Finite Groups with Even Order Maximal Subgroups are CBNA-Subgroups

TANG Kang; LIU Jianjun

doi:10.13718/j.cnki.xsxb.2023.02.002

A subgroup H of a finie group G is said to be a BNA-subgroup of G if either H^x=H or x∈〈H, H^x〉 for each x∈G. A finite group G is called a CBNA-group if every minimal subgroup and cyclic subgroup of order 4 of G is a BNA-subgroup of G. In this paper, we characterize that every maximal subgroup of even order is a CBNA-groups, and the group itself is a group structure of non-CBNA-groups of even order.

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本文仅研究有限群，涉及的群论术语和符号都是标准的.

近年来，利用某些特殊子群的性质来刻画有限群的结构是众多学者研究的重要课题之一. 文献[1]通过研究群G的非幂零自中心化子群的TI-性及其次正规性，给出了G的所有非幂零子群皆次正规于G的判别准则. 文献[2]通过研究群G的完全Hall-σ集中子群及其极大子群的σ半次正规性，给出了G是σ可解群和超可解群的若干新的判别准则. 文献[3]对恰好具有2个非交换真子群的有限群结构进行了刻画. 文献[4]研究了四极大子群都弱s₂-置换的偶数阶有限群的结构.

本文研究了有限群的两类覆盖避免子群，得到了群G的p-超可解和p-幂零性质的一些结果. 设H为G的子群，如果对任意的x∈G有x∈〈H，H^x〉，则称H为G的反正规子群. 反正规子群作为正规子群的一个对偶的概念，在研究子群的嵌入性质对有限群结构的影响方面起到重要作用. 文献[5]刻画了每个子群正规或反正规的群. 文献[6]分类了满足正规或反正规的CLT-群. 文献[7]引入了介于正规和反正规之间的子群：BNA-子群.

定义1^[7]   设H为G的子群，如果对任意的x∈G，有H^x=H或者x∈〈H，H^x〉，则称H为G的BNA-子群，此时H也称作在群G中BNA-正规.

文献[7]证明了：如果群G的极小子群和4阶循环子群均为BNA-子群，则G超可解，并对满足所有素数幂阶循环子群均为BNA-子群的群进行了刻画.

最近，文献[8]定义了CBNA-群.

定义2^[8]   设G为有限群，如果G的所有极小子群和4阶循环子群均为G的BNA-子群，则称群G为CBNA-群.

文献[8]给出了极小非CBNA-群的完全分类. 本文将沿着上述方向继续研究BNA-子群对群结构的影响. 为方便叙述，我们引入以下概念：

定义3   设G为有限群，如果G为偶阶非CBNA-群，且G的所有偶数阶极大子群均为CBNA-群，则称群G为EBNA-群.

本文将给出EBNA-群的结构刻画. 我们证明了如下定理：

定理1   设群G为EBNA-群. 则G可解，|π(G)|≤3，且G满足下列条件之一：

(i) G为极小非2-幂零群；

(ii) G为2-幂零的极小非CBNA-群；

(iii) G=P×N，|P|=2，N为G的2′-Hall-子群. 当|π(G)|=2时，N为极小非CBNA-群；当|π(G)|=3时，N为CBNA-群.

引理1^[7]   设G是一个群，H≤K≤G且N$ \unlhd $G. 若H是G的BNA-子群，则：

(i) H是K的BNA-子群；

(ii) HN是G的BNA-子群；

(iii) HN/N是G/N的BNA-子群；

(iv) G的每个极大子群都是G的BNA-子群.

引理2^[7]   设H是群G的BNA-子群，则：

(i) H的正规闭包H^G要么是H，要么是G；

(ii) 若H次正规于G，则H正规于G.

设H是群G的子群. 如果对任意的x∈G，有H与H^x在〈H，H^x〉中共轭，则称H为G的类正规子群. 显然，正规子群和反正规子群都是类正规子群. 而我们可以得到类正规子群和BNA-子群的如下关系：

引理3   设H是群G的子群. 则下列命题等价：

(i) H为G的BNA-子群；

(ii) H为G的类正规子群，且对G的任意满足H≤K≤G的子群K，有K≤N_G(H)，或者N_G(H)≤K.

证   先证(i)为(ii)的充分条件. 显然H为G的类正规子群. 假设存在x∈N_G(H)\K且y∈K\N_G(H)，则xy∉K且H≠H^xy. 而〈H，H^xy〉≤K，这与H为G的BNA-子群矛盾.

再证(ii)为(i)的充分条件. 假定存在x∈G满足x∉〈H，H^x〉. 则由H为G的类正规子群知H^x=H^y，这里y ∈〈H，H^x〉，即xy^-1∈N_G(H)\〈H，H^x〉. 由已知条件可得

故y∈N_G(H)，这意味着H=H^x. 所以H为G的BNA-子群.

引理4^[9]   设群G是一个CBNA-群. 则G超可解.

引理5^[10]   设p′-群H作用在p-群G上，

若H平凡作用在Ω(G)上，则H平凡作用在G上.

引理6^[11]   设群G的所有p阶子群均为G的正规子群，其中p为一个固定素数. 若|Z(G)|_p≠1，则G的所有p阶元均属于Z(G).

引理7^[12]   设群G存在2阶无不动点自同构，则G为交换群.

我们将通过完成以下几个定理的证明来证明定理1：

定理2   设群G为EBNA-群，则下列命题之一成立：

(i) G为极小非2-幂零群；

(ii) G为2-幂零的极小非CBNA-群，且|G|₂>2；

(iii) G为2-幂零的EBNA-群，且满足|G|₂=2和|π(G)|≤3.

