为了研究积分不等式(4)，我们需要叙述conformable分数阶导数和积分的概念和有关运算规律.

定义1  ^[8-9]对于函数$f:\left[{a, \left. \infty \right)} \right. \to {\mathbb{R} + } $，如果极限

对所有t＞a存在，则称此极限为函数f的从a开始的0＜α≤1阶conformable分数阶导数，并称函数f在区间[a，∞)上α可微.

定义2  ^[8-9]函数$f:\left[{a, \left. \infty \right)} \right. \to {\mathbb{R} + } $的从a开始的0＜α≤1阶conformable分数阶积分定义为

引理1  ^[8-9]假设a，b，p，λ，α是实常数，α∈(0，1].假设函数f，g在区间[a，∞)上α可微.令h(t)=f(g(t)).则有下面的运算规律：

如果f在区间[a，∞)上α可微，则有

约定${\mathbb{R} + } = \left[{0, \left. \infty \right)} \right. $.为了定理的叙述和证明简便，我们先用不等式(4) 中的函数w₁，w₂，w₃定义3个新的函数W₁，W₂，W₃：

定理1  假设函数f，g，h，e∈C([a，∞)，$ {\mathbb{R} + }$)，e是正的不减函数.假设${w_i} \in C\left( {{\mathbb{R} + }, {\mathbb{R} + }} \right)\left( {i = 1, 2, 3} \right), {w_1}\left( z \right), {w_2}\left( z \right), {w_3}\left( z \right), \frac{{{w_2}\left( z \right)}}{{{w_1}\left( z \right)}}, \frac{{{w_3}\left( z \right)}}{{z{w_1}\left( z \right)}}, \frac{{{w_3}\left( z \right)}}{{z{w_3}\left( z \right)}} $函数都是正的不减函数.如果u(t)满足不等式(4)，则有未知函数u(t)的估计

其中：

T₁是满足下面条件的最大实数

证  因e(t)是增函数，对于任意选定的实数T∈[a，T₁]，由(4) 式可以推出

用z₁(t)表示不等式(19) 的右端，即

显然， z₁(t)是区间[a，T]上正的不减函数，并且有

根据文献[8-9]中给出的以a为积分下限的conformable左分数阶积分定义2，(20) 式可以改写成

求函数z₁(t)的α阶conformable分数阶导数，利用引理1和关系式(21)，得到

其中z₂(t)由(25) 式定义

可以看出z₂(t)是[a，T]上正的不减函数.由(22) 和(25) 式知

求函数z₂(t)的α阶conformable分数阶导数，利用引理1与不等式(24) 和(26)，得到

其中z₃(t)由下式定义

可以看出z₂(t)是[a，T]上正的不减函数.由(27) 和(29) 式知

求函数z₃(t)的α阶conformable分数阶导数，利用引理1和不等式(28) 和(30)，得到

不等式(32) 两边同除w₁(z₃(t))z₃(t)得到

根据引理1和W₁的定义，由(33) 式得到

先把不等式(34) 中的t替换成τ，然后不等式(34) 两边从a到t进行α阶conformable分数阶积分，根据引理1得到

用z₄表示不等式(35) 的右端，则z₄是[a，T]上正的不减函数，且有

求函数z₄(t)的α阶conformable分数阶导数，利用引理1和不等式(36) 得到

不等式(38) 两边同除$ \frac{{{w_2}\left( {W_1^{ - 1}\left( {{z_4}\left( t \right)} \right)} \right)}}{{{w_1}\left( {W_1^{ - 1}\left( {{z_4}\left( t \right)} \right)} \right)}}$得到

根据引理1和W₂的定义，由(39) 式得到

先把不等式(40) 中的t替换成τ，然后不等式(40) 两边从a到t进行α阶conformable分数阶积分，根据引理1得到

用z₅表示不等式(41) 的右端，则z₅是[a，T]上正的不减函数，且有

求函数z₅(t)的α阶conformable分数阶导数，利用引理1和不等式(42) 得到

类似于对(38) 式的推导，由(44) 式推出

由(46) 式进一步推出

综合(21)，(30)，(36) 和(42) 式得到

把(37)，(43) 和(46) 式代入(47) 式得到

由于T∈[0，T₁]的任意性，我们得到(4) 式中未知函数的估计(16).

我们用定理1的结果研究一类conformable分数阶积分方程解的估计.

例  考虑下面的conformable分数阶积分方程：

其中：k是常数；$ G, H \in C\left( {\left[{a, } \right.\left. \infty \right) \times {\mathbb{R}^2}, \mathbb{R}} \right), K \in C\left( {\left[{a, } \right.\left. \infty \right) \times \mathbb{R}, \mathbb{R}} \right)$满足下面的条件：

这里函数f，g，h，w₁，w₂，w₃满足定理1中的条件.

利用条件(50)，(51) 和(52)，由积分方程(49)，可以推出

利用定理1，我们就可以得到不等式(53) 中未知函数|x(t)|的估计，从而得到方程(53) 解的估计为

其中：

W₁，W₂，W₃和定理1中的定义相同.