Linear Canonical Wavelet Convolutions and Their Properties

定义1^[3]  函数f(x)的线性正则变换定义为

其中，核函数为

M=(A，B，C，D)为参数矩阵，A，B，C，D∈ $ \mathbb{R}$，且满足AD－BC=1.

线性正则变换的逆变换表示为

其中，参数矩阵M^－1=(D，－B，－C，A).

当参数矩阵M=(0，1，－1，0)时，线性正则变换退化为经典的傅里叶变换

性质1(叠加性)  $L^{\left(A_2, B_2, C_2, D_2\right)}\left(L^{\left(A_1, B_1, C_1, D_1\right)}(f(x))\right)=L^{(E, F, G, H)}(f(x)) $.

性质2(可逆性)  $L^{(D, -B, -C, A)}\left(L^{(A, B, C, D)}(f(x))\right)=f(x) $.

定义2  设$f \in L^2 { (\mathbb{R}) } $，小波函数$\psi \in L^2({ \mathbb{R} }) $，且满足可容许性条件

则f的小波变换定义为

其中，小波基函数定义为

$a \in \mathbb{R}_{+}, b \in \mathbb{R} $分别代表尺度和平移参数. 小波变换的逆变换为

定义3^[16]  线性正则小波变换定义为

这里的ψ_M，a，b(x)为核函数，满足

它的逆变换定义为

当M=(cos θ，sin θ，－sin θ，cos θ)时，线性正则小波变换退化为分数阶小波变换

定义4^[19]  线性正则变换的卷积运算定义为

当参数矩阵M=(0，1，－1，0)时，线性正则卷积运算退化为经典的卷积运算

基于传统的卷积算子，新的卷积运算可以由经典卷积运算表示为

定义5^[14]  设f和g是定义在$\mathbb{R}^2 $上的复值函数，则仅有一个变量的卷积运算分别定义为

定义6^[19]  线性正则变换的相关运算定义为

当参数矩阵M=(0，1，-1，0)时，线性正则变换的相关运算退化为

定义7^[14]  如果f和g是定义在$\mathbb{R}^2 $上的复值函数，仅有一个变量的相关形式分别为

定义8^[14]  给定函数$f \in L^2(\mathbb{R}), h \in L^2\left(\mathbb{R}^2\right) $，它们的广义卷积定义为

引理1^[14]  设$\psi_f \in L^2(\mathbb{R}) \text { 和 } \psi_h \in L^1(\mathbb{R}) \cap L^2(\mathbb{R}) $是两个容许性小波，令$W_f^{\psi_f}, W_h^{\psi_h} $分别表示函数$f \in L^2(\mathbb{R}), h \in L^1(\mathbb{R}) \cap L^2(\mathbb{R}) $具有母小波ψ_f，ψ_h的小波变换，如果$g=(f * h), \psi_g=\left(\psi_f * \psi_h\right) $，那么就有

引理2^[17]  设$\psi_f \in L^2(\mathbb{R}) \text { 和 } \psi_h \in L^1(\mathbb{R}) \cap L^2 { (\mathbb{R}) } $是两个容许性小波，令$W_{f, \alpha}^{\psi_f}, W_{h, \alpha}^{\psi_h} $分别表示函数$f \in {L^2}(\mathbb{R}), h \in {L^1}(\mathbb{R}) \cap {L^2}{\rm{ (}}\mathbb{R}{\rm{)}} $具有母小波ψ_f，ψ_h的分数阶小波变换，如果$g=(f * h), \psi_g=\left(\psi_f * \psi_h\right) $，那么就有

引理3^[14]  设$\psi_f \in L^2(\mathbb{R}), \psi_h \in L^1(\mathbb{R}) \cap L^2(\mathbb{R}) $是两个容许性小波，令$W_f^{\psi_f}, W_h^{\psi_h} $分别表示函数$f \in L^2 { (\mathbb{R}) }, h \in L^1 { (\mathbb{R}) } \cap L^2 { (\mathbb{R}) } $具有母小波ψ_f，ψ_h的小波变换，如果$g=(f \odot h), \psi_g=\left(\psi_f \odot \psi_h\right) $，那么就有

引理4^[17]  设$\psi_f \in L^2(\mathbb{R}), \psi_h \in L^1(\mathbb{R}) \cap L^2(\mathbb{R}) $是两个容许性小波，令$W_{f, \alpha}^{\psi_f}, W_{h, \alpha}^{\psi_h} $分别表示函数$f \in L^2 { (\mathbb{R}) }, h \in L^1 { (\mathbb{R}) } \cap L^2 { (\mathbb{R}) } $具有母小波ψ_f，ψ_h的分数阶小波变换，如果$g=(f \odot h), \psi_g=\left(\psi_f \odot \psi_h\right) $那么就有

定义9^[14]  设$\psi \in L^2(\mathbb{R}) $为容许性小波，且有0≤ρ < N，若

则称M_ψ^ρ为小波函数ψ的N阶消失矩.

引理5^[14]  设$\psi_f \in L^2(\mathbb{R}), \psi_h \in L^1(\mathbb{R}) \cap L^2(\mathbb{R}) $是两个具有N₁和N₂阶消失矩的容许性小波，令$\psi_p=\left(\psi_f * \psi_h\right) \text { 和 } \psi_q=\left(\psi_f \odot \psi_h\right) $，则ψ_p，ψ_q也是可容许性小波并且具有N_f+N_h阶消失矩.

