On Projectively Coresolved Gorenstein Flat Modules over Frobenius Extensions

定义1^[4]   如果存在投射R-模的正合列

使得

且对任意内射R^op-模I，有I$\otimes$_RP正合，则称R-模M是投射余可解Gorenstein平坦模.

以下将投射余可解Gorenstein平坦模简记为PGF模，以PGF(R)表示投射余可解Gorenstein平坦模类.

引理1^[3]   如果$\mathscr{P}(R) \subseteq \mathscr{X}$，且对任意短正合列

其中X″∈$\mathscr{X}$，则X′∈$\mathscr{X}$当且仅当X∈$\mathscr{X}$，称$\mathscr{X}$是投射可解类.

引理2^{[1, 4]}   投射余可解Gorenstein平坦模类关于直和、直和项、扩张封闭. 投射余可解Gorenstein平坦模类是投射可解类.

命题1    若M是投射余可解Gorenstein平坦模，则存在正合列

其中P是投射R-模，G是投射余可解Gorenstein平坦模.

证   由投射余可解Gorenstein平坦模的定义可得.

定义2^[9]    如果下列等价条件之一成立：

(a) 函子A$\otimes$_R -和Hom_R(A，-)是自然等价的；

(b) 函子- $\otimes$_R A和Hom_R^op(A，-)是自然等价的；

(c) _RA是有限生成投射模，并且_AA_R$ \cong $(_RA_A)^*=Hom_R(_RA_A，R)；

(d) A_R是有限生成投射模，并且_RA_A$ \cong $(_AA_R)^*=Hom_R^op(_AA_R，R)；

(e) 存在R-R同态τ：A→R，及A中元素x_i，y_i，使得对任意a∈A，有∑x_iτ(y_ia)=a及∑τ(ax_i)y_i=a.

则称环扩张R⊂A是Frobenius扩张.

以下关于Frobenius扩张的例子参见文献[9].

例1    (i)对有限群G，$\mathbb{Z}$⊂$\mathbb{Z}$G是Frobenius扩张；

(ii) 设H是群G的子群，并且H在G中具有有限的指标n，其左陪集代表系为g₁=e，g₂，…，g_n，$\mathbb{Z}$是整数环，A=$\mathbb{Z}$[G]是整群代数，R=$\mathbb{Z}$[H]是A=$\mathbb{Z}$[G]的子代数，则R⊂A是Frobenius扩张.

引理3^[10]  设看环扩张R⊂A是Frobenius扩张，M是A-模. 则：

(i) 若M是投射A-模，则M是投射R-模；

(ii) 若M是内射A-模，则M是内射R-模；

(iii) 若M是投射R-模，则A$\otimes$_RM是投射A-模.

对于投射余可解Gorenstein平坦模，我们有如下结论：

命题2    设环扩张R⊂A是Frobenius扩张，M是A-模. 若M是PGF A-模，则M是PGF R-模.

证   看设M是PGF A-模. 则存在投射A-模的正合列

使得

且对任意内射R^op-模I，有I$\otimes$_RP正合. 注意到Pⁱ是投射A-模，则Pⁱ是投射R-模，故P也是投射R-模的正合列.

令I是内射R^op-模. 则I$\otimes$_RA$ \cong $Hom_R^op(A，I)是内射右A-模，故有Hom_R^op(A，I) $\otimes$_AP正合. 由

有I$\otimes$_RP正合. 因此，M是PGF R-模.

命题3    设环扩张R⊂A是Frobenius扩张，M是R-模. 则M是PGF R-模当且仅当A$\otimes$_RM(Hom_R(A，M))是PGF A-模.

证    充分性  设A$\otimes$_RM是PGF A-模. 由命题2知A$\otimes$_RM是PGF R-模. 注意到_RM是A$\otimes$_RM的直和项，因此M是PGF R-模.

必要性  若M是PGF R-模，则存在投射R-模的正合列

使得

且对任意内射R^op-模I，有I$\otimes$_RP正合. 因为Pⁱ是投射R-模，所以A$\otimes$_RPⁱ是投射A-模. 因此，A$\otimes$_RP是投射A-模的正合列，且

设I是内射右A-模. 则由引理3知，I是内射R^op-模. 又由

易得I$\otimes$_A(A$\otimes$_RP)正合. 故A$\otimes$_RM是PGF A-模.

定义3    定义R-模M的投射余可解Gorenstein平坦维数记为PGfd_RM，PGfd_R(M)=inf{n∈$\mathbb{Z}$：存在左R-模的正合列0 →P_n→ P_n-1→ …→ P₁→ P₀ →M →0，

若不存在正合序列

其中P_i∈PGF(R)，则记PGfd_RM=∞.

引理4   令M是R-模，则以下结论等价：

(i) PGfd_RM≤n；

(ii) 若有正合列0→ K_n→ P_n-1→ … →P₁→ P₀→ M→ 0，其中每个P_i是PGF R-模，则K_n是PGF R-模.

证    注意到投射余可解Gorenstein平坦模类是投射可解类，类似于文献[3]的命题2.7，引理4可证.

以下结论类似于文献[3]的命题2.19：

引理5    设R是环，{M_i}_i∈I是一簇R-模. 则PGfd_R($ \oplus $_i∈I M_i)=sup{PGfd_RM_i：i∈I}.

