Global Attractor for Two-dimensional Chemotaxis-Navier-Stokes Equations

本章节将会给出一些证明所需的基本定义和定理.

定义证明所需的空间H=L²(Ω)×L²(Ω)×(L_σ²(Ω))²，K=H₀¹(Ω)×H₀¹(Ω)×(H_σ¹(Ω))²，L_σ²(Ω)={u∈L²(Ω)；▽·u=0}，H_σ¹(Ω)={u∈H¹(Ω)；▽·u=0}以及L²(Ω)上的内积和范数分别为(u，v)=∫_Ωu(x)v(x)dx，∀u，v∈L²(Ω)，||u||_L²=(u，u)^{$\frac{1}{2}$}，∀u∈L²(Ω).

定义1^[13]  设H是一个Banach空间，S(t)，t≥0是一簇连续算子，它是H→H上的一个映射并且满足

则称S(t)为算子半群.

定义2^[13]  如果紧集$\mathscr{A}$满足下面的条件：

1) 不变性：$\mathscr{A}$是半群S(t)作用下的不变集，即S(t)$\mathscr{A}$=$\mathscr{A}$，∀t≥0；

2) 吸收性：$\mathscr{A}$吸收H上的所有有界集. 即对于任意一个有界集$\mathscr{B}$∈H，这里的$\mathscr{B}$满足

3) $\mathscr{A}$有一个开邻域$\mathscr{U}$，使得对于$\mathscr{U}$上的任意一个n₀，当t→∞时，所有从n₀出来的轨迹S(t)n₀都收敛到$\mathscr{A}$. 即当t→∞时，dist(S(t)n₀，$\mathscr{A}$)→∞，则称这个紧集$\mathscr{A}$为半群S(t)的一个吸引子. 如果$\mathscr{A}$还吸收相空间H，则称$\mathscr{A}$为全局吸引子.

引理1^[13]  设{S(t)}_t≥0是一个算子半群，$\mathscr{U}$⊂H是一个开集，并且

1) $\mathscr{B}$是$\mathscr{U}$上的一个吸收集；

2) S(t)是一致紧的(对于充分大的t)，则$\mathscr{B}$的ω-极限集$\mathscr{A}$=ω($\mathscr{B}$)是$\mathscr{U}$上的一个紧的全局吸引子.

引理2  若(n，c，u)是方程(1)-(4)在Ω×[0，T]，∀T>0中的弱解，则

证  由文献[12]可知方程(1)-(4)在没有f(n)，g(c)这两项时，它的解n(x，t)>0，c(x，t)>0是成立的，则可以推出

其中A(t)=-u·▽+Δ-(▽c·▽+Δc)，所以n(x，t)=$\mathrm{e}^{\int_{0}^{t} A(s) \mathrm{d} s}$n₀>0. 因此有

又因为f(0)=0，所以由中值定理可以得到

则

同理可证c(x，t)>0.

引理3^[16]  如果Ω是$\mathbb{R}^n$上的有界开集，那么对于任意的1≤p < ∞，u∈W₀^1，p(Ω)，有

其中$q \in\left[1, \frac{n p}{n-p}\right)$，C是只依赖于n，p，q，Ω的常数.

引理4^[13]  如果Ω是$\mathbb{R}^n$上的有界开集，那么对于任意的u∈H₀¹(Ω)ⁿ∩H²(Ω)ⁿ，v∈H₀¹(Ω)ⁿ，w∈L²∈(Ω)ⁿ，有

其中

定理1  对于给定的初值条件0 < n₀，c₀∈H₀¹(Ω)和u₀∈H₀¹(Ω)²，方程(1)-(4)存在唯一的整体解(n，c，u)，∀T>0有

且映射$\left(\begin{array}{l}n_{0} \\ c_{0} \\ \boldsymbol{u}_{0}\end{array}\right) \longrightarrow\left(\begin{array}{l}n(t) \\ c(t) \\ \boldsymbol{u}(t)\end{array}\right)$是H→H上的连续映射.

该定理给出了解的适定性，其证明主要利用Faedo-Galerkin方法^[13]，与文献[11]类似，本文不做过多赘述. 再结合引理2，我们得到n，c>0.

由定理1足以在空间H上定义连续的算子半群{S(t)}_t≥0：

下面将利用文献[13-15]证明在空间H上半群{S(t)}_t≥0存在全局吸引子$\mathscr{A}$.

首先证明在H上存在有界吸收集，其过程需要在相应的空间中对解进行估计.

