Dynamics Analysis of SIS Model with Time Delay Effect

以流感背景，并基于经典的SIS传染病模型，将媒体报道的染病人数对疾病发生率的影响用函数e^{－αI(t－τ)}来刻画，建立如下的模型：

其中：S(t)和I(t)分别表示t时刻的易感染者和染病者人数，Λ表示易感者的常数输入率，μ表示自然死亡率，γ表示染病者的恢复率.

在本节中，我们将先分析模型(1)的解的非负性和有界性，再借助极限系统理论给出平衡点的存在性.

对于任意τ>0，记：$\bar{C}: =C\left([-\tau, 0], \mathbb{R}^2\right)$是区间[－τ，0]上的Banach空间，并定义模为$\bar{C}_{+}: = C\left([-\tau, 0], \mathbb{R}_{+}^2\right)$. 令‖φ‖=sup_{－τ≤θ≤0}|φ(θ)|初始值$\varphi(\theta)=\left(\varphi_1(\theta), \varphi_2(\theta)\right) \in \bar{C}_{+} \times \bar{C}_{+}, \varphi_i(\theta)>0$，i=1，2. 对于模型(1)，先来说明对任意的非负初值S(0)=φ₁(0)≥0，I(0)=φ₂(0)≥0， t∈[－τ，0]，有I(t)≥0，t≥0.

事实上，由模型(1)中的第二个方程直接计算可得

显然，I(t)≥0，t∈(0，τ]. 进而，类似计算得

以上分析说明，对于任意非负初值，必有I(t)≥0，t≥0成立.

下面说明S(t)≥0，t≥0成立. 假设∃t₁>0，使得S(t)>0，t∈(0， t₁)，S(t₁)=0，且S(t)>0，t>t₁. 则有

与S(t) < 0，t>t₁矛盾. 也就是假设不成立. 即S(t)≥0，t≥0成立.

以上分析说明，模型(1)中任意具有非负初值的解一定是非负的. 下面来说明模型(1)解的有界性. 将模型(1)中的两个方程相加可得

由于$\lim\limits _{t \rightarrow \infty}(S(t)+I(t))=\frac{\varLambda}{\mu}$，记$N_*=\frac{\varLambda}{\mu}$，这说明N_*是方程(2)的全局渐近稳定的平衡点. 也就是，$\varOmega_1=\left\{(S, I): S \geqslant 0, I \geqslant 0, S+I \leqslant \frac{\varLambda}{\mu}\right\}$ 是模型(1)的正向不变集.

另外，利用再生矩阵的办法^[15]可以得到模型(1)的基本再生数为

将S(t)=N_*－I(t)代入模型(1)，可得模型(1)的极限模型

利用极限系统理论可知^[16]，模型(3)与模型(1)有相同的动力学性态. 接下来的研究将借助模型(3)来分析模型(1)的动力学性态.

为了分析方便，我们令$X(t)=\frac{I(t)}{N_*}, a=\beta N_*, b=\alpha N_*, c=(\mu+\gamma)$，其中a，b，c>0. 则模型(3)可重新写为

相应地，有$R_0=\frac{a}{c}$，并且模型(4)的正向不变集为Ω₂={X：0≤X≤1}. 下面将研究模型(4)的动力学性态.

显然，模型(4)始终有零平衡点X₀=0. 为了找到模型(4)的正平衡点X_*，令

通过直接计算可得：f(0)=a，f(1)=0，且f′(X) < 0，这说明a>c时，也就是，当R₀>1时，模型(4)存在唯一的正平衡点X_*，满足a e^－bX_*(1－X_*)=c. 即下面的定理成立：

定理1   模型(4)始终存在零平衡点X₀=0，并且当R₀>1时，模型(4)还存在唯一的正平衡点X_*，满足a e^－bX_*(1－X_*)=c.

事实上，模型(4)的零平衡点X₀对应模型(1)的无病平衡点$\boldsymbol{E}_0=\left(\frac{\varLambda}{\mu}, 0\right)$. 而正平衡点X_*对应模型(1)的地方病平衡点$\boldsymbol{E}_*=\left(\varLambda+\frac{\gamma I_*}{\mu+\beta \mathrm{e}^{-\alpha I *}}, I_*\right)$，I_*=X_*N_*. 即，模型(1)始终有无病平衡点E₀. 而当R₀>1时，模型(1)还存在唯一的地方病平衡点E_*.

