A New Characterization of Symmetric Group S_n(17≤n≤19)

本文涉及的群均为有限群. 设G是有限群，

另外，m_i(G)表示群G的第i高阶元素的阶，

G_p表示群G的一个Sylow p-子群. p^α‖|G|表示p^α||G|但p^α+1$\nmid $|G|，其中α是非负整数. 其他未说明的符号和术语都是标准的(见文献[1]).

众所周知，利用群的数量性质研究群结构一直是群论研究的热点，而如何用尽可能少的数量关系来刻画群的结构是群论研究中非常有意义的课题. 群的阶和群中元素的阶(简称两阶)是群的两个最基本的数量条件，这两个数量关系对群结构有着非常重要的影响. 关于该问题，施武杰教授在20世纪80年代提出过如下猜想(这一猜想被列入文献[2]中)：

猜想  设G为有限群，H为有限非交换单群，则G≌H当且仅当π_e(G)=π_e(H)且|G|=|H|.

该猜想被文献[3]最终证明. 此后，许多群论学者尝试弱化两阶的条件来刻画群的结构. 例如，文献[4-10]提出用群的阶以及最高阶元素的阶刻画有限单群，并成功刻画了散在单群、K₃-单群、K₄-单群、部分李型单群、部分交错群A_n(5≤n≤13)及对称群S_n(5≤n≤7). 文献[11]用群的阶以及最高阶元素的阶刻画了部分K₅-单群. 文献[12]证明了群G的同阶交换子群的个数之集为{1，3}等价于群G的同阶子群的个数之集为{1，3}. 文献[13]讨论了与最高阶元素有关的几个数量条件对Conway单群和Fischer单群的结构的影响. 文献[14]讨论了最高阶元素个数为6p²q的有限群. 文献[15]用群的阶以及m_i(G)(i=1，2，3)刻画了对称群S_n(8≤n≤15).

本文将继续上述相关问题的研究，研究群的某些特殊高阶元素的阶对群结构的影响，主要结果如下：

定理1   设G是有限群，G≌S₁₇当且仅当

(i) |G|=|S₁₇|；

(ii) m_i(G)=m_i(S₁₇)(i=1，2，3).

定理2   设G是有限群，G≌S₁₈当且仅当

(i) |G|=|S₁₈|；

(ii) m_i(G)=m_i(S₁₈)(i=1, 2, 3, 4).

定理3   设G是有限群，G≌S₁₉当且仅当

(i) |G|=|S₁₉|；

(ii) m_i(G)=m_i(S₁₉)(i=1，2).

定理1的证明

必要性显然，下面只证充分性.

由文献[16]得

步骤1   证明G有一个正规群列1 $ \trianglelefteq $N$\triangleleft$M$ \trianglelefteq $G，使得M/N为非交换单群，且11·17||M/N|.

设

为G的主群列，则存在i，使得

设M=G_i，N=G_i+1，则G$\unrhd $ M$\vartriangleright $N$\unrhd $ 1为群G的正规列，且M/N为G/N的极小正规子群.

断言{11，17}⊆π(M). 若否，设11∉π(M)，17∈π(M)，则11∈π(G/M). 令

则G₁₁可共轭作用在M上. 由文献[17]的引理8.3.1可知M中存在G₁₁-不变的Sylow 17-子群M₁₇，则

故187∈π_e(G)，矛盾于m₂(G)=140. 于是11 ∈π(M).

同理可证，不存在11 ∈π(M)，且17∉π(M). 因此{11，17}⊆π(M).

下证M/N为非交换单群.

因为

故

M/N为G/N的极小正规子群，且17|||G|，故M/N必为非交换单群，且11·17||M/N|.

步骤2   证明M/N≌A₁₇.

由步骤1知M/N为非交换单群，|M/N|||S₁₇|且11·17||M/N|，

由文献[16]知M/N≌A₁₇.

步骤3   证明G≌S₁₇.

若M/N≌A₁₇，由文献[15]的引理2知G中存在正规子群C，使得

即A₁₇$ \lesssim $G/C$ \lesssim $S₁₇. 从而可知|C|=2，1.

若|C|=2，则G/C≌A₁₇. 故G≌2×A₁₇，或G≌2·A₁₇，则m₃(G)=126. 这与m₃(G)=120相矛盾.

若|C|=1，则G/C≌S₁₇，即G≌S₁₇.

综上所述，定理1得证.

定理2的证明

必要性显然，下面只证充分性.

由条件知

类似于定理1的证明可以得到，G有一个正规群列1$ \trianglelefteq $N$\triangleleft$M$ \trianglelefteq $G，使得M/N为非交换单群，且11·17||M/N|. 由文献[16]知M/N≌A₁₇，A₁₈.

若M/N≌A₁₇，由文献[15]的引理2知，G中存在正规子群C，使得A₁₇$ \lesssim $G/C$ \lesssim $Aut(A₁₇). 从而|C|=2²·3²，2·3². 故C有特征群列

使得D_i/D_i-1为初等交换群，其中D_i-1为D_i的极大正规子群. 从而一定存在i，使得|D_i/D_i-1|=3，3². 于是

则

由

可得G/D_i-1包含A₁₇这个截断. 由A₁₇有55阶元，且

可得C_G/Di-1(D_i/D_i-1)有55阶元. 故G有165阶元，这与m₄(G)=140矛盾.

若M/N≌A₁₈，由文献[15]的引理2知，存在C$ \trianglelefteq $G使得

即A₁₈$ \lesssim $G/C $ \lesssim $S₁₈. 此时|C|=2，1.

如果|C|=2，则G/C≌A₁₈，从而G≌2×A₁₈，2·A₁₈，这时m₄(G)=154，矛盾.

如果|C|=1，则G/C≌S₁₈，即G≌S₁₈.

综上所述，定理2得证.

定理3的证明

必要性是显然的，下面只证充分性.

已知

类似于定理1的推理知，G有一个正规群列1$ \trianglelefteq $N$\triangleleft$M$ \trianglelefteq $G，使得M/N为非交换单群，且17·19||M/N|，其中19=max{p：p∈π(M/N)}，由文献[16]知，M/N≌A₁₉，J₃.

若M/N≌J₃，由文献[15]的引理2知，存在G的正规子群C，使得

从而

或

令

从而G₁₉可共轭作用在C上. 由文献[17]的引理8.3.1可知C中存在G₁₉-不变的Sylow 13-子群C₁₃，则

故247∈π_e(G)，这与m₂(G)=210矛盾，故M/N$ \ncong $J₃，于是M/N≌A₁₉. 由文献[15]的引理2可知，G中存在正规子群C，使得

即A₁₉$ \lesssim $G/C $ \lesssim $S₁₉，这时|C|=2，1.

如果|C|=2，则G/C≌A₁₉. 故G≌2×A₁₉，2·A₁₉，从而m₂(G)=330，这与m₂(G)=210相矛盾.

如果|C|=1，则G≌S₁₉.

综上所述，定理3得证.

注   定理1中的m₃(G)不能缺少，否则G≌2×A₁₇，2·A₁₇；定理2中的m₃(G)与m₄(G)不能缺少，否则G≌2×A₁₈，2·A₁₈.