一个唯一的半一致紧的拉回吸引子和一个唯一的半一致吸引的拉回吸引子. 首先证明非自治动力系统Φ具有一个半一致吸收的拉回吸收集.

引理 3   (i) 若(3)式或(4)式成立，则Φ具有一个$ \mathscr{D}$-拉回吸收集$\mathscr{K} $_{$\mathscr{D} $}={$\mathscr{K} $_{$\mathscr{D} $}(τ)：τ∈ $\mathbb{R} $}∈$\mathscr{D} $且$\mathscr{K} $_{$\mathscr{D} $}(τ)={u∈ Ɩ²：‖u‖²≤ $\frac{2}{\lambda }\int_{ - \infty }^\tau {\rm{e}} $^λ(r-τ)‖g(r)‖²dr}.

(ii) 若(3)式成立，则Φ具有一个前向一致吸收的$\mathscr{B} $-拉回吸收集$\mathscr{K} $_{$\mathscr{B} $}={$\mathscr{K} $_{$\mathscr{B} $}(τ)：τ∈ $\mathbb{R} $}∈$\mathscr{B} $且$\mathscr{K} $_{$\mathscr{B} $}(τ)={u∈Ɩ²：‖u‖²≤ $\frac{2}{\lambda }\mathop {{\rm{sup}}}\limits_{s \ge \tau } \int_{ - \infty }^\tau {\rm{e}} $^λ(r-s)‖g(r)‖²dr}.

(iii) 若(4)式成立，则Φ具有一个后向一致吸收的$\mathscr{C} $-拉回吸收集$\mathscr{K} $_{$\mathscr{C} $}={$\mathscr{K} $_{$\mathscr{C} $}(τ)：τ∈ $\mathbb{R} $}∈$\mathscr{C} $且$\mathscr{K} $_{$\mathscr{C} $}(τ)={u∈ Ɩ²：‖u‖²≤ $ \frac{2}{\lambda }\mathop {{\rm{sup}}}\limits_{s \ge \tau } \int_{ - \infty }^\tau {\rm{e}} $^λ(r-s)‖g(r)‖²dr}.

证   由于(i)与(iii)的证明与(ii)的证明是类似的，只证明(ii). 由引理1可知存在T：=T(τ，B)>0使得$ \mathop \cup \limits_{t \ge T} \mathop \cup \limits_{s \ge \tau } $Φ(t，s-t)B(s-t) ⊆ $\mathscr{K} $_{$\mathscr{B} $}(τ). 另一方面，当t→+∞时，

由此可知$\mathscr{K} $_{$\mathscr{B} $}∈$\mathscr{B} $. 故$\mathscr{K} $_{$\mathscr{B} $}是Φ的一个前向一致吸收的$\mathscr{B} $-拉回吸收集. 证毕.

下面证明Φ在能量空间Ɩ²上分别有一个唯一的半一致紧的拉回吸引子和一个唯一的半一致吸引的拉回吸引子.

定理 2   (i) 若(3)式或(4)式成立，则Φ具有一个唯一的$ \mathscr{D}$-拉回吸引子$\mathscr{A} $_{$\mathscr{D} $}={$\mathscr{A} $_{$\mathscr{D} $}(τ)：τ∈ $\mathbb{R} $}∈$\mathscr{D} $，且

(ii) 若(3)式成立则Φ具有一个唯一的前向一致紧的$\mathscr{B} $-拉回吸引子$\mathscr{A} $_{$\mathscr{B} $}={$\mathscr{A} $_{$\mathscr{B} $}(τ)：τ∈ $ \mathbb{R}$}∈$\mathscr{B} $和一个唯一的前向一致吸引的$\mathscr{B} $-拉回吸引子U_{$\mathscr{B} $}={U_{$\mathscr{B} $}(τ)：τ∈ $\mathbb{R} $}∈$\mathscr{B} $，且