引理5  设$\mathscr{B}_1$是L²(Ω)中的任一有界集，c是从$\mathscr{B}_1$中出发的方程(2)的一个解. 存在常数γ₁>0和时间t₁=t₁($\mathscr{B}_1$)>0，当t≥t₁时，

证  由条件(ⅱ)可得存在常数β∈(0，λ₁)和充分大的正常数K₁，使得

对方程(2)的两边分别与c作L²(Ω)的内积

由(5)式得

对K1||c||L1使用Young不等式，有K1||c||L1≤$\frac{K_{1}^{2}|\mathit{\Omega }|}{2 \beta}+\frac{\beta}{2}$||c||L22，则由(6)式可得

再利用Poincare不等式，存在一个常数λ1=λ1(Ω)，使得||c||L22≤$\frac{1}{\lambda_{1}^{\frac{1}{2}}}$||▽c||L22，c∈H01(Ω). 由(7)式得

对(8)式使用Gronwall不等式，有

因此$\limsup\limits_{t \rightarrow \infty} \| c(t) \|_{L 2}^{2} \leqslant \frac{\gamma_{1}^{2}}{2}$，其中$\gamma_{1}^{2}=\frac{2 K_{1}^{2}|\mathit{\Omega }|}{\beta^{2}}$.设$\mathscr{B}_1$是L²(Ω)的一个有界集，${R_{{\mathscr{B}_1}}}$是L²(Ω)上以零点为圆心的闭球形邻域的半径，该球形邻域包含${{{\mathscr{B}_1}}}$. 取t₁=max$\left\{\frac{1}{\beta} \log \frac{R_{\mathscr{B}_{1}}^{2}}{\gamma_{1}^{2}}, 0\right\}$. 当t≥t₁时，

引理6  设${{{\mathscr{B}_2}}}$是L²(Ω)中的任一有界集，n是从${{{\mathscr{B}_2}}}$中出发的方程(1)的一个解. 存在常数γ₂>0和时间t₂=t₂(${{{\mathscr{B}_2}}}$)>0，当t≥t₂时，

证  设L²(Ω)上一球形邻域包含${{{\mathscr{B}_1}}}$，其圆心为零点，半径为γ₁. 由引理5知，c从L²(Ω)的有界集出发，在时刻t₁后将一直在有界集${{{\mathscr{B}_1}}}$中. 不妨设c总在${{{\mathscr{B}_1}}}$中.

对方程(1)的两边分别与n作L²(Ω)的内积，得到

由化学浓度c的有界性和连续性得

再由条件(ⅰ)可得f(n)≤-Cn+K₁，K₁是一个充分大的常数，则

对K₁||n||_L¹使用Young不等式得

因此

由Gronwall不等式得

则$\mathop {\lim \sup }\limits_{t \to \infty }\|n(t)\|_{L^{2}}^{2} \leqslant \frac{\gamma_{2}^{2}}{2}$，其中γ₂²=$\frac{2 K_{1}^{2}|\mathit{\Omega}|}{C^{2}}$.设${{{\mathscr{B}_2}}}$是L²(Ω)的一个有界集，${R_{\mathscr{B}_{2}}}$是L²(Ω)上以零点为圆心的闭球形邻域的半径，该球形邻域包含${R_{\mathscr{B}_{2}}}$. 取t₂=max$\left\{\frac{1}{C} \log \frac{R_{{\mathscr{B}_{2}}}^{2}}{\gamma_{2}^{2}}, 0\right\}$.当t≥t₂时，

引理7  设${{{\mathscr{B}_3}}}$是(L_σ²(Ω))²中的任一有界集，u是从${{{\mathscr{B}_3}}}$中出发的方程(3)的一个解. 存在常数γ₃>0和时间t₃=t₃(${{{\mathscr{B}_3}}}$)>0，当t≥t₃时，

证  设L²(Ω)上一球形邻域包含${{{\mathscr{B}_2}}}$，其圆心为零点，半径为γ₂，由引理6知，n从L²(Ω)的有界集出发，在时刻t₁+t₂后仍在有界集${{{\mathscr{B}_2}}}$中. 不妨设总在${{{\mathscr{B}_2}}}$中.