下面研究模型(4)的零平衡点和正平衡点的稳定性.

定理2  如果R₀ < 1，模型(4)的零平衡点X₀是全局渐近稳定的；如果R₀>1，X₀是不稳定的.

证   直接计算可得，模型(4)在X₀=0处的特征方程为

即λ=c(R₀－1). 由Hurwitz判据可知，若R₀ < 1，有λ < 0，即模型(4)的零平衡点是局部渐近稳定的. 若R₀>1，则λ>0，这说明模型(4)的零平衡点是不稳定的.

下面来证明零平衡点的全局稳定性. 记V₁(t)=X(t)，则

显然，当R₀ < 1时，V′₁|₍₄₎ < 0，故模型(4)的零平衡点是全局渐近稳定的. 证毕.

定理3   如果R₀>1，τ=0，那么模型(4)的正平衡点X_*是全局渐近稳定的.

证    直接计算可知，模型(4)在X=X_*处的特征方程为

当τ=0时，特征方程(7)可重新写为

即特征值$\lambda=-\frac{c X_*+b c X_*\left(1-X_*\right)}{1-X_*}$. 由于X_*∈(0，1)，则λ < 0成立，进而，利用Huiwitz判据可得X_*是局部渐近稳定的.

为了证明正平衡点的全局稳定性，构造Lyapunov函数$V_2(X)=X-X_*-X_* \ln \frac{X}{X_*}$，则

由于y=e^－bX是一个递减函数，因此，有(X－X_*)(e^－bX－e^－bX_*) < 0成立. 也就是，V′₂|₍₄₎≤0. 另外，当且仅当X=X_*时，V′₂|₍₄₎=0. 这说明M={X|V′₂(x)=0}={X_*}，也就是，模型(4)在M上的最大不变集就是{X_*}. 根据LaSsalle不变集原理可知，当R₀>1时，模型(4)的正平衡点X_*是全局渐近稳定的. 证毕.

由定理2和定理3可知，当R₀ < 1时，模型(1)的无病平衡点E₀和地方病平衡点E_*是全局渐近稳定的.

在本小节中将讨论τ>0时，模型(4)可能发生的Hopf分支. 为此，假设λ=iω，ω>0，代入方程(7)可得

进而有

也即

如果方程(12)有一个正根ω₀，则正平衡点X_*的稳定性可能会随着τ的改变而改变. 为此，记c_*=e^－bX_*，则当b>1且c_*>e^1－b时，方程(12)存在一个正根

进而可得

其中$\tau_k \in\left(\frac{\pi}{2}+2 k \pi, \pi+2 k \pi\right), k=0, 1, 2, \cdots \cdots$

因此，

其中$Q=\frac{c X_*}{1-X_*}$. 进而

由于$\operatorname{sign}\left\{\left.\operatorname{Re}\left(\frac{\mathrm{d} \lambda}{\mathrm{d} \tau}\right)^{-1}\right|_{\lambda=i \omega_0}\right\}=\operatorname{sign}\left\{\left.\frac{\operatorname{Re}(\mathrm{d} \lambda)}{\mathrm{d} \tau}\right|_{\tau=\tau_k}\right\}$. 可得$\operatorname{Re}\left(\frac{\mathrm{d} \lambda}{\mathrm{d} \tau}\right)>0$.

利用泛函微分方程的Hopf分支理论^[17]，得到下面的结论.

定理4   假设R₀>1，

(1) 若0 < b≤1，则对任意τ≥0，模型(4)的正平衡点X_*是渐近稳定的；

(2) 若b>1，c_*≤e^1－b，则对任意τ≥0，模型(4)的正平衡点X_*是渐近稳定的；

(3) 若b>1，c_*>e^1－b，则对任意τ∈[0，τ₀]，模型(4)的正平衡点X_*是渐近稳定的；

(4) 若b>1，c_*>e^1－b，则对任意τ≥τ₀，正平衡点X_*是渐近稳定的；且在τ=τ_k，k=0，1，2…时，模型(4)会在X_*处发生Hopf分支.

