Pythagorean Fuzzy Three-Way Decision Model Based on Dominant Relation

定义1 ^[12]   设U={x₁，x₂，…，x_n}是一个有限非空集合，则U上的一个毕达哥拉斯模糊集为

其中u_P(x)，v_P(x)∈[0, 1]表示U中的元素x属于毕达哥拉斯模糊集P的隶属度和非隶属度，并且满足

$\pi_P(x)=\sqrt{1-u_P^2(x)-v_P^2(x)} $表示U中的元素x属于毕达哥拉斯模糊集P的犹豫度，称p(x)=〈u_P(x)，v_P(x)〉为毕达哥拉斯模糊数.

定义2 ^[13-14]   设U={x₁，x₂，…，x_n}是一个有限非空集合，对于任意的$ X \subseteq U$，X上的一个区间毕达哥拉斯模糊集A被定义为

其中$ \tilde{u}_A(x)=\left[u_A^{-}(x), u_A^{+}(x)\right] \subseteq[0, 1] $表示A的隶属度区间，$\tilde{v}_A(x)=\left[v_A^{-}(x), v_A^{+}(x)\right] \subseteq[0, 1] $表示A的非隶属度区间，并且满足

$\tilde{\pi}_A(x)=\left[\pi_A^{-}(x), \pi_A^{+}(x)\right] \subseteq[0, 1] $表示A的犹豫度区间，其中

称$ \left\langle\tilde{u}_A(x), \tilde{v}_A(x)\right\rangle$为区间毕达哥拉斯模糊数.

定义3 ^[12]   设p(x)=〈u_P(x)，v_P(x)〉为毕达哥拉斯模糊数，其得分函数与精确函数分别为

假设$ p_1(x)=\left\langle u_{P_1}(x), v_{P_1}(x)\right\rangle, p_2(x)=\left\langle u_{P_2}(x), v_{P_2}(x)\right\rangle$为两个毕达哥拉斯模糊数，则：

(a) 如果Score(p₁(x)) <Score(p₂(x))，则p₁(x) <p₂(x)；

(b) 如果Score(p₁(x))=Score(p₂(x))且Accuracy(p₁(x)) < Accuracy(p₂(x))，则p₁(x) < p₂(x).

定义4 ^[15]   假设四元组S=(U，A，V_PF，f)为一个毕达哥拉斯模糊信息系统，对于$ \forall x_1, x_2 \in U, $ $ \forall a \in A, x_1, x_2$在属性a下对应的毕达哥拉斯模糊数分别为

称

为毕达哥拉斯模糊信息系统的优势关系，记[x]_R¹为包含元素x的优势类，则S是一个具有优势关系的毕达哥拉斯模糊信息系统.

定义5 ^[15]   设U是一个非空集合，R¹为定义在非空集合U上的优势关系，记apr=(R¹，U)为优势空间，对$ \forall X \subseteq U$，其下近似和上近似被分别定义为

下近似和上近似将论域划分为3个部分，即

定义6 ^[1]   设三元组(U，AT，f)为一个信息系统，其中U为所有对象的有限非空集合，AT是所有属性的有限非空集合，f表示U与AT之间的关系. 状态空间$\varTheta=\{X, \quad ^{\neg }X\} $表示对象x是否属于集合X. a_P，a_B，a_N分别表示对象x确定属于、可能属于、确定不属于X的行动，不同状态下对应的3种不同行动的风险代价函数如表 1所示.

当一个对象x属于X时，采取a_P，a_B，a_N所需的代价分为λ_PP，λ_BP，λ_NP. Pr(X|[x])表示对象x所在的等价类属于集合X的条件概率，对于特定的对象x，采取一个决策行动的期望损失为R(a_i|[x]) (i=P，B，N)，如(2)式所示：

由Bayes风险决策理论，给出最小决策代价规则：

(P) 如果R(a_P|[x])≤R(a_B|[x])且R(a_P|[x])≤R(a_N|[x])成立，那么x∈POS(X)；

(B) 如果R(a_B|[x])≤R(a_N|[x])且R(a_B|[x])≤R(a_P|[x])成立，那么x∈BND(X)；

(N) 如果R(a_N|[x])≤R(a_P|[x])且R(a_N|[x])≤R(a_B|[x])成立，那么x∈NEG(X).