对方程(3)的两边分别与u作(L_σ²(Ω))²的内积，有

此时压力项将会消失，得到

再利用||▽φ||_L^∞ < C₁和Young不等式

由(19)式

利用Gronwall不等式，

则$\mathop {\lim \sup }\limits_{t \to \infty} \|\boldsymbol{u}(t)\|_{L^{2}}^{2} \leqslant \frac{\gamma_{3}^{2}}{2}$，其中γ₃²=$\frac{2 C_{1}^{2} \gamma_{2}^{2}}{\lambda_{1}^{2}}$.设${{{\mathscr{B}_3}}}$是(L_σ²(Ω)²)的一个有界集，${R_{\mathscr{B}_{3}}}$是(L_σ²(Ω)²)上以零点为圆心的闭球形邻域的半径，该球形邻域包含${{{\mathscr{B}_3}}}$. 取t₃=max$\left\{\frac{1}{\lambda_{1}} \log \frac{R_{\mathscr{B}_{3}}^{2}}{\gamma_{3}^{2}}, 0\right\}$. 当t≥t₃时，

综合(9)，(11)，(13)式可以得到在H上以零点为圆心，${R_{\mathscr{B}}}$=γ₁+γ₂+γ₃为半径的有界闭球${{{\mathscr{B}}}}$=B(0，${R_{\mathscr{B}}}$)是(n，c，u)的有界吸收集，且是正向不变的，即H上任意有界集B⊆B(0，${R_{\mathscr{B}}}$)，经过时间t_*=t₁+t₂+t₃后，(n，c，u)进入${\mathscr{B}}$中且不再离开. 故由引理5-7得到.

定理2  方程(1)-(4)生成的解半群{S(t)}_t≥0在空间H上存在正向不变的有界吸收集.

设${{{\mathscr{B}}}}$是{S(t)}_t≥0在H中的正向不变集. 设(n，c，u)是方程(1)-(4)的整体解. 现证明从${\mathscr{B}}$出发，方程的解最终都进入K的有界集，从而得到解半群{S(t)}_t≥0是一致渐近紧的.

引理8  ∀r>0，存在常数γ₄(r)>0，当t≥r时，有

证  对(12)式从t到t+r上积分，有

让方程(3)在Ω上与-Δu作内积，得

利用引理4和Young不等式

再利用(13)式可得

由Young不等式和||▽φ||_L^∞≤C₁

由(15)，(16)式得

根据(11)式得

其中设$\int_{t}^{t+r} \frac{27 C_{2}^{4} \gamma_{3}^{2}}{2}$||▽u(s)||L22ds=a1，$\int_{t}^{t+r} 2 C_{1}^{2} \gamma_{2}^{2} \mathrm{~d} s$=a2，$\int_{t}^{t+r}$||▽u(s)||L22ds=a3，又由(14)式可以得到a1=$\frac{27 C_{2}^{4} \gamma_{3}^{2}}{2}$M1(r)，a2=2C12γ22r，a3=M1(r)，再使用一致Gronwall引理，得

这意味着对所有的t≥r，

引理9  ∀r>0，存在常数γ₅(r)>0，当t≥r时，有

证  将(7)式从t到t+r上积分，有

让方程(2)在Ω上与-Δc作内积得

利用Young不等式、Hölder不等式和引理3得

由(17)式可得

这里C₃是一个充分大的正常数. 由条件(ⅱ)和c在Ω×(0，∞)上的连续性知，存在ξ∈Ω，使得

由n(x，t)∈[0，∞)并且是关于空间x∈Ω的连续函数，有m(t)=$\inf\limits_{x \in \mathit{\Omega}}$ n(x，t)≥0，则

结合(19)-(20)式得到如下不等式

对(21)式从0到r上积分

由(18)式得

这意味着对所有的t≥r

引理10  ∀r>0，存在常数γ₆(r)>0，当t≥r时，有

证  对(10)式从t到t+r上积分，有

由(11)式可得

让方程(1)在Ω上与-Δn作内积

利用Young不等式、Hölder不等式和引理3

由(17)和(24)式可得

这里C₄是一个充分大的正常数.

由条件(ⅰ)和n在Ω×(0，∞)上的连续性知，存在ζ∈Ω，使得

由(25)-(27)式可得

对(28)式从0到r积分，得

由(23)式得

这意味着对所有的t≥r，

定理3  方程(1)-(4)生成的解半群{S(t)}_t≥0是一致渐近紧的.

证  设K上以零点为圆心，R_M=γ₄+γ₅+γ₆为半径的有界闭球M=B(0，R_M). 由引理8、引理9和引理10知(n，c，u)从H中的正向不变集${\mathscr{B}}$出发，经过时间r后，进入K中的有界集M. 而K紧嵌入到H中，从而得到解半群{S(t)}_t≥0在H中是一致渐近紧的. 证毕.

由定理2和定理3以及引理1得到方程(1)-(4)在H上存在紧的全局吸引子.