在本小节中，将利用文献[18-19]中的全局Hopf分支理论来讨论模型(4)产生的局部Hopf分支的全局延拓问题. 为此，引入变换y(t)=x(τt)，模型(4)可被改写为

这里y_t(θ)=y(t+θ)，θ∈[－1，0]，y_t∈X，X=C([－1，0]，T)，并且

引入下面的记号：

记$C\left(y_t, \tau_k, \frac{2 \pi}{\omega_0 \tau_k}\right) \in \sum$是方程(17)的驻解$\left(y_*, \tau_k, \frac{2 \pi}{\omega_0 \tau_k}\right)$的联通分支，其中ω₀和τ_k分别满足(13)式和(14)式.

由文献[19]可知，如果方程(17)的驻解$({ \mathop y\limits^ \wedge }, \tau, T) \in P$有形式为$\operatorname{i}m \frac{2 \pi}{T}\left(m \in \mathbb{N}_{+}\right)$的纯虚特征根，则称$({ \mathop y\limits^ \wedge }, \tau, T)$为中心. 进一步，如果$({ \mathop y\limits^ \wedge }, \tau, T)$是其领域内唯一的中心，并且只有有限个形式为$\operatorname{i}m \frac{2 \pi}{T}(m \in \left.\mathbb{N}_{+}\right)$的特征根，则称$({ \mathop y\limits^ \wedge }, \tau, T)$为孤立中心. 令$J({ \mathop y\limits^ \wedge }, \tau, T)$为使得$\operatorname{i}m \frac{2 \pi}{T}$是孤立中心$({ \mathop y\limits^ \wedge }, \tau, T)$的特征根的所有正整数m的集合. $m \in J({ \mathop y\limits^ \wedge }, \tau, T)$时，$\gamma_m({ \mathop y\limits^ \wedge }, \tau, T)$为中心$J({ \mathop y\limits^ \wedge }, \tau, T)$的第m个横截数，否则取$\gamma_m({ \mathop y\limits^ \wedge }, \tau, T)=0$.

引理1   方程(17)的所有周期解是一致有界的.

证   设y(t)是方程(17)的一个非平凡的周期解，且令y(t₁)=N和y(t₂)=n分别为其最大值和最小值，满足0 < n < N≤1，以及y′(t₁)=y′(t₂)=0，则代入(17)式可得

故N≠0，进而由方程(18)可得$N=1-\frac{c}{a} \mathrm{e}^{b y(t-1)} < 1-\frac{c}{a}=1-\frac{1}{R_0}$. 证毕.

引理2   如果b>1，且c_*>e^1－b满足，方程(17)没有周期为1或2的周期解^[19].

证   方程(17)的任意非平凡的周期为1周期解为u(t)，且为如下常微分方程的非平凡周期解：

由于一阶纯量常微分方程不存在非平凡周期解，故(20)式不存在周期解.

若(17)式有周期为2的非平凡周期解u(t)，则u₁(t)=u(t)，u₂(t)=u(t－1)，并且满足

由(21)式与y(t)相对应的周期轨道包含在如下区域：

则对所有的(u₁，u₂)∈G₁总存在

其中u=min(u₁，u₂)且$0 < \bar{n}=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{R_0}\right) < N$，所以对所有的(u₁，u₂)∈G₁有

因此由Bendixson周期解不存在准则^[20]知(21)式没有平凡周期解. 证毕.

引理3   如果$1 < b < 4 \sqrt{2}\left(1-\frac{1}{R_0}\right)<N, c_*>\mathrm{e}^{1-b}$满足，那么方程(17)没有周期为4的周期解.

证   设y(t)为方程(17)的周期为4的周期解，并令u_i(t)=y(t－i+1)，i=1，2，3，4. 于是u(t)=(u₁(t)，u₂(t)，u₃(t)，u₄(t))是下述常微分方程的周期：

由引理1可知(22)式与y(t)相对应的周期轨道包含在如下区域：

解的一致有界性表明所有周期解均位于G₂内，为了说明方程(17)没有4的周期解，只需证明方程(17)在区域G₂中不存在周期解即可. 那么为证明方程(17)在区域G₂中不存在周期解，我们将应用高维常微分方程Bendixson准则^[20]得到方程(22)右端的Jacobi矩阵为

这里记A_i=c－a(1－2u_i)e^－bu_i+1，B_i=abu_i(1－u_i)e^－bu_i+1，u₅=u₁，i=1，2，3，4.

