W_γ^{1, p} Regularity for Parabolic Baouendi-Grushin Laplace Equations

本节我们给出弱解的定义和一些重要的引理.

首先为了能对B-G向量场进行分析，我们引入C-C度量.

对任意的Z₁=(x₁，y₁，t₁)，Z₂=(x₂，y₂，t₂)∈$\mathbb{R}^n$×$\mathbb{R}^m$×[0，+∞)，定义与B-G向量场相对应的抛物C-C度量为$\mathrm{d}_{1} s^{2}=\mathrm{d} t^{2}-\mathrm{d} x^{2}-\frac{\mathrm{d} y^{2}}{|{\mathit{x}}|^{2 \gamma}}$，相对应的距离为

当|x|，|y|~1时，抛物C-C距离可看成经典的抛物距离

令Z=(x，y，t)，rZ=(rx，r^1+γy，r²t)，在抛物C-C度量下，算子L满足性质

本文记

为方便书写，记S_r=S_r(0)，Q_r=Q_r(0). 另外对x∈$\mathbb{R}^n$，y∈$\mathbb{R}^m$，z∈$\mathbb{R}^n$×$\mathbb{R}^m$，

记$\mathrm{d} x=\mathrm{d} x_{1} \mathrm{~d} x_{2} \cdots \mathrm{d} x_{n}, \mathrm{~d} y=\mathrm{d} y_{1} \mathrm{~d} y_{2} \cdots \mathrm{d} y_{m}, \mathrm{~d} z=\mathrm{d} x_{1} \mathrm{~d} x_{2} \cdots \mathrm{d} x_{n} \mathrm{~d} y_{1} \mathrm{~d} y_{2} \cdots \mathrm{d} y_{m}$.

设2≤p < ∞，Ω_*为有界抛物区域. 定义Sobolev空间W_γ^1，p(Ω_*)为

其范数定义为

本文中令Q=n+(1+γ)m+2. 文献[7, 17]证明了椭圆情形下有界区域上的嵌入定理. 在抛物情形下有类似的嵌入定理成立，即当$2 < q < \frac{p Q}{Q-p}$ 时，

且在有界区域上此嵌入为紧嵌入.

方程(3)的弱解可定义如下：

定义1  如果u∈W_γ^1，2(Ω_*)且对任意φ∈C₀^∞(Ω_*)满足

那么称u是方程(3)的弱解.

定义局部可积函数v∈L¹(Ω_*)的极大值函数为

对于极大值函数，有以下结论：

引理1 ^[18]  (1)如果v∈L¹(Ω_*)，那么对任意λ>0，有$\left. {\mid \{ \mathit{\boldsymbol{Z}} \in {\mathit{\Omega }_*}: {\mathcal M}v > \lambda } \right\}\mid \le \frac{C}{\lambda }{\left\| v \right\|_{{L^1}\left({{\mathit{\Omega }_*}} \right)}}$.

(2) 如果v∈L^p(Ω_*)，其中1 < p < ∞，则${\mathcal M}v$∈L^p(Ω_*). 进一步有

以及

文献[19]证明了L^p函数的一个测度估计.

引理2 ^[19]  若函数u是区域Ω_*中的一个可测函数，常数θ>0，λ>1，2≤p < ∞，则

且有估计

为了研究解的梯度估计，我们还需引入改进的Vitali覆盖引理.

引理3 ^[20]  设0 < ε < 1，A⊂B⊂Q₁是Q₁中的两个可测集，满足|A| < ε|Q₁|. 如果对任意的z∈A，r < 1，只要|A∩Q_r(z)|≥ε|Q_r(z)|，都有Q_r(z)∩Q₁⊂B. 那么存在常数C，使得

本节证明方程(3)的内部W_γ^1，p估计. 参考文献[21]的思路，主要证明步骤如下：首先利用C-C度量的性质(4)及能量估计，来研究在区域{x=0}附近的正则性，然后利用经典的抛物方程的正则性来得到方程解在远离{x=0}区域时的W_γ^1，p估计，最终得到在Q₁内的一致W_γ^1，p估计.

