On Optimality of Generalized Convex Multi-objective Programming

考虑下面多目标优化问题

其中：X为${{\mathbb{R}}^{n}}$上的非空开集；令K={1，2，…，k}，M={1，2，…，m}，f_i(x)：X→$\mathbb{R}$，i∈K，g_j(x)：X→$\mathbb{R}$，j∈M，f_i(x)和g_j(x)皆为x⁰∈X处局部Lipschitz函数；C_i，D_j是${{\mathbb{R}}^{n}}$中对于每一个i∈K和j∈M的紧凸集.

对于∀x，y∈${{\mathbb{R}}^{n}}$，x$\leqq $y$\Leftrightarrow $x_i$\leqq $y_i；x≤y$\Leftrightarrow $x_i$\leqq $y_i，但x≠y；x < y$\Leftrightarrow $x_i<y_i，i=1，…，n.

令X⁰={x∈X|g_j(x)+s(x|D_j)$\leqq $0，j∈M}为MVP的可行解集.

令J(x₀)={j|g_j(x₀)+s(x₀|D_j)=0}，其中s(x|C_i)和s(x|D_j)表示在X上的支撑函数，其定义如下：

本文采用如下符号：

定义1 ^[6]  设X是${{\mathbb{R}}^{n}}$中的开集，函数f：X→${{\mathbb{R}}^{n}}$在x∈X上是局部Lipschitz的，若

存在，则称此极限为函数f在x处沿方向d的Clarke广义方向导数，记作

并记f在x处沿方向d的Clarke广义次梯度为

定义2 ^[7]  (弱有效解)设x^*∈X⁰，如果不存在x∈X⁰，使得

则称x^*是MVP的弱有效解.

定义3 ^[4]  (凸泛函线性定义)设X是${{\mathbb{R}}^{n}}$中的开集，若对任意固定的(x，y)∈${{\mathbb{R}}^{n}}$×${{\mathbb{R}}^{n}}$，∀λ∈(0，1)，∀z₁，z₂∈${{\mathbb{R}}^{n}}$，有

则称函数C：X×X×${{\mathbb{R}}^{n}}$→$\mathbb{R}$在${{\mathbb{R}}^{n}}$上是关于第3个变量的凸泛函.

性质1 ^[4]  C：X×X×${{\mathbb{R}}^{n}}$→$\mathbb{R}$在${{\mathbb{R}}^{n}}$上是关于第3个变量的凸泛函，则对∀λ_i∈(0，1)，$\sum\limits_{i=1}^{n}{{{\lambda }_{i}}}=1$，∀z_i∈${{\mathbb{R}}^{n}}$，有$C\left(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}; \sum\limits_{i=1}^{n} \lambda_{i} z_{i}\right) \leqslant \sum\limits_{i=1}^{n} \lambda_{i} C\left(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}; \boldsymbol{z}_{i}\right)$.

注1   特殊地，若λ=0，则C(x，y；λz)=0，z∈${{\mathbb{R}}^{n}}$.

定义4  如果存在a_i，b_j，α，使得

成立，则称(f_i(x)+x^Tω_i，g_j(x)+x^Tυ_j)在x∈X处是广义(C，α)－I型凸函数.

注2   上述定义中，如果α(x，u)=1，C[x，u；y]=yη(x，u)，ξ_i换成f_i^s(u)，ζ_j换成g_j^s(u)就能够得到文献[5]中相应的不变凸函数.

定义5  如果存在a_i，b_j，α，使得

成立，则称(f_i(x)+x^Tω_i，g_j(x)+x^Tυ_j)在u∈X处是广义严格拟(C，α)－I型凸函数.

定义6   如果存在a_i，b_j，α，使得

称(f_i(x)+x^Tω_i，g_j(x)+x^Tυ_j)在u∈X处是广义严格伪拟(C，α)－I型凸函数.

定理1   假设x₀∈X，如果满足下列条件

(Ⅰ) (f_i(x)+x^Tω_i，g_j(x)+x^Tυ_j)在x₀∈X处是广义(C，α)－I型凸函数.