证    由投射余可解Gorenstein平坦模类关于直和封闭，显然

要证

只要证：若M_i是M的直和项，则

当PGfd_RM=∞时，结论显然成立. 设

由归纳假设，当n=0时，由PGF(R)关于直和项封闭，若M是PGF R-模，则M_i是PGF R-模，故PGfd_RM_i = 0. 假设当PGfd_RM=n-1时成立，即

下证结论对n成立. 设M=M₁$ \oplus $M₂，并且PGfd_RM=n，取M₁，M₂的投射分解，有正合列

其中P₁，P₂是投射模，做直和

其中P₁$ \oplus $P₂是投射R-模，故

由假设知

则

结论得证.

命题4    设0 →M′ →M →M″→ 0是R-模的正合列. 若M，M′，M″中任意两个具有有限的投射余可解Gorenstein平坦维数，则第三个也是.

证    设

分别是M′和M″的投射分解. 由马掌引理有以下行和列正合的交换图：

如果记

那么由以上交换图可得序列

正合，其中

若PGfd_RM″ < ∞，PGfd_RM < ∞. 不妨设PGfd_RM″≤m，且PGfd_RM≤m. 则由引理4知，K_m和K″_m均是投射余可解Gorenstein平坦模. 从而由正合序列

可得K′ _m是投射余可解Gorenstein平坦模. 由引理4知，PGfd_RM′≤m.

若PGfd_RM′ < ∞，PGfd_RM″ < ∞. 不妨设PGfd_RM′≤m，且PGfd_RM″≤m. 则由引理4知，K′_m和K″ _m均是投射余可解Gorenstein平坦模. 从而由正合序列

可得K_m是投射余可解Gorenstein平坦模. 由引理4知，PGfd_RM≤m.

若PGfd_RM′ < ∞，PGfd_RM < ∞. 不妨设PGfd_RM′≤m，且PGfd_RM≤m. 则由引理4知，K′_m和K_m均是投射余可解Gorenstein平坦模. 从而由正合序列

可得PGfd_RK_m≤1. 由引理4知，PGfd_RM≤m+1.

综上所述，命题4得证.

命题5    设环扩张R⊂A是Frobenius扩张，M是R-模. 则PGfd_R(A$\otimes$_RM)=PGfd_A(A$\otimes$_RM)=PGfd_RM.

证   由命题2，有

由命题3，有

故

因为_RM是A$\otimes$_RM的直和项，故由引理5得

即PGfd_RM=PGfd_R(A$\otimes$_RM)，从而有

定义4^[8]   如果满足：

(a) 环扩张R⊂A是Frobenius扩张；

(b) 环扩张R⊂A是可分扩张，即$\varphi: A \otimes_{R} A \longrightarrow A(A \otimes b \longmapsto a b)$是A-双模可裂满同态. 则称环扩张R⊂A是可分Frobenius扩张.

以下关于可分Frobenius扩张的例子参见文献[8-9]：

例2    (i) 令F是域，A=M_4(F). 设R是A的子代数，其F-基由下列幂等元和矩阵的单位元构成：e₁=e₁₁+e₄₄，e₂=e₂₂+e₃₃，e₂₁，e₃₁，e₄₁，e₄₂，e₄₃，则R⊂A是可分Frobenius扩张；

(ii) 对有限群G，$\mathbb{Z}$⊂$\mathbb{Z}$G是可分Frobenius扩张.

定理1   设环扩张R⊂A是可分Frobenius扩张，M是A-模. 则M是PGF A-模当且仅当M是PGF R-模.

证    必要性   由命题2可得.

充分性   M是PGF R-模，则存在R-模正合列

其中Pⁱ是投射R-模，使得M$ \cong $Ker(P⁰ P¹)，且对任意内射R^op-模I，有I$\otimes$_RP正合. 由Pⁱ是投射R-模，有A$\otimes$_RPⁱ是投射A-模，即A$\otimes$_RP是投射A-模的正合列，且

对任意I是A-模，I也是R-模，有I$\otimes$_A(A$\otimes$_RP)$ \cong $I$\otimes$_RP，故I$\otimes$_A(A$\otimes$_RP)正合，即A$\otimes$_RM是PGF A-模. 由环扩张R⊂A是可分扩张，有_AM是A$\otimes$_RM的直和项，因此M是PGF A-模.

命题6    令环扩张R⊂A是可分Frobenius扩张，M是A-模，则PGfd_AM=PGfd_RM.

证    由命题2，若M是PGF A-模，则M是PGF R-模，故PGfd_RM≤PGfd_AM. 设

则存在R-模正合列

其中G_i是PGF R-模. 由命题3知，A$\otimes$_RG_i是PGF A-模(i=1，2，…，m)，则存在正合列

那么PGfd_A(A$\otimes$_RM)≤m. 由环扩张R⊂A是可分扩张知_AM是A$\otimes$_RM的直和项，故由引理5知

结论得证.

推论1    设环扩张R⊂A是可分Frobenius扩张，M是A-模，那么M是PGF A-模当且仅当A$\otimes$_RM(Hom_R(A，M))是PGF A-模.

证    由命题3和定理1可得.

定义5    定义R的左整体PGF维数记为lPGFD(R)，

命题7    设环扩张R⊂A是可分Frobenius扩张. 则lPGFD(R)=lPGFD(A).

证    对于任意左R-模M，由命题5知

因此有

下证lPGFD(R)≥lPGFD(A). 任意A-模N，由命题6知PGfd_AN=PGfd_RN. 故有

综合可得