另外还需考虑两个因素：$ \operatorname{Pr}(X \mid[x])+\operatorname{Pr}(\urcorner X \mid[x])=1 ; \lambda_{P P} \leqslant \lambda_{B P} \leqslant \lambda_{N P}, \lambda_{N N} \leqslant \lambda_{B N} \leqslant \lambda_{P N}$. 因此得到简化的最小决策代价规则：

(PP) 如果Pr(X|[x])≥α且Pr(X|[x])≥γ成立，那么x∈POS(X)；

(PB) 如果Pr(X|[x])≤α且Pr(X|[x])≥β成立，那么x∈BND(X)；

(PN) 如果Pr(X|[x])≤β且Pr(X|[x])≤γ成立，那么x∈NEG(X).

其中

对于优势空间，根据定义6，采取a_P，a_B和a_N这3种决策行动的期望损失分别为

在毕达哥拉斯模糊集中，隶属度u与非隶属度v之和等于1是不定的，因此本文参考文献[16]的方法，设置纠偏参数ε(－1≤ε≤1)，使得u²+v²+ε²=1，对于特定对象x的第i个毕达哥拉斯模糊数〈u_i(x)，v_i(x)〉，采取接受、延迟、拒绝决策的期望损失分别如(4)式所示

(PP′)如果采取接受决策，则有

进一步整理(5)式后得

(PB′) 类似于(PP′)，若采取延迟决策，则经化简后可得

(PN′) 类似于(PP′)，若采取拒绝决策，则经化简后可得

为保证边界域有解空间，令α_i(x)>β_i(x)，从而有

因此

当u_i(x)≥α_i(x)时，采取接受决策；当β_i(x) <u_i(x) <α_i(x)时，采取延迟决策；当u_i(x)≤β_i(x)时，采取拒绝决策. 因此得到决策规则1：

决策规则1    设S=(U，A，V_PF，f)为毕达哥拉斯模糊信息系统，对于$ X \subseteq U$，x∈X，

(i) 当u_i(x)≥α_i(x)时，采取接受决策；

(ii) 当β_i(x) <u_i(x) <α_i(x)时，采取延迟决策；

(iii) 当u_i(x)≤β_i(x)时，采取拒绝决策.

其中

ε_i为纠偏参数，且满足u_i²+v_i²+ε_i²=1.

当隶属度与非隶属度为区间值时，决策者采取a_P，a_B和a_N这3种决策行动的期望损失分别为

由于$ \tilde{u}_A(x), \tilde{v}_A(x)$为区间值，从而导致3种决策下的期望损失会在一定区间内取值，然而在实际决策中需要用到具体的隶属度与非隶属度，本文借鉴文献[17]的方法来实现区间值向确定值的转化.

定义7^[17]    对于任一区间[a，b]，风险参数θ∈[0, 1]，有

当θ=0时，函数值为区间左端点；当θ=1时，函数值为区间右端点；当0 < θ < 1时，函数值为区间[a，b] 上的任意实数. 因此3种决策下的区间损失函数就可以转化为实值损失函数，分别为$f_\theta\left(\tilde{R}\left(a_P \mid[x]_{R^1}\right)\right), $ $f_\theta\left(\tilde{R}\left(a_B \mid[x]_{R^1}\right)\right), f_\theta\left(\tilde{R}\left(a_N \mid[x]_{R^1}\right)\right) $. 根据Bayes风险决策理论，可得：

(PP″) 如果$ f_\theta\left(\tilde{R}\left(a_P \mid[x]_{R^1}\right)\right) \leqslant f_\theta\left(\tilde{R}\left(a_B \mid[x]_{R^1}\right)\right), f_\theta\left(\tilde{R}\left(a_P \mid[x]_{R^1}\right)\right) \leqslant f_\theta\left(\tilde{R}\left(a_N \mid[x]_{R^1}\right)\right)$成立，那么x∈POS(X)；

(PB″) 如果$ f_\theta\left(\tilde{R}\left(a_B \mid[x]_{R^1}\right)\right) \leqslant f_\theta\left(\tilde{R}\left(a_N \mid[x]_{R^1}\right)\right), f_\theta\left(\tilde{R}\left(a_B \mid[x]_{R^1}\right)\right) \leqslant f_\theta\left(\tilde{R}\left(a_P \mid[x]_{R^1}\right)\right)$成立，那么x∈BND(X)；

(PN″) 如果$f_\theta\left(\tilde{R}\left(a_N \mid[x]_{R^1}\right)\right) \leqslant f_\theta\left(\tilde{R}\left(a_P \mid[x]_{R^1}\right)\right), f_\theta\left(\tilde{R}\left(a_N \mid[x]_{R^1}\right)\right) \leqslant f_\theta\left(\tilde{R}\left(a_B \mid[x]_{R^1}\right)\right) $成立，那么x∈NEG(X).