(iii) 若(4)式成立，则Φ具有一个唯一的后向一致紧的C-拉回吸引子$\mathscr{A} $_{$\mathscr{C} $}={$\mathscr{A} $_{$\mathscr{C} $}(τ)：τ∈ $\mathbb{R} $}∈$\mathscr{C} $和一个唯一的前向一致吸引的$\mathscr{C} $-拉回吸引子U_{$\mathscr{C} $}={U_{$\mathscr{C} $}(τ)：τ∈ $\mathbb{R} $}∈$\mathscr{C} $，且

(iv) 若(3)式成立，则$\mathscr{A} $_{$\mathscr{D} $}=$\mathscr{A} $_{$\mathscr{B} $}⊆U_{$\mathscr{B} $}. 若(4)式成立，则$\mathscr{A} $_{$\mathscr{D} $}=$\mathscr{A} $_{$\mathscr{C} $}⊆U_{$\mathscr{C} $}.

证   对于τ∈ $ \mathbb{R}$和D∈$\mathscr{D} $，设s_n≥τ，t_n→+∞且x_n∈$\mathscr{D} $(s_n-t_n). 我们将证明序列

在Ɩ²的拓扑下有一个收敛子列. 对于任意的ε∈(0，1)，由引理2可知，存在k₁，n₁∈$\mathbb{N} $使得

又由引理1可知序列{Zⁿ}_n=1^∞在Ɩ²中是有界的. 于是序列{(Z_iⁿ)_{|i| < k₁}}_n=1^∞在$\mathbb{R} $^2k₁-1中是有界的. 于是{(Z_iⁿ)_{|i| < k₁}}_n=1^∞在$\mathbb{R} $^2k₁-1中有收敛子列(记为它本身). 由此可知存在n₂≥n₁使得

由(29)式和(30)式可知，当n，m≥n₂时，

因此，{Zⁿ}_n=1^∞是Ɩ²中的一个柯西列. 又因为Ɩ²是一个希尔伯特空间，故它在Ɩ²中有一个收敛子列. 于是Φ在Ɩ²中是前向一致$ \mathscr{D}$-拉回渐近紧的. 基于此和引理3，由定理1可知(ii)成立. 同理可证(i)和(iii).

下面证明(iv). 由$\mathscr{K} $_{$\mathscr{D} $}(τ)⊆$\mathscr{K} $_{$\mathscr{B} $}(τ)可知$\mathscr{A} $_{$\mathscr{D} $}(τ)⊆$\mathscr{A} $_{$\mathscr{B} $}(τ). 另一方面，由$\mathscr{A} $_{$\mathscr{B} $}∈$\mathscr{B} $⊆$ \mathscr{D}$，$\mathscr{A} $_{$\mathscr{B} $}的不变性和$\mathscr{A} $_{$\mathscr{D} $}的$ \mathscr{D}$- 拉回吸引性可知，当t→+∞时，

于是$\mathscr{A} $_{$\mathscr{B} $}(τ)⊆$\mathscr{A} $_{$\mathscr{D} $}(τ)^Ɩ²=$\mathscr{A} $_{$\mathscr{D} $}(τ). 因此$\mathscr{A} $_{$\mathscr{D} $}=$\mathscr{A} $_{$\mathscr{B} $}⊆U_{$\mathscr{B} $}. 同理可证$\mathscr{A} $_{$\mathscr{D} $}=$\mathscr{A} $_{$\mathscr{C} $}⊆U_{$\mathscr{C} $}. 证毕.

Reference (14)

Name
	Name cannot be empty!
E-mail
	Mailbox cannot be empty! Mailbox cannot be empty!
Telephone
	Mobile number cannot be empty! Please enter a valid mobile number!
Title