定理1  设$\psi_f \in L^2(\mathbb{R}) \text { 和 } \psi_h \in L^1 { (\mathbb{R}) } \cap L^2 { (\mathbb{R}) } $是两个具有N₁和N₂阶消失矩的容许性小波，设${\psi _p} = \left( {{\psi _f}\mathop \otimes \limits^A {\psi _h}} \right), {\psi _q} = \left( {{\psi _f}\mathop \odot \limits^A {\psi _h}} \right) $，则ψ_p，ψ_q也是可容许性小波并且具有N_f+N_h阶消失矩.

证  由于$\psi_f \in L^2(\mathbb{R}), \psi_h \in L^1(\mathbb{R}) \cap L^2(\mathbb{R}) $，可知$\psi_p, \psi_q \in L^2(\mathbb{R}) $，且有

因为ψ_f和ψ_h是容许性小波，根据(1)式知道0 < ψ_f，ψ_h < ∞，根据线性正则变换的性质，得到

则可以得到

因此，我们得出

因为$\psi_h \in L^1(\mathbb{R}) $，则$L_{{\psi _h}}^\mathit{\boldsymbol{M}}(w) $有界，因此存在正实数K，使得$\left| {L_{{\psi _h}}^\mathit{\boldsymbol{M}}(w)} \right| \le K $，由线性正则变换与傅里叶变换的关系可得

其中$\psi_h=\exp \left(\frac{j A x^2}{2 B}\right) \psi_f $. 因此小波ψ_p和ψ_q满足容许性条件.

下面考虑ψ_p的ρ阶矩

由定义4可得

其中

令ρ≤N_f+N_h，若k≤N_f，则有$ \boldsymbol{M}_{\psi_f}^k=0$，进而可得$\boldsymbol{M}_{\psi_f^*}^k=0 $，即有$ \boldsymbol{M}_{\psi_p}^\rho=0$. 若ρ－k≤N_h，则有$\boldsymbol{M}_{\psi_h}^{\rho-k}=0 $，进而可得$\boldsymbol{M}_{\psi_h^*}^{\rho-k}=0 $，即$ \boldsymbol{M}_{\psi_p}^\rho=0$. 因此ψ_p具有N_f+N_h阶消失矩. 同理可证ψ_q具有N_f+N_h阶消失矩，证毕.

定理2  设$\psi_f \in L^2 { (\mathbb{R}) 和 } \psi_h \in L^1 { (\mathbb{R}) } \cap L^2 { (\mathbb{R}) } $是两个容许性小波，令$W_{f, \boldsymbol{M}}^{\psi_f}, W_{h, \boldsymbol{M}}^{\psi_h} $分别表示函数$f \in L^2(\mathbb{R}), h \in L^1(\mathbb{R}) \cap L^2(\mathbb{R}) $具有母小波ψ_f，ψ_h的线性正则小波变换，如果

则有

证 g(x)的线性正则小波可以写为

其中

将$g(x), \psi_g\left(\frac{x-b}{a}\right) $带入$W_{g, \boldsymbol{M}}^{\psi_g}(a, b) $中，得到

令$\alpha=x-\tau, \beta=b+a y-\tau $，且满足$\beta^2-b \beta=\frac{y(x-b)}{a}-\tau y $，即

定理3  设$\psi_f \in L^2(\mathbb{R}) \text { 和 } \psi_h \in L^1 { (\mathbb{R}) } \cap L^2 { (\mathbb{R}) } $是两个容许性小波，令$W_{f, \boldsymbol{M}}^{\psi_f}, W_{h, \boldsymbol{M}}^{\psi_h} $分别表示函数$ f \in {L^2}(\mathbb{R}), h \in {L^1}{(\mathbb{R}) } \cap {L^2}{ (\mathbb{R})}$具有母小波ψ_f，ψ_h的线性正则小波变换，如果

则有

证  g(x)的线性正则小波可以写为

其中

将$g(x), \psi_g\left(\frac{x-b}{a}\right) $带入$ W_{g, \boldsymbol{M}}^{\psi_g}(a, b)$中，得到

令$\alpha=\tau-x, \beta=\tau-b-a y, \gamma=\tau x-b^2+2 b $，且满足

注1  定理1与定理3表明，线性正则小波卷积运算与相关运算在每个尺度上是独立的，结合线性正则小波变换可以在时频域联合表征信号特性，我们可以对给定的信号的不同尺度构造相应的空变滤波.

注2  这些定理表明，两个信号卷积的联合时频表征可以表示为两个信号在每个固定频率上的联合时频表征在时间变量或空间变量上的卷积.

由于联合时频表征的空变滤波不同于傅里叶域的时不变滤波，因此我们可以通过以下步骤实现时变或者空变滤波：

步骤1  给信号f(x)做线性正则小波变换$W_\boldsymbol{M}^\psi(a, b) $；

步骤2  $W_\boldsymbol{M}^\psi(a, b) $乘传递函数T(a，b)；

步骤3  给$W_\boldsymbol{M}^\psi(a, b) T(a, b) $做逆线性正则小波变换.

空变滤波的实现如图 1所示：

下面我们给出具体分析：

设$ f(x) \in L^2(\mathbb{R}), \psi_1, \psi_2 \in L^1(\mathbb{R}) \cap L^2(\mathbb{R}), T(a, b) \in L^2\left(\mathbb{R}^2\right), W_\boldsymbol{M}^{\psi_1}(a, b)$表示信号f(x)的具有小波函数ψ₁的线性正则小波变换，

对(2)式做逆线性正则小波变换，可得

令

则可得线性正则小波变换域空变滤波

本文在线性正则变换与小波变换卷积的基础上，研究了一类新型线性正则小波变换的卷积定理与相关定理. 首先给出了线性正则小波卷积和相关的容许性条件与正则条件；其次推导出线性正则小波变换的卷积定理；最后，利用所得卷积及其卷积定理，研究了线性正则小波变换域的滤波设计，给出了线性正则小波域的空变滤波的设计方法.