本小节我们研究在区域{(x，y，t)∈Q₁：x=0}附近的正则性. 由C-C度量可知，不妨假设u满足方程

则v(x，y，t)=u(rx，r^1+γy，r²t)在{x=0}附近满足方程

首先给出在Q₁内的能量不等式.

引理4   设u是方程(3)的弱解，那么有

证  取η=ζ²u∈C₀^∞(Q₂)且满足0≤ζ≤1和▽_γζ≤1. 根据弱解的定义，可得

那么

根据τ-Cauchy不等式：对任意的τ>0，∫f(x)g(x)dx≤τ∫f²(x)dx+C(τ)∫g²(x)dx，可知，

取τ=$\frac{1}{8}$，那么

对时间t积分，整理可得

定理2   设u是方程(3)的弱解. 若对任意的ε₁>0，都存在一个δ(ε₁)>0，满足条件

则存在函数h使得

且有

证  我们用反证法来证明. 假设存在一个ε₀>0，对任意的δ= $\frac{1}{n}$，存在u_n和f_n满足

且有

但是

由于W_γ^1，2(Q₂)紧嵌入L²(Q₂)及有界性条件$\frac{1}{\left|Q_{2}\right|} \int_{Q_{2}}\left|\nabla_{\gamma} u_{n}\right|^{2} \mathrm{d} z \mathrm{d} t \leqslant 1$，则存在一个子序列，不妨仍记为{u_n}使得u_n在L²(Q₂)中强收敛于u_∞，▽_γu_n在L²(Q₂)中弱收敛于▽_γu_∞.

令n→∞，由(9)式和(10)式可得

这说明了u_∞和h都是方程(8)的弱解. 这与(11)式矛盾，证毕.

定理3   对任意的ε>0，存在一个δ(ε)，如果

且有

则存在一个函数h满足

使得

证  取φ=η²(u－h)并带入(6)式，那么有

以及

同样的由τ-Cauchy不等式可得

对任意的τ>0，取τ足够小使得0 < τ < δ²，上式两端对时间t积分，又由于

则有结论

定理4   设u∈W_γ^1，2(Q₄)是方程(3)的弱解. 存在常数N₁>0，对任意的ε>0，都存在δ=δ(ε)>0，如果

那么

证   由(12)式，假设存在一个点Z₀∈Q₁，使得对任意的0 < r < 1，有

由于Q₂⊂Q₄(Z₀)，所以

由定理3可知，对任意的ε=η>0，存在一个δ(η)和弱解h满足

以及

那么

引理4表明存在一个常数N₀，使得

对任意的$\boldsymbol{Z}_{1} \in\left\{Q_{1}: \mathscr{M}_{Q_{4}}\left(\left|\nabla_{\gamma}(u-h)\right|^{2} \leqslant N_{0}^{2}\right)\right\}$，分以下两种情况讨论：

当r≤2，有

当r>2时，注意到Q_r(Z₁)⊂Q_2r(Z₀)，有

进一步可得

其中N₁²：=max{4N₀²，2^Q}.

综上可知

取δ=δ(η)充分小，可以得到

定理4给出了方程(3)解在(0，0，t)点附近的正则性估计. 同样可以得到在区域Y=(0，y，t)附近解的估计.

推论1   设u是方程(3)在Q_r(Y)内的弱解. 存在一个常数N₁>0，对任意的ε>0，存在一个δ>0，如果

那么

2.1节得到了在{(x，y，t)∈Q₁：x=0}附近的估计. 接下来研究在Q₁⊂Ω_*内的任意一点的估计.

引理5   设u∈W_γ^1，2(Ω₁)是方程(3)的弱解，N₁定义如定理4，对任意的ε>0，存在δ>0，对任意的Z₀∈Q₁和r∈(0，1)，若

则有

证   当d(Q_r(Z₀)，{x=0})≤10r时，可以通过反证法证明. 假设结论不对，即

令Y₀=(0，y₀，t₀)，那么Q_r(Z₀)⊂Q_13r(Y₀)⊂Q_30r(Z₀)，也就是

根据推论1，对任意的ε>0，有

其中C_γ=30^{－n－m(γ+1)}. 由此可得

与(17)式矛盾，这就证明了第一种情况.