证   令M为G的任意极大子群. 若M为奇数阶，则显然M为2-幂零的；若M为偶数阶，则由已知可得M为EBNA-群. 根据引理4，M为超可解群，故M为2-幂零群. 因此，G的任意极大子群均为2-幂零群，即G为2-幂零群或极小非2-幂零群. 接下来我们只需考虑G为2-幂零群时的情形.

情形1  |G|₂>2.

由于G的2′-Hall子群的子群不可能为G的极大子群，故G的极大子群必为偶数阶. 因此，G为极小非CBNA-群.

情形2  |G|₂=2.

设

由于G可解，所以G存在Sylow系，我们记之为{P₁，…，P_r}，这里P_i∈Syl_{p_i}(G). 假设r≥4. 令

其中i=2，…，r. 由已知条件和引理1，P₁为每个G_i的BNA-子群.

我们断言N_{G_i}(P₁)=P₁，G_i. 令

其中

则K有Sylow系{P₁=Q₁，…，Q_r-1}，这里Q_i∈Syl_{q_i}(K). 令

其中s=2，…，r-1. 由引理3，我们有N_K(P₁)≤K_s或K_s≤N_K(P₁). 若对于任意的s都有N_K(P₁)≤K_s，则有N_K(P₁)=P₁. 如果存在某个t，有K_t≤N_K(P₁)，则引理3再次说明

因此

这就说明了N_K(P₁)=P₁，K，断言成立.

如果N_{G_i}(P₁)=G_i，则由引理3必有P₁$ \unlhd $G；如果N_{G_i}(P₁)=P₁，则必有N_G(P₁)=P₁. 令A为G中的奇数阶极小子群. 由引理2及G为2-幂零群，可知A$ \unlhd $G. 不论哪种情况，我们都可以说明G是CBNA-群，这是一个矛盾.

极小非2-幂零群与极小非CBNA-群的结构分别由文献[13]与文献[8]给出. 当π(G)={2，q}，我们可得以下结论：

定理3   设群G=PQ为EBNA-群，其中P为G的2阶子群，Q为G的Sylow q-子群. 则下列命题之一成立：

(i) G=〈a，b，c|a²=b^q=c^q=1，b^a=b^-1，c^a=c^b=c〉；

(ii) G=P×Q且Q为极小非CBNA-群.

证   首先证明群G为超可解的. 当G幂零时，显然(ii)成立. 不妨设G非幂零. 令K/L为G的主因子且满足K≤Q. 则K/L为初等交换q-群. 由文献[13]得

故G在K/L上诱导的自同构群的阶为2. 再由文献[14]的引理1.3，K/L为q阶循环群. 显然，P作用在Q上，也作用在Q/Φ(Q)上. 由完全可约定理得

其中V_i/Φ(Q)为Q/Φ(Q)的q阶P-不变子群，i=1，2，…，d. 令

则Q_i为Q的P-不变的极大子群. 由假设及引理2，PQ_i为CBNA-群，且Q_i的任意q阶子群均为PQ_i的正规子群. 接下来我们分两种情形来讨论：

情形1  存在k使得C_{Q_k}(P)≠1.

令x为C_{Q_k}(P)中的任意q阶元，则x∈Z(PQ_k). 由引理6，Q_k的所有q阶元均属于Z(PQ_k). 由于Q_k为P-不变q-群，且应用引理5，我们可以得到PQ_k= P×Q_k. 因此

假设|Q/Φ(Q)|>q²或Φ(Q)≠1. 再由引理6，得到[P，Q]=1，所以G幂零，这与我们的假设矛盾. 因此Q为q²阶初等交换群. 易验证G满足(i).

情形2  对任意k都有C_{Q_k}(P)=1，但C_Q(P)≠1.

由C_Q(P)∩Q_i=1知|C_Q(P)|=q. 令V=C_Q(P)Φ(Q). 则V为Q的P-不变真子群，从而PV为CBNA-群. 假设Φ(Q)≠1，则由引理6，我们得到[P，Q]=1，从而G幂零，矛盾. 因此Φ(Q)=1. 重新取V₁≤C_Q(P)，与情形1类似，易证G满足(i).

最后我们假设π(G)={2，r，q}，得到如下结论：

定理4   设群G=PM为EBNA-群，且M=RQ，其中|P|=2，R和Q分别为G的Sylow r-子群和Sylow q-子群. 则下列命题之一成立：

(i) G为极小非CBNA-群；

(ii) G=P×M且M为极小非CBNA-群.

证   由于P为G的2阶Sylow子群，故G为2-幂零群，即G存在正规2-补群M. 由G可解知G存在Sylow系{P，R，Q}. 当C_M(P)=1时，P为M的一个2阶无不动点自同构. 由引理7，M交换，故M为CBNA-群，从而G满足(i). 下面假定C_M(P)≠1.

由于PR为CBNA-群，所以R的任意r阶子群均为PR的BNA-子群. 由引理2，R的任意r阶子群均在PR中正规. 若r | |C_M(P)|，由引理6，R的所有r阶元均属于Z(PR). 再根据引理5，我们可以得到PR=P×R，从而C_R(P)=R. 同理，若q | |C_M(P)|，则PQ=P×Q. 故有rq | |C_M(P)|，即G=P×M. 因此PH为CBNA-群，其中H为M的任意真子群. 因此M为极小非CBNA-群，故G满足(ii).

不失一般性，不妨设

则

因|P|=2，由Frattini论断知

故Q≤P^G. 又由

可得P^G=PQ. 由引理2，P$ \unlhd $PQ，故C_Q(P)=Q，矛盾.

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