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在控制工程中，反应扩散方程的边界控制已有很多研究[1-4].但大多是单个反应扩散方程的控制.现在，多个反应扩散方程边界控制也有一些研究成果[5-9].本文考虑如下控制系统：
其中：标量
$ {u_i}\left( {x, t} \right) \in \mathbb{R}, i = 1, \cdots, n$ 是反应扩散方程的状态；λij是常数；${{v}_{i}}\left( t \right)\in \mathbb{R},i=1,\cdots ,n$ 是边界控制输入.把上面的系统写成如下的矩阵形式其中
假设A是正定矩阵；矩阵A和Λ是可交换矩阵；0是零矩阵；V(t)是边界控制输入.控制设计的目标是让整个闭环系统的状态量(u1(x，t)，u2(x，t)，…，un(x，t))在某种范数意义下指数稳定.
本文所使用的变换是矩阵形式的反应扩散方程的Backstepping方法，使复杂的系统简单化，但求变换和逆变换时，需要运用数学矩阵运算方法.然后用Lypunov方法证明闭环系统在控制律下是指数稳定的.
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本文通过矩阵形式的Backstepping方法来建立控制律V(t)，使系统(1)-(3) 指数稳定.
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为了使U(t)W(t)，有下面的变换：
其中
$\mathit{\boldsymbol{K}}\left( {x, y} \right) \in {\mathbb{R}^{n \times n}} $ 为待定的核函数.选取目标系统：
其中
$ \mathit{\boldsymbol{W}}\left( {x, t} \right) = {\left( {{w_1}\left( {x, t} \right), {w_2}\left( {x, t} \right), \cdots, {w_n}\left( {x, t} \right)} \right)^{\rm{T}}} \in {\mathbb{R}^n}$ 可以证明目标系统W(x，t)在L2[0,1]范数下指数稳定.为了使原系统(1)-(3) 在变换(4) 下化为目标系统(5)-(7).首先对W(x，t)关于x和时间t求导
可以得到
其中
为了使W(x，t)满足目标系统(1)，K(x，y)满足下面方程组
由变换(4) 知
所以W(x，t)满足边界条件(6).由变换(4) 知，
为了满足边界条件(7)，选择控制律
控制律通过边界x=1处使系统(1)-(3) 指数稳定.
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假设方程组(9)-(12) 存在一个
$\mathit{\boldsymbol{K}}\left( {x, y} \right) \in {\mathbb{R}^{n \times n}} $ 和$ \varLambda \in {\mathbb{R}^{n \times n}}$ 可交换，则方程组(9)-(12) 可变成参见文献[1]，方程组(14) 的解
参考文献[10]，可以证明K(x，y)是一致收敛的，K(x，y)，Kx(x，y)和Ky(x，y)是可微的.然后证明(15) 式满足方程组(9)-(12).
首先，需要证明K(x，y)和A为可交换矩阵，由于Λ和A是可交换矩阵，则Λ和A-1也是可交换矩阵，有
因此，A和K(x，y)是可交换矩阵，则K(x，y)式满足(11) 式.接着证明(15) 式满足(9) 式，有
则K(x，y)满足(9) 式，下面需要证明K(x，y)满足(10) 式，令y=x，有
因此，K(x，y)满足(10) 式.接着，令y=0代入(15) 式，有K(x，0)=0，因此K(x，y)满足(12) 式.于是K(x，y)满足方程组(9)-(12)，K(x，y)是方程组(9)-(12) 的一个解，故得核方程K(x，y).
1.1. 核方程和控制侓
1.2. 核方程的解
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在变换(4) 下，闭环系统(1)-(3) 变换到稳定的目标系统(5)-(7).要证明闭环系统的稳定性，需证明逆变换存在.
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设逆变换
$ \mathit{\boldsymbol{W}}\left( t \right) \to \mathit{\boldsymbol{U}}\left( t \right)$ 为：其中
$\mathit{\boldsymbol{L}}\left( {x, y} \right) \in {\mathbb{R}^{n \times n}} $ 为待定的核函数.$ \mathit{\boldsymbol{L}}\left( {x, y} \right) \in {\mathbb{R}^{n \times n}}$ 的求解与求$ \mathit{\boldsymbol{K}}\left( {x, y} \right) \in {\mathbb{R}^{n \times n}}$ 的方法类似，计算Uxx和Ut并使其满足系统(1)-(3)，就可以得到关于核函数$\mathit{\boldsymbol{L}}\left( {x, y} \right) \in {\mathbb{R}^{n \times n}} $ 的方程组逆变换的核方程求解见1.2，得到逆变换的解
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定理1 对于系统(1)-(3) 和控制律(13)，存在正数σ和b，使得
即闭环系统在此范数意义下指数稳定.其中定义U(x，t)关于x的L2范数
符号‖·‖指矩阵的欧几里得范数.
证 L2范数简记为‖·‖2.对于目标系统(5)-(7)，选择Lyapunov函数
首先对Lyapunov函数(19) 关于t求导，有
其中δ是矩阵A+AT最小特征值.由Poincaré不等式，有
令
$ b = \frac{\delta }{4}\ $ 从而有$v\left( t \right) \le v\left( 0 \right){e^{ - bV}} $ 目标系统指数稳定.由变换(4) 建立闭环系统的范数
$ \left\| {W\left( t \right)} \right\|$ 和$ \left\| {U\left( t \right)} \right\| $ 的关系，得到由Holder′s不等式和Cauchy-Schwarz不等式，有
其中kij是矩阵K(x，y)的元素，因为
故
由逆变换(16)，得到
其中
lij是矩阵L(x，y)的元素.由(21) 式，得到
由(20) 式，得到
由(22) 式和(23) 式，得到
其中σ=(1+γ)2(1+κ)2，即闭环系统(1)-(3) 在控制律(13) 下是指数稳定的.
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