(Ⅱ) 存在λ=(λ₁，λ₂，…，λ_k)≥0，μ=(μ₁，μ₂，…μ_m)$\geqq $0，使得

a) $0=\sum\limits_{i=1}^{k} \lambda_{i}\left(\xi_{i}+\boldsymbol{\omega}_{i}\right)+\sum\limits_{j=1}^{m} \mu_{j}\left(\zeta_{j}+\boldsymbol{v}_{i}\right), \exists \xi_{i} \in \partial f_{i}\left(\boldsymbol{x}_{0}\right), \exists \zeta_{j} \in \partial g_{j}\left(\boldsymbol{x}_{0}\right)$，

b) $\sum\limits_{j=1}^{m} \mu_{j}\left(g_{j}(\boldsymbol{x})+\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{v}_{j}\right)=0$，

(Ⅲ) $a_{i}\left(\overline{\boldsymbol{x}}, \boldsymbol{x}_{0}\right)>0, b_{j}\left(\overline{\boldsymbol{x}}, \boldsymbol{x}_{0}\right)>0$，

(Ⅳ) $\left(\sum\limits_{i=1}^{k} \lambda_{i} \rho_{i}+\sum\limits_{j=1}^{m} \mu_{j} \tau_{j}\right)\left\|\theta\left(\overline{\boldsymbol{x}}, \boldsymbol{x}_{0}\right)\right\|^{\sigma} \geqq 0$.

则x₀是MVP的弱有效解.

证  假设x₀不是MVP的弱有效解，则存在x ∈X⁰使得

由(7)式得

则有

由条件(Ⅲ)可知

由条件(Ⅰ)可知

由(9)式知

也即

当j∈J(x₀)时

也即

由条件(Ⅰ)知

当j∉J(x₀)时，由b)知μ_j=0，根据(11)式得

等价于

将(10)式和(12)式相加并结合条件(Ⅳ)得

令${\mathit{\Gamma}}=\sum\limits_{i=1}^{k} \lambda_{i}+\sum\limits_{j=1}^{m} \mu_{j}$，由定义3以及性质1得

由a)得

这与(13)式矛盾.

故x₀是MVP的弱有效解.

定理2   假设x₀∈X，如果满足下列条件

(Ⅰ) (f_i(x)+x^Tω_i，g_j(x)+x^Tυ_j)在x₀∈X处是广义严格拟(C，α)－I型凸函数.

(Ⅱ) 存在λ=(λ₁，λ₂，…，λ_k)≥0，μ=(μ₁，μ₂，…μ_m)$\geqq $0，使得下列条件成立：

a) $0=\sum\limits_{i=1}^{k} \lambda_{i}\left(\xi_{i}+\boldsymbol{\omega}_{i}\right)+\sum\limits_{j=1}^{m} \mu_{j}\left(\zeta_{j}+\boldsymbol{v}_{i}\right), \exists \xi_{i} \in \partial f_{i}\left(\boldsymbol{x}_{0}\right), \exists \zeta_{j} \in \partial g_{j}\left(\boldsymbol{x}_{0}\right)$，

b) $\sum\limits_{j=1}^{m} \mu_{j}\left(g_{j}(\boldsymbol{x})+\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{v}_{j}\right)=0$，

(Ⅲ) $a_{i}\left(\overline{\boldsymbol{x}}, \boldsymbol{x}_{0}\right)>0, b_{j}\left(\overline{\boldsymbol{x}}, \boldsymbol{x}_{0}\right)>0$，

(Ⅳ) $\left(\sum\limits_{i=1}^{k} \lambda_{i} \rho_{i}+\sum\limits_{j=1}^{m} \mu_{j} \tau_{j}\right)\left\|\theta\left(\overline{\boldsymbol{x}}, \boldsymbol{x}_{0}\right)\right\| \sigma \geqq 0$.

则x₀是MVP的弱有效解.