(i) 对于规则(PP″)，

(6) 式化简为

(ii) 类似于(i)，对于规则(PB″)，经化简后得

(iii) 类似于(i)，对于规则(PN″)，经化简后得

为保证边界域有解空间，令α¹>β¹，则当$ f_\theta\left(\tilde{u}_A(x)\right) \leqslant \beta^1$时，x∈NEG(X)；当$ \beta^1 \leqslant f_\theta\left(\tilde{u}_A(x)\right) \leqslant \alpha^1$时，x∈BND(X)；当$ f_\theta\left(\tilde{u}_A(x)\right) \geqslant \alpha^1$时，x∈POS(X). 因此可以得到决策规则2：

决策规则2   在毕达哥拉斯模糊系统S=(U，A，V_PF，f)中，对于任意的x∈U，有：

(i) 当$f_\theta\left(\tilde{u}_A(x)\right) \geqslant \alpha^1 $时，采取接受决策；

(ii) 当$\beta^1 \leqslant f_\theta\left(\tilde{u}_A(x)\right) \leqslant \alpha^1 $时，采取延迟决策；

(iii) 当$ f_\theta\left(\tilde{u}_A(x)\right) \leqslant \beta^1$时，采取拒绝决策.

其中

$\tilde{\varepsilon} $为区间纠偏参数，且满足

由定义7知，当风险参数θ=0时，决策时要求隶属度最小，将集合元素划分到正域、负域或边界域的期望损失最小；当θ=1时，决策时要求隶属度最大，将集合元素划分到正域、负域或边界域的期望损失最大. 由此，进一步可以得到上述模型的两类重要类型：

令风险参数θ=0，当x∈POS(X)时，对于(PP″)有$f_0\left(\tilde{u}_A(x)\right) \geqslant \alpha^1 $，进而有

当x∈BND(X)时，对于(PB″)有$\beta^1 \leqslant f_0\left(\tilde{u}_A(x)\right) \leqslant \alpha^1 $，进而有

当x∈NEG(X)时，对于(PN″)有$ f_0\left(\tilde{u}_A(x)\right) \leqslant \beta^1$，进而有

令风险参数θ=1，当x∈POS(X)时，对于(PP″)，有$f_1\left(\tilde{u}_A(x)\right) \geqslant \alpha^1 $，从而有

当x∈BND(X)时，对于(PB″)，有$ \beta^1 \leqslant f_1\left(\tilde{u}_A(x)\right) \leqslant \alpha^1$，进一步得

当x∈NEG(X)时，对于(PN″)，有$ f_1\left(\tilde{u}_A(x)\right) \leqslant \beta^1$，进而有

例1    U₁中含有8个数据对象，如表 2所示.

不同状态下对应的3种不同行动的代价损失函数取值分别为λ_PP=0.6，λ_PN=2.2，λ_BP=1.3，λ_BN=1.4，λ_NP=2.2，λ_NN=0.4. 在毕达哥拉斯模糊三支决策模型中，根据决策规则1，所得决策结果如表 3所示.

例2   U₂中含有7个数据对象，如表 4所示.

不同状态下对应的3种不同行动的代价损失函数的取值分别为λ_PP=0.3，λ_PN=3.0，λ_BP=1.1，λ_BN=1.4，λ_NP=3.0，λ_NN=0.6.

乐观型决策者

当风险参数θ=0时，根据乐观型区间毕达哥拉斯模糊三支决策模型的决策规则，相应的决策结果如表 5所示.

悲观型决策者

当风险参数θ=1时，由悲观型区间毕达哥拉斯模糊三支决策模型的决策规则，相应的决策结果如表 6所示.

本文基于毕达哥拉斯模糊集的优势关系，构建了集合优势类，对论域进行了划分. 根据Bayes最小风险决策理论，构建了毕达哥拉斯模糊三支决策模型，并对阈值进行了讨论. 进一步构建了区间毕达哥拉斯模糊三支决策模型，讨论了该模型的乐观型和悲观型两类特殊情况. 本文是对三支决策理论的有益补充，细腻地刻画了不同风险偏好下的决策问题.

毕达哥拉斯模糊集具有较强的处理不确定信息的能力，用毕达哥拉斯模糊数表示对象与属性之间的关系具有重要意义. 然而在现实决策中，并不能确定对象与属性关系的真假，换言之，在这种形式背景下会出现真、假隶属度，如何确定对象与属性间的真实关系并进行决策将是我们未来所研究的内容.