下面对$\mathbb{R}^6$选取向量模：

那么复合阵J^[2](u)关于该范数的Lozinsk${\rm{\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\smile$}} \over i} }} $测度μ(J^[2](u))为

其中(i，j)∈{(1，4)，(2，1)，(3，2)，(4，3)}，(p，q)∈{(1，3)，(2，4)}.

要使μ(J^[2](u)) < 0，当且仅当对所有u∈G₂，使得

这里u=min(u_i，u_j)，$f(u)=1-2 u+\frac{\sqrt{2}}{8} b$. 根据文献[19]中的定理7.3.2，若对所有u∈G₂有μ(J^[2](u)) < 0，那么方程组(22)没有周期解. 由(25)式可知μ(J^[2](u)) < 0当且仅当对所有u∈G₂满足：

接着证明(26)式. 显然f(u)是递减函数，在区域G₂上$f(u)-\frac{1}{R_0} \leqslant 0$，意味着$u \geqslant \frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{R_0}\right)+\frac{\sqrt{2}}{16} b$，取$\tilde{n}=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{R_0}\right)+\frac{\sqrt{2}}{16} b$，由(18)式可知$N < 1-\frac{1}{R_0}$. 当$b < 4 \sqrt{2}\left(1-\frac{1}{R_0}\right), 0 < \tilde{n} < N$时，对所有$u \in (\tilde{n}, N)$，(25)式成立.

综上所述，当$1 < b < 4 \sqrt{2}\left(1-\frac{1}{R_0}\right), c_*>\mathrm{e}^{1-b}$时，有$-A_i-A_j+\sqrt{2} B_i < 0$成立.

进一步有

其中$u=\min \left(u_i, u_j\right), f(u)=1-2 u+\frac{\sqrt{2}}{8} b$，同理，对任意u∈G₂有

因此，应用文献[20]中的推论3.5可得方程组(22)不存在周期为4的周期解. 证毕.

定理5    1) 如果$R_0>1, b>1$，且c_*>e^1－b，则对任意τ>τ₁，方程(17)至少有一个非平凡的周期解.

2) 如果$R_0>1, 1 < b < 4 \sqrt{2}\left(1-\frac{1}{R_0}\right)$，且c_*>e^1－b，则对任意τ>τ₀，方程(17)至少有一个非平凡的周期解.

证   方程(17)是二次连续可微的，也就是文献[19]中的(A₁)满足. 容易验证，$D F\left(y_*, \tau_k, \frac{2 \pi}{\omega_0 \tau_k}\right)$，$\left(y_*, \tau_k, \frac{2 \pi}{\omega_0 \tau_k}\right) \in P$，即文献[19]中的(A₂)满足. 方程(17)在驻解$({ \mathop y\limits^ \wedge }, \tau, T) \in P$处的特征方程为

显然，F(y，τ，T)关于y可微，并且$\varDelta_{({ \mathop y\limits^ \wedge }(\tau, T), \tau, T)}(\lambda)$关于(τ，T，λ)连续，这说明文献[19]中的(A₃)满足. 那么对任意的$k=1, 2, 3 \cdots, \left(y_*, \tau_k, \frac{2 \pi}{\omega_0 \tau_k}\right) \in P$是孤立中心. 通过(15)式可知对每个k>0，存在ε_k，δ_k>0和一个光滑函数z_k：(τ_k－δ_k，τ_k+δ_k)→C，使得

对τ∈[τ_k－δ_k，τ_k+δ_k]成立，且

记$T_k=\frac{2 \pi}{\tau_k \omega_0}$，且令

显然，若|τ－τ_k|≤δ_k，并且对(u，T)≤∂Ω_εk，有$\operatorname{det} \varDelta_{(y *, \tau, T)}\left(z_k\left(u+\frac{\mathrm{i} 2 \pi}{T}\right)\right)=0$，则必有τ=τ_k，u=0，以及T=T_k. 这便证明了当m=1时，文献[19]中(A₄)成立，进而可得到$J\left(y_*, \tau_k, \frac{2 \pi}{\omega_k \tau_k}\right)=\{1\}$，即文献[19]中(A₅)成立. 另外有

由文献[19]中的定理4.1.1可知，过$\left(y_*, \tau_k, \frac{2 \pi}{\tau_k \omega_0}\right)$的连通分支$C\left(y_*, \tau_k, \frac{2 \pi}{\tau_k \omega_0}\right)$是非空的. 此外，有

因此，由文献[19]中的定理4.1.2可知，过$\left(y_*, \tau_k, \frac{2 \pi}{\tau_k \omega_0}\right)$的连通分支$C\left(y_*, \tau_k, \frac{2 \pi}{\tau_k \omega_0}\right)$是无界的.