证  假设x₀不是MVP的弱有效解，则存在x ∈X⁰使得

由(14)式得

则有

由条件(Ⅲ)可知

由(16)式和条件(Ⅰ)可得

也即

当j∈J(x₀)时，g_j(x₀)+x₀^Tυ_j=g_j(x₀)+s(x₀|D_j)=0，即

由条件(Ⅰ)知

当j∉J(x₀)时，由b)知μ_j=0，根据(18)式得

等价于

将(17)式和(19)式相加并结合(Ⅳ)得

令${\mathit{\Gamma}}=\sum\limits_{i=1}^{k} \lambda_{i}+\sum\limits_{j=1}^{m} \mu_{j}$，由定义3以及性质1得

由a)得

这与(20)式矛盾，则x₀是MVP的弱有效解.

定理3   假设x₀∈X，如果满足下列条件

(Ⅰ) (f_i(x)+x^Tω_i，g_j(x)+x^Tυ_j)在x₀∈X处是广义严格伪拟(C，α)－I型凸函数.

(Ⅱ) 存在λ=(λ₁，λ₂，…，λ_k)≥0，μ=(μ₁，μ₂，…μ_m)$\geqq $0，使得下列条件成立：

a) $0=\sum\limits_{i=1}^{k}{{{\lambda }_{i}}}\left({{\xi }_{i}}+{{\mathrm{ }\!\!\omega\!\!\text{ }}_{i}} \right)+\sum\limits_{j=1}^{m}{{{\mu }_{j}}}\left({{\zeta }_{j}}+{{\mathrm{v}}_{i}} \right), \exists {{\xi }_{i}}\in \partial {{f}_{i}}\left({{x}_{0}} \right), \exists {{\zeta }_{j}}\in \partial {{g}_{j}}\left({{\mathrm{x}}_{0}} \right)$，

b) $\sum\limits_{j=1}^{m} \mu_{j}\left(g_{j}(\boldsymbol{x})+\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{v}_{j}\right)=0$，

(Ⅲ) $a_{i}\left(\overline{\boldsymbol{x}}, \boldsymbol{x}_{0}\right)>0, b_{j}\left(\overline{\boldsymbol{x}}, \boldsymbol{x}_{0}\right)>0$，

(Ⅳ) $\left(\sum\limits_{i=1}^{k} \lambda_{i} \rho_{i}+\sum\limits_{j=1}^{m} \mu_{j} \tau_{j}\right)\left\|\theta\left(\overline{\boldsymbol{x}}, \boldsymbol{x}_{0}\right)\right\|^{\sigma} \geqq 0$.

则x₀是MVP的弱有效解.

证  假设x₀不是MVP的弱有效解，则存在x ∈X⁰使得，

由(21)式得f_i(x₀)+x₀^Tω_i=f_i(x₀)+s(x₀|C_i)>f_i(x)+s(x|C_i)=f_i(x)+x^Tω_i，则f_i(x)+x^Tω_i－(f_i(x₀)+x₀^Tω_i) < 0.

由条件(Ⅲ)可知

由(23)式和条件(Ⅰ)可得C[x，x₀；α(x，x₀)(ξ_i+ω_i)]+ρ_i‖θ(x，x₀)‖^σ < 0，即

当j∈J(x₀)时，g_j(x₀)+x₀^Tυ_j=g_j(x₀)+s(x₀|D_j)=0，即－(g_j(x₀)+x₀^Tυ_j)=0，j∈J(x₀)，－b_j(x，x₀)[g_j(x₀)+x₀^Tυ_j]=0，j∈J(x₀).

由条件(Ⅰ)知

当j∉J(x₀)时，由b)知μ_j=0，根据(25)式得，

等价于

将(24)式和(26)式相加并结合条件(Ⅳ)得

令${\mathit{\Gamma}}=\sum\limits_{i=1}^{k} \lambda_{i}+\sum\limits_{j=1}^{m} \mu_{j}$，由定义3以及性质1得

由a)得

这与(27)式矛盾，则x₀是MVP的弱有效解.