Content
Verification Code

[1]	郭柏灵. 无穷维动力系统(上下)[M]. 北京: 国防工业出版社, 2000. Google Scholar
[2]	GUOB L, LIY S. Attractor for Dissipative Klein-Gordon-Schrödinger Equations in $\mathbb{R} $³ [J]. Journal of Differential Equations, 1997, 136(2): 356-377. doi: 10.1006/jdeq.1996.3242 CrossRef $\mathbb{R} $³" target="_blank">Google Scholar
[3]	ZHOUS F. Attractors and Approximations for Lattice Dynamical Systems [J]. Journal of Differential Equations, 2004, 200(2): 342-368. doi: 10.1016/j.jde.2004.02.005 CrossRef Google Scholar
[4]	BATESP W, LUK N, WANGB X. Attractors for Lattice Dynamical Systems [J]. International Journal of Bifurcation and Chaos, 2001, 11(1): 143-153. doi: 10.1142/S0218127401002031 CrossRef Google Scholar
[5]	ZHAOW Q. Long-Time Random Dynamics of Stochastic Parabolic P-LaplacianEquations on $\mathbb{R} $^N [J]. Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications, 2017, 152: 196-219. $\mathbb{R} $^N" target="_blank">Google Scholar
[6]	CARVALHO A N, LANGA J A, ROBINSON J C. Attractors for Infinite-Dimensional Non-Autonomous Dynamical Systems[M]. New York: Springer New York, 2013. Google Scholar
[7]	BATESP W, LUK N, WANGB X. Attractors of Non-Autonomous Stochastic Lattice Systems in Weighted Spaces [J]. Physica D: Nonlinear Phenomena, 2014, 289: 32-50. doi: 10.1016/j.physd.2014.08.004 CrossRef Google Scholar
[8]	Li Yang-rong, Wang Ren-hai, Yin Jin-yan. Backward Compact Attractors for Non-Autonomous Benjamin-Bona-Mahony Equations on Unbounded Channels[J]. Discrete Continuous Dynamical Systems Series B, 2017, 22(5): 2569-2586. Google Scholar
[9]	彭冬冬, 李扬荣. 小噪音驱动的广义Ginzburg-Landau方程的随机吸引子的上半连续性[J]. 西南师范大学学报(自然科学版), 2015, 40(4): 16-20. Google Scholar
[10]	王蕊, 李扬荣. 带有可乘白噪音的广义Ginzburg-Landau方程的随机吸引子[J]. 西南大学学报(自然科学版), 2012, 34(2): 92-95. Google Scholar
[11]	王仁海, 佘连兵, 李扬荣. 无界域上带加法噪音扰动的Benjamin-Bona-Mahony方程在高正则空间上的随机吸引子的上半连续性[J]. 西南师范大学学报(自然科学版), 2016, 41(11): 15-19. Google Scholar
[12]	ERNEUX T, NICOLIS G. Propagating Waves in Discrete Bistable Reaction-Diffusion Systems [J]. Physica D: Nonlinear Phenomena, 1993, 67(1-3): 237-244. doi: 10.1016/0167-2789(93)90208-I CrossRef Google Scholar
[13]	WANGB X. Attractors for Reaction-Diffusion Equations in Unbounded Domains [J]. Physica D: Nonlinear Phenomena, 1999, 128(1): 41-52. doi: 10.1016/S0167-2789(98)00304-2 CrossRef Google Scholar
[14]	WANG B X. Sufficient and Necessary Criteria for Existence of Pullback Attractors for Non-Compact Random Dynamical Systems [J]. Journal of Differential Equations, 2012, 253(5): 1544-1583. doi: 10.1016/j.jde.2012.05.015 CrossRef Google Scholar

Message Board

Existence and Uniqueness of Several Types of Pullback Attractors and Applications to Non-Autonomous p-Laplacian Lattice Systems

Abstract

References

Access History

通讯作者: 陈斌, bchen63@163.com

Article Metrics

Access History

Other Articles By Authors

Existence and Uniqueness of Several Types of Pullback Attractors and Applications to Non-Autonomous p-Laplacian Lattice Systems

Corresponding author: YANG Yuan ;

HTML

Catalog

Message Board

Existence and Uniqueness of Several Types of Pullback Attractors and Applications to Non-Autonomous p-Laplacian Lattice Systems

Abstract

References

Access History

通讯作者: 陈斌, bchen63@163.com

Article Metrics

Access History

Other Articles By Authors

Existence and Uniqueness of Several Types of Pullback Attractors and Applications to Non-Autonomous p-Laplacian Lattice Systems

Corresponding author: YANG Yuan ;

HTML

Catalog

Export File

Citation

Format

Content