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设p＞1，
$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1 $ ，K(x，y)≥0，α，β，M为常数，am≥0，bn≥0.称不等式为Hilbert型级数不等式.当
$ K(m, n)=\frac{1}{m+n} $ 时，有著名的Hilbert级数不等式[1]其中的常数因子
$ \frac{\pi}{\sin \left(\frac{\pi}{p}\right)} $ 是最佳的.若对∀t＞0，有K(tx，ty)=tλK(x，y)，则称K(x，y)是λ阶的齐次函数.对于具有齐次核的Hilbert型级数或积分不等式已有充分的研究[2-14]，其研究主要围绕两个方面进行：一是对一些具体形式的核，得到相应的Hilbert型不等式，并讨论最佳常数因子问题；二是对一些具有某种特点的抽象核展开研究[15-20]，这类研究更为深刻且更具重要意义，有广泛的应用价值.但Hilbert型不等式成立的条件是什么?换言之，是否对任何α及β，(1)式都能够成立?若不能，则α与β应满足什么条件?这个条件是否是充分必要的?当(1)式能够成立时，其最佳常数因子是什么?对这些问题的研究无疑是更深入的探讨，对全面深刻地探究Hilbert型不等式有重要意义.
本文对具有齐次核的Hilbert型级数不等式的结构特征进行了探讨，得到了Hilbert型级数不等式能够成立的充分必要条件.最后还讨论了其结果在算子理论中的一些应用.
引理1 设p＞1，
$ \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$ ，$ \frac{\alpha}{p}+\frac{\beta}{q}-(\lambda+1)=c $ ，K(x，y)≥0是λ阶的齐次可测函数，s+r=1(0＜r＜1)，$K(1, t) t^{-\frac{\beta+1}{q}+c r} $ 及$ K(t, 1) t^{-\frac{\alpha+1}{p}+c s} $ 都在(0，+∞)上递减，记则W1(β，r)=W2(α，s)，且
证 由于K(x，y)是λ阶的齐次函数，于是
又利用
$ K(1, t) t^{-\frac{\beta+1}{q}+c r} $ 的递减性，有故(2)式成立.
同理可证(3)式也成立.
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定理1 设p＞1，
$ \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1 $ ，λ，α，β是常数，K(x，y)＞0是λ阶的齐次可测函数，$ \frac{\alpha}{p}+\frac{\beta}{q}-(\lambda+ 1)=c$ ，s+r=1(0＜r＜1)，$ K(1, t) t^{-\frac{\beta+1}{q}+c r} $ 及$ K(t, 1) t^{-\frac{\alpha+1}{p}+c s} $ 在(0，+∞)上递减，且收敛.那么：
(ⅰ)当且仅当c≥0时，存在常数M＞0，对∀am＞0，∀bn≥0，有
(ⅱ)设M0是(4)式的最佳常数因子，则
$ {M_0} \le \mathop {\inf }\limits_{r \in (0, 1)} \left\{ {{W_1}(\beta , r)} \right\} $ .当c=0时，有证 (ⅰ)设(4)式成立.如果
$ \frac{\alpha}{p}+\frac{\beta}{q}-(\lambda+ 1)=c$ ＜0，令那么有
同时，由于
$ K(t, 1) t^{-\frac{\alpha+1}{p}+c s} $ 在(0，+∞)上递减，又有于是得到
但因
$ \sum\limits_{n = 1}^\infty {{n^{ - 1}}} $ 发散到+∞，得到矛盾.因而c＜0不能成立，故c≥0.反之，设c≥0.记
根据Hölder不等式及引理1，有
于是得到
任取
$M \ge \mathop {\inf }\limits_{r \in (0, 1)} \left\{ {{W_1}(\beta , r)} \right\}$ ，均有(4)式成立.在定理1的条件下，Hilbert型级数不等式(1)的基本结构特征是
$\frac{\alpha }{p} + \frac{\beta }{q} - (\lambda + 1) \ge 0$ ，即如果$ \frac{\alpha}{p}+\frac{\beta}{q}-(\lambda+1)<0 $ ，则(1)式永远不可能成立.(ⅱ)首先，根据(5)式可得
$ {M_0} \le \mathop {\inf }\limits_{r \in (0, 1)} \left\{ {{W_1}(\beta , r)} \right\} $ .当c=0时，(5)式化为
此时若W0不是最佳的，则M0＜W0，且
对足够小的ε＞0，取
${a_m} = {m^{\frac{{ - a - 1 - |\lambda {|_\varepsilon }}}{p}}}(m = 1,2, \cdots )$ ，$ b_{n}=n^{\frac{-\beta-1-|\lambda| \varepsilon}{q}}(n=1, 2, \cdots) $ ，有同时还有
设δ＞0足够小，存在N，当m＞N时，
$ \frac{1}{m}<\delta $ .记那么有
由(6)，(7)，(8)式，得到
令ε→0+，得到
再令δ→0+，得到
这与M0＜W0矛盾，故M0=W0.