引理1说明连通分支$C\left(y_*, \tau_k, \frac{2 \pi}{\tau_k \omega_0}\right)$在y空间上的投影是有界的. 当τ=0时，方程(17)为一阶纯量常微分方程，所以方程(17)没有非常数周期解. 进而可知，连通分支$C\left(y_*, \tau_k, \frac{2 \pi}{\tau_k \omega_0}\right)$在τ空间上的投影是有下界的. 利用τ_k和ω₀的定义，即(13)和(14)式可得

所以，

由引理3可知，当R₀>1，$1 < b < 4 \sqrt{2}\left(1-\frac{1}{R_0}\right)$，c_*>e^1－b成立时，如果(y，τ，T)∈$C\left(y_*, \tau_0, \frac{2 \pi}{\tau_0 \omega_0}\right)$，那么2 < T < 4. 所以连通分支$C\left(y_*, \tau_0, \frac{2 \pi}{\tau_0 \omega_0}\right)$在τ空间上的投影也是无界的. 又因在τ空间上的投影是有下界的，进而可得$C\left(y_*, \tau_0, \frac{2 \pi}{\tau_0 \omega_0}\right)$在τ空间上的投影包含区间[τ₀，∞). (2)式成立. 类似地，由引理2可知，当k≥1时，$C\left(y_*, \tau_0, \frac{2 \pi}{\tau_0 \omega_0}\right)$在τ空间上的投影至少包含区间[τ_k，∞). (1)式成立. 证毕.

在本小节中，将借助数值模拟来验证所得理论结果的合理性. 为此，令a=1.2，c=0.3. 下面分情况讨论.

当b=0.8 < 1，τ=10时，如图 1(a)所示，模型(4)从不同初值出发的解最终都趋近于正平衡点X_*，这说明X_*是稳定的. 当b=1.5>1时，直接计算得e^1－b=0.606 5>c_*. 令τ=15，则X_*仍是稳定的，见图 1(b).

当b=2.5>1时，e^1－b=0.223 1 < c_*. 取τ=8 < τ₀，图 2(a)表明模型(4)的平衡点X_*仍保持稳定. 而一旦τ=10>τ₀时，X_*不再稳定，Hopf分支发生，见图 2(b).

下面展示平衡点X_*处的Hopf分支的全局延拓性. 此时令a=1.2，b=2.5，c=0.3，相应地，平衡点X_*=0.369 8，R₀=4>1，c_*=0.396 7. 通过(13)和(14)式计算得τ₀=8.517 9，τ₁=37.833 8. 当b=2.5，并且分别满足定理5的条件1)和2)时，各自选取τ=40>τ₁，τ=20>τ₀，如图 3(a)，(b)所示，两张图都展示了在平衡点X_*附近从τ₀分支出的周期解是大范围存在的.

相应地，随着时滞τ的不断增加，模型(4)在平衡点X_*处展现出了Hopf分支(图 4).

在本小节中，主要研究了媒体报道的染病者数量对SIS模型动力学性态的影响. 给出了模型(1)的基本再生数，借助极限系统，讨论了系统(4)平衡点的存在性、稳定性，以及平衡点不稳定时可能发生的Hopf分支. 当R₀ < 1时，模型(1)存在全局渐近稳定的无病平衡点；而当R₀>1时，模型(1)存在唯一的地方病平衡点，并且地方病平衡点的稳定性会随着时滞τ的增加而发生改变，即：在τ=0的情况下，地方病平衡点是全局渐近稳定的；当τ>τ₀时，地方病平衡点不再稳定，并会发生全局延拓的Hopf分支. 我们也给出了发生全局Hopf分支延拓的条件.

系统(4)中的参数b=αN_*，通过改变b的参数值大小，可以明显看出b值对平衡点的影响. 也就是说，由媒体报道的染病者数量所引起的时滞效应会使得模型的动力学性态更加丰富. 即媒体报道引起的时滞效应会改变地方病平衡点的稳定性，产生全局Hopf分支.