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关于有限群被其真子群覆盖的问题，国内外学者已有相当多的研究，并给出了丰富的结论.文献[1]定义σ(G)为有限群G被其真子群覆盖所需真子群的最少个数，给出了σ(G)分别为4，5，6时的充要条件，还得到了结论
文献[2]定义η(G)为有限群G被其真正规子群覆盖所需真正规子群的最少个数，得到了一个有趣的等式：
其中ξ(G)表示G被n个真子群的共轭类覆盖的最小的n.关于有限群被其交换子群覆盖的问题的研究比较少.
设G为有限群，H1，H2，…，Hm为G的真交换子群，若
则称{H1，H2，…，Hm}为G的一个交换子群覆盖.若{H1，H2，…，Hm}为G的一个交换子群覆盖，且m最小，则记m为θ(G).显然，若{H1，H2，…，Hm}为G的一个交换子群覆盖，我们将Hi换成包含Hi的极大交换子群Ki (i=1，…，m)，则{K1，K2，…，Km}仍为G的一个交换子群覆盖.因此，为了得到θ(G)，只需讨论G的由极大交换子群组成的覆盖即可.
在本文中，我们讨论了K3-单群A5，PSL(2，7)，A6的交换子群覆盖.得到了θ(A5)，θ(PSL(2，7))，θ(A6)的值.本文中总假定G为有限群，πe(G)表示G的元素的阶的集合，np表示G的p-Sylow子群的个数.其它所用符号都是标准的，可参见文献[3].
定理1 θ(A5)=21.
证 证明分为如下3步：
步骤1 A5的极大交换子群恰为A5的所有Sylow子群.
设K为A5的一个极大交换子群，由文献[4]知πe(A5)={1，2，3，5}，所以K的阶只能是素数的方幂.又因
而A5的2阶子群必包含于4阶交换子群中，所以|K|=22，3，5，从而K为A5的Sylow子群.反之，由：
知，A5的所有Sylow子群均为极大交换子群.
步骤2 A5共有21个极大交换子群.
由步骤1，只需找出A5的所有Sylow子群即可.
由
知n5=6，故A5有6个5-Sylow子群.
由
知n3=4，10.若n3=4，则A5只有8个3阶元，这与A5有20个3阶元矛盾，故n3=10，即A5有10个3-Sylow子群.
由计算知，A5的4阶子群共有5个，即如下5个4阶子群：
所以A5共有5个2-Sylow子群.
综上所述，A5共有21个极大交换子群.
步骤3 θ(A5)=21.
由文献[4]知，A5的1阶元有1个，2阶元有15个，3阶元有20个，5阶元有24个.由于A5的p阶元必包含在A5的p-Sylow子群中(p=2，3，5)，所以A5的所有Sylow子群，即A5的所有极大交换子群，可构成A5的一个交换子群覆盖，从而θ(A5)≤21.
设{H1，H2，…，Hm}为A5的任一交换子群覆盖，可不妨设Hi均为极大交换子群.若m＜21，则{H1，H2，…，Hm}中至少缺少1个A5的Sylow子群，不妨设{H1，H2，…，Hm}中缺少一个5-Sylow子群.则{H1，H2，…，Hm}中至多有5个5-Sylow子群，从而H1∪…∪Hm至多含A5的20个5阶元，这与A5有24个5阶元矛盾.同理，{H1，H2，…，Hm}中不能缺少A5的2-Sylow子群、3-Sylow子群.所以{H1，H2，…，Hm}中必包含A5的所有Sylow子群，故m≥21.又因θ(A5)≤21，所以θ(A5)=21.
定理2 θ(PSL(2，7))=57.
证 证明分为如下3步：
步骤1 PSL(2，7) 的极大交换子群恰为PSL(2，7) 的所有3-Sylow子群、7-Sylow子群及4阶交换子群.
设H为PSL(2，7) 的一个极大交换子群，由文献[4]知
所以H的阶只能是素数的方幂.又因
而PSL(2，7) 有一个极大子群同构于S4，S4的2-Sylow子群同构于D8，故PSL(2，7) 的2-Sylow子群同构于D8.但D8不交换，所以|H|=22，3，7，从而H为PSL(2，7) 的3-Sylow子群、7-Sylow子群或4阶子群.反之，由：
PSL(2，7) 的2-Sylow子群不交换，知其所有3-Sylow子群、7-Sylow子群、4阶子群均为极大交换子群.
