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反应扩散方程的边界控制问题有广泛的工程背景.在对一维的反应扩散方程的边界控制的研究中，最早考虑在容器的一端加控制的情况[1-2].当区间的一端移动时，在移动端加控制的情况已被解决[3-4].并且对输入时滞系统的边界控制的研究也取得成功[5].对高维系统的边界控制的研究，现在只解决了矩形区域和立方体区域[6]，以及圆形区域上温度的边界控制[7].在其它高维区域上的反应扩散方程的边界控制问题尚无很好的结果.因此本文首先考虑曲边矩形上的系统的边界控制，即系统
其中：a，λ＞0；φ(x)在[0，l]上可微；P={(x，y)|0＜x＜l，0＜y＜φ(x)}；u(x，y，t)为温度；U(x，t)为边界控制输入.随后考虑曲顶柱体上的系统
其中：a，λ＞0；Ω⊂ℝ2是有界开域；V={(x，y，z)|(x，y)∈Ω，z∈(0，f(x，y))}；D是Ω的边界；f(x，y)在Ω上连续；u(x，y，z，t)为温度；U(x，y，t)为边界控制输入.
本文利用反步控制(Backstepping)方法，先给出一个指数稳定的目标系统，找到边界控制将原系统转化为目标系统.随后用李雅普诺夫方法证明目标系统是指数稳定的，并证明在所给出的边界控制下闭环系统稳定.
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考虑系统(1)-(3) 的控制设计.引入变换
边界控制为
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将(8) 式两边同时对t求导，再分别同时对x，y求二阶偏导数并化简，可得
取核函数满足
得到
此时(8) 式将系统(1)-(3) 转化成目标系统
文献[2]中已给出方程(10)-(12) 的解为
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定理1 当a＞0时，系统(13)-(14) 指数稳定.即存在常数M，N＞0，使得
其中
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设(8) 式的逆变换为
类似k(y，z)的求解过程，可解得
在边界控制(9) 下，系统(1)-(3) 指数稳定.
1.1. 控制器设计
1.2. 目标系统的指数稳定性
1.3. 逆变换及稳定性
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考虑系统(4)-(7) 的控制设计，引入变换
边界控制为
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变换(15) 两边分别对x，y，z求二阶偏导数，对t求偏导数，并化简，可取核函数满足：
得到
此时(15) 式将系统(4)-(7) 转换成目标系统
其中Γ为V的边界.
方程(16)-(18) 的解为
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定理2 目标系统(19)-(20) 指数稳定，其中
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记(15) 式的逆变换为
可知
下证系统(4)-(7) 指数稳定.
对(21) 式两边求范数，得
由施瓦茨不等式可知
由于对任意(x，y)∈Ω∪D，q(z，s)在{(z，s)|z∈(0，f(x，y))，s∈(0，z)}上有界，故存在连续且在Ω∪D上有界的函数K(x，y)，满足
从而有
由此可得
由于K(x，y)，f(x，y)在Ω上有界，存在常数C＞0，满足
从而
于是，存在常数C1＞0，使得
类似可证明存在常数C2＞0，使得
从而有
故u(x，y，z，t)指数稳定.
2.1. 控制器设计
2.2. 目标系统的指数稳定性
2.3. 逆变换及稳定性
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考虑如下系统
其中
当
时，原系统变为
其中w(x，y，0)≠u(x，y，0).此时‖u‖22和‖w‖22与时间t的关系分别如下图所示：
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本文主要研究了曲边矩形及曲顶柱体上温度的边界控制.应用原有的反步控制方法，根据相应条件导出核方程，进而得到核方程的解和控制律，并证明闭环系统是指数稳定的.为了更好证明理论正确性，对二维系统进行数据仿真，实验结果与理论推导相吻合.与已有的成果相比，由于所施加控制的一端的形状对控制律没有影响，因此本文扩展了原有的Backstepping方法的适用范围.