定理2 设p＞1，
$ \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1 $ ，λ，α，γ是常数，K(x，y)＞0是λ阶的齐次可测函数，$ \frac{\alpha-\gamma}{p}-(\lambda+1)=c $ ，r+s=1(0＜s＜1)，$ K(1, t) t^{\frac{\gamma+1}{p}-1+c r} $ 及$ K(t, 1) t^{-\frac{\alpha+1}{p}+c s} $ 在(0，+∞)上递减，且收敛.那么：
(ⅰ)当且仅当c≥0时，存在常数
$ \widetilde{M}>0 $ ，对∀am≥0，有(ⅱ)若
$ \widetilde{M}_{0} $ 是(9)式的最佳常数因子，则$ {\widetilde M_0} \le \mathop {\inf }\nolimits_{s \in (0, 1)} \left\{ {W_2^{\frac{1}{\rho }}(\alpha , s)} \right\} $ .当c=0时，证 记
$\beta=\frac{\gamma}{1-p} $ ，则由$ \frac{\alpha-\gamma}{p}-(\lambda+1)=c $ ，可得于是只需证明(9)式与(4)式等价即可.
若存在常数
$\widetilde M$ 使得(9)式成立，则由Hölder不等式，对∀am≥0，∀bn≥0，有令
$\widetilde{M}^{\frac{1}{p}}=M $ ，则得到(4)式.反之，若存在常数M使得(4)式成立，令
则有
由此得到
令
$M^{p}=\widetilde{M} $ ，得到(9)式.
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设p＞1，α是常数，am≥0(m=1，2，…)，并记
对∀a={am}(am≥0)，定义级数算子T为
其中核K(m，n)≥0.若存在常数M，对∀a={am}∈lαp，有
则称T是lαp到lγp的有界算子，此时T的(p，p)-型范数定义为
特别地，记‖a‖p，0=‖a‖p，l0p=lp.若T是lαp到自身的有界算子，则称T是lαp中的有界算子.
命题1 设p＞1，
$ \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1 $ ，λ，α，γ是常数，K(x，y)＞0是λ阶的齐次可测函数，且
$ K(1, t) t^{\frac{\gamma+1}{p}-1+c r} $ 及$ K(t, 1) t^{-\frac{\alpha+1}{p}+c s} $ 在(0，+∞)上递减，$ W_{2}(\alpha, s)=\int_{0}^{+\infty} K(t, 1) t^{-\frac{a+1}{p}+c s} \text{d}t$ 收敛，算子T由(10)式定义.那么(ⅰ) T是lαp到lγp的有界算子的充分必要条件是c≥0；
(ⅱ) c≥0时，T的算子范数
$||T||{_{(p,p)}}\mathop {\inf }\limits_{s \in (0,1)} \left\{ {{W_2}(\alpha ,s)} \right\} $ .当c=0时，证 由定理2可证.
注1 在命题1的条件下，当且仅当
$\frac{\alpha}{p}-\frac{\gamma}{p}-(\lambda+1) \geqslant 0$ ，时T才是lαp到lγp的有界算子.特别地，T是lp中的有界算子，其基本特征是λ≤-1.命题2 设p＞1，
$ \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1 $ ，λ，α，γ是常数，满足定义算子T为
则当且仅当
$ \lambda \geqslant 1+\frac{\gamma-\alpha}{p}$ 时，T是lαp到lγp的有界算子.证 首先由(11)式左边可知λ＞0.设
$K(x, y)=\frac{1}{x^{\lambda}+y^{\lambda}}$ ，则K(x，y)是λ阶的齐次非负函数.又令求导数可得
易知σ＜0时，f′(t)＜0，从而f(t)在(0，+∞)上递减.根据(11)式右边，经计算可知
其中
于是
$ K(t, 1) t^{-\frac{\alpha+1}{p}+\frac{c}{p}} $ 和$ K(1, t) t^{\frac{\gamma+1}{p}-1+\frac{c}{q}} $ 都在(0，+∞)上递减.再由(11)式左边，经计算可知
从而
收敛.其中B(·，·)是Beta函数.
在命题1中取
$ r=\frac{1}{q}, s=\frac{1}{p} $ ，可知命题2成立.注2 在命题2中，取α=γ=0，则(11)式化为
$ \lambda \geqslant 1+\frac{\gamma-\alpha}{p}$ 化为λ≥1.再注意到$ \max \left\{2-p, \frac{p-2}{p-1}\right\}<1 $ ，于是可知，当且仅当1≤λ≤2时，T是lp中的有界算子.注3 在命题2中，取α=(p-1)(1-λ)，γ=λ-1，则可得到：当0＜λ≤max{p，q}时，有
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