步骤2 PSL(2，7) 至多有99个极大交换子群.
由步骤1，只需找出PSL(2，7) 的所有3-Sylow子群、7-Sylow子群、4阶子群即可.
由
知n3=4，7，28.若n3=4，7，则PSL(2，7) 只有8个或14个3阶元，这与PSL(2，7) 有56个3阶元矛盾.故n3=28，即PSL(2，7) 有28个3-Sylow子群.
由
知n7=8，故PSL(2，7) 有8个7-Sylow子群.
由
知n2=3，7，21.而PSL(2，7) 的2-Sylow子群同构于D8，D8中有2个4阶元，若n2=3，7，则PSL(2，7) 至多有6个或14个4阶元，这与PSL(2，7) 有42个4阶元矛盾，故n2=21.又因为D8中有3个4阶子群，故PSL(2，7) 至多有63个4阶子群.所以PSL(2，7) 至多有99个极大交换子群.
步骤3 θ(PSL(2，7))=57.
由文献[4]知PSL(2，7) 的1阶元有1个，2阶元有21个，3阶元有56个，4阶元有42个，7阶元有48个.由于PSL(2，7) 的3阶元、7阶元必分别包含在PSL(2，7) 的3-Sylow子群和7-Sylow子群中；2阶元、4阶元必包含在PSL(2，7) 的4阶子群中.所以PSL(2，7) 的所有3-Sylow子群、7-Sylow子群和4阶子群，即PSL(2，7) 的所有极大交换子群，可构成PSL(2，7) 的一个交换子群覆盖，从而
设x为PSL(2，7) 的任一2阶元，由文献[4]知|CPSL(2，7)(x)|=8，则CPSL(2，7)(x)为PSL(2，7) 的2-Sylow子群.故x属于CPSL(2，7)(x)的中心，从而x属于CPSL(2，7)(x)的4阶循环子群中，这说明PSL(2，7) 所有的2阶元必包含在PSL(2，7) 的4阶循环子群中.同时4阶元也都包含在其中.所以PSL(2，7) 的所有3-Sylow子群、7-Sylow子群和4阶循环子群可构成PSL(2，7) 的一个交换子群覆盖，从而
设{H1，H2，…，Hm}为PSL(2，7) 的任一交换子群覆盖，不妨设Hi均为极大交换子群.若m＜57，则{H1，H2，…，Hm}中至少缺少1个PSL(2，7) 的3-Sylow子群(或7-Sylow子群，或4阶循环群).
若{H1，H2，…，Hm}中缺少一个3-Sylow子群，则{H1，H2，…，Hm}中至多有27个3-Sylow子群，从而H1∪…∪Hm至多含PSL(2，7) 的54个3阶元，这与PSL(2，7) 有56个3阶元矛盾.
同理，{H1，H2，…，Hm}中不能缺少PSL(2，7) 的7-Sylow子群.
若{H1，H2，…，Hm}中缺少一个4阶循环子群，则{H1，H2，…，Hm}中至多有20个4阶循环子群，从而H1∪…∪Hm至多含PSL(2，7) 的40个4阶元，这与PSL(2，7) 有42个4阶元矛盾.
综上所述，θ(PSL(2，7))=57.
定理3 θ(A6)=91.
证 证明分为如下3步：
步骤1 A6的极大交换子群恰为A6的所有3-Sylow子群、5-Sylow子群及4阶子群.
设H为A6的一个极大交换子群，由文献[4]知，πe(A6)={1，2，3，4，5}，所以H的阶只能是素数的方幂.又因
而S4是A6的一个极大子群，S4的2-Sylow子群同构于D8，故A6的2-Sylow子群同构于D8.由于D8不交换，所以|H|=22，32，5，从而H为A6的3-Sylow子群(或5-Sylow子群，或4阶子群).反之，由：
及A6的2-Sylow子群不交换，知其3-Sylow子群、7-Sylow子群、4阶子群为极大交换子群.
步骤2 A6至多有181个极大交换子群.
由步骤1，只需找出A6的所有3-Sylow子群、5-Sylow子群、4阶子群即可.
由
知n3=4，10，40.若n3=4，则A6至多有32个3阶元，这与A6有80个3阶元矛盾.故n3≠4.由文献[4]知，A6有36阶极大子群K，K为36阶Frobenius群，其核为9阶，从而
$ {N_{{A_6}}}({P_3}){\rm{ }} > {P_3} $ ，其中P3为A6的3-Sylow子群，于是所以n3=10.即A6有10个3-Sylow子群.