当d(Q_r(Z₀)，{x=0})>10r时，不妨假设x₀≠0. 记

那么u(x，y，t)满足

其中$\mathit{\boldsymbol{\bar f}}(\mathit{\boldsymbol{x}}, \mathit{\boldsymbol{y}}, t) = \mathit{\boldsymbol{f}}\left({\left| {{\mathit{\boldsymbol{x}}_0}} \right|\mathit{\boldsymbol{x}}, {{\left| {{\mathit{\boldsymbol{x}}_0}} \right|}^{1 + \gamma }}\mathit{\boldsymbol{y}}, {{\left| {{\mathit{\boldsymbol{x}}_0}} \right|}^2}t} \right)$.

前文已经指出，若|x|，|y|~1，那么

设u(Z)定义在区域Q_r(Z₀)∩Q₁内，可以验证u(x，y，t)定义在区域$Q_{\frac{r}{\left|\boldsymbol{x}_{0}\right|}}\left(\frac{\boldsymbol{Z}_{0}}{\left|\boldsymbol{x}_{0}\right|}\right)$内. 如果球Q_r(Z₀)到{x=0}的距离大于r，则球$Q_{\frac{r}{\left|\boldsymbol{x}_{0}\right|}}\left(\frac{\boldsymbol{Z}_{0}}{\left|\boldsymbol{x}_{0}\right|}\right)$将接近于|x|=1并且直径会很小. (19)式表明在区域$Q_{\frac{r}{\left|\boldsymbol{x}_{0}\right|}}\left(\frac{\boldsymbol{Z}_{0}}{\left|\boldsymbol{x}_{0}\right|}\right)$内我们可以在Minkowski度量下研究方程的正则性.

根据二阶抛物方程经典的L^p理论^[22]可知存在常数N₀和δ>0，对任意的ε>0，如果

那么

其中h(x，y，t)满足方程

最后变换回来得u(x，y，t)在球Q_r(Z₀)内的估计，即如果

那么

其中$\bar h = \left| {{\mathit{\boldsymbol{x}}_0}} \right|h\left({\frac{\mathit{\boldsymbol{x}}}{{\left| {{\mathit{\boldsymbol{x}}_0}} \right|}}, \frac{\mathit{\boldsymbol{y}}}{{{{\left| {{\mathit{\boldsymbol{x}}_0}} \right|}^{1 + \gamma }}}}, \frac{t}{{{{\left| {{\mathit{\boldsymbol{x}}_0}} \right|}^2}}}} \right)$.

引理6   设u是方程(3)在Q₁内的弱解. 如果

则存在ε₁=C(γ)ε，使

证  记

由Vitali覆盖引理3，再根据推论1、引理5有

进一步用有限数量的Q_ri(z_i)去覆盖Q₁即可得结论.

推论2   设u是方程(3)的弱解. 存在ε₁=C(γ)ε，使

证   下面用归纳法证明.

当k=1时，由引理6知结论显然成立.

假设对某些k≥2的整数成立. 现在令${u_1} = \frac{u}{{{N_1}}}, {\mathit{\boldsymbol{f}}_1} = \frac{\mathit{\boldsymbol{f}}}{{{N_1}}}$，由抛物C-C度量及性质(4)可知，u₁是方程(3)的弱解并且

根据归纳假设，

故对k+1的情况也成立，易知结论成立.

定理1的证明   当p=2时，由能量不等式可得结论.

令p>2，根据假设

由条件可知存在一个常数N₁，使得对任意的ε>0，有一个δ>0，对任意的r∈(0，1)，

由引理6知

再根据推论2得到

从引理1知，存在一个常数C使得

因为f∈L^p(Q₁)并且u∈W_γ^1，2(Q₁)，所以

取ε足够小使N₁^pε₁ < 1，因此可得

也即

于是有

且满足

综上所述，结论得证.