由
知n5=6，36.若n5=6，则A6只有24个5阶元，这与A6有144个5阶元矛盾.故n5=36，即A6有36个5-Sylow子群.
由
知n2=3，5，9，15，45.而A6的2-Sylow子群同构于D8，D8有2个4阶元，若n2=3，5，9，15，则A6至多有6个、10个、18个或30个4阶元，这与A6有90个4阶元矛盾，故n2=45.又因为D8中有3个4阶子群，故A6至多有135个4阶子群.
所以A6至多有181个极大交换子群.
步骤3 θ(A6)=91.
由文献[4]知A6的1阶元有1个，2阶元有45个，3阶元有80个，4阶元有90个，5阶元有144个.由于A6的3阶元、5阶元必分别包含在A6的3-Sylow子群、5-Sylow子群中；2阶元、4阶元必包含在A6的4阶子群中.所以A6的所有3-Sylow子群、5-Sylow子群和4阶子群，即A6的所有极大交换子群，可构成A6的一个交换子群覆盖，从而θ(A6)≤181.
设x为A6的任一2阶元，由文献[4]知|
$ {C_{{A_6}}} $ (x)|=8，则$ {C_{{A_6}}} $ (x)为A6的2-Sylow子群.故x属于$ {C_{{A_6}}} $ (x)的中心，从而$ {C_{{A_6}}} $ (x)的4阶循环子群，这说明A6所有的2阶元必包含在A6的4阶循环子群中，同时4阶元也都包含在其中.所以A6的所有3-Sylow子群、5-Sylow子群和4阶循环子群可构成A6的一个交换子群覆盖，而其4阶循环子群有45个，从而θ(A6)≤91.设{H1，H2，…，Hm}为A6的任一交换子群覆盖，不妨设Hi均为极大交换子群.若m＜91，则{H1，H2，…，Hm}中至少缺少1个A6的3-Sylow子群(或5-Sylow子群，或4阶循环群).
若{H1，H2，…，Hm}中缺少一个3-Sylow子群，则{H1，H2，…，Hm}中至多有9个3-Sylow子群，从而H1∪…∪Hm至多含A6的72个3阶元，这与A6有80个3阶元矛盾.
同理{H1，H2，…，Hm}中不能缺少A6的5-Sylow子群.
若{H1，H2，…，Hm}中缺少一个4阶循环子群，则{H1，H2，…，Hm}中至多有44个4阶循环子群，从而H1∪…∪Hm至多含A6的88个4阶元，这与A6有90个4阶元矛盾.
综上所述，θ(A6)=91.
ON K3-Simple Groups Covered by Their Abelian Subgroups
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摘要: K3-单群A5，PSL(2，7)，A6能被其所有的交换子群覆盖.研究其极大交换子群，给出了所需交换子群的最少个数，即θ(A5)，θ(PSL(2，7))，θ(A6)的值.Abstract: K3-groups A5, PSL(2, 7), A6 can be covered by all their abelian subgroups.By researching their maximum abelian groups, we can compute the minimal number of abelian groups needed, namely, θ(A5), θ(A6), θ(PSL(2, 7)).
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Key words:
- abelian subgroup /
- covering /
- K3-simple group .
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[1] COHN J H E. On n-Sum Groups [J]. Math Scand, 1994, 75: 44-58. doi: 10.7146/math.scand.a-12501 [2] BHARGAVA M. Groups as Unions of Proper Subgroups [J]. American Mathematical Monthly, 2009, 116: 413-422. doi: 10.4169/193009709X470308 [3] 徐明耀.有限群导引[M].北京:科学出版社, 2001. [4] CONWAY J H, CURTIS R T, PARKER R A, et al. Atlas of Finite Groups: Maximal Subgroups and Ordinary Characters for Simple Groups [M]. New York: Oxford University Press, 1985. [5] 施武杰. A5的一个特征性质[J].西南师范大学学报(自然科学版), 1986, 27(3): 633-636. doi: http://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-XNZK198603001.htm [6] 李月, 曹洪平.交错群A5, A6, A77的新刻画[J].西南大学学报(自然科学版), 2016, 38(2): 47-50. doi: http://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-XNND201602008.htm -
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