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一类耦合反应扩散系统的边界控制

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邓静, 谢成康, 刘忠诚. 一类耦合反应扩散系统的边界控制[J]. 西南大学学报（自然科学版）, 2017, 39(5): 126-131. doi: 10.13718/j.cnki.xdzk.2017.05.019
引用本文: 邓静, 谢成康, 刘忠诚. 一类耦合反应扩散系统的边界控制[J]. 西南大学学报（自然科学版）, 2017, 39(5): 126-131. doi: 10.13718/j.cnki.xdzk.2017.05.019
shu
Jing DENG, Cheng-kang XIE, Zhong-cheng LIU. Boundary Control of a Class of Coupled Reaction-Diffusion Systems[J]. Journal of Southwest University Natural Science Edition, 2017, 39(5): 126-131. doi: 10.13718/j.cnki.xdzk.2017.05.019
Citation: Jing DENG, Cheng-kang XIE, Zhong-cheng LIU. Boundary Control of a Class of Coupled Reaction-Diffusion Systems[J]. Journal of Southwest University Natural Science Edition, 2017, 39(5): 126-131. doi: 10.13718/j.cnki.xdzk.2017.05.019
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一类耦合反应扩散系统的边界控制

  • 西南大学 数学与统计学院，重庆 400715

  • 基金项目: 国家自然科学基金项目(11301427)；贵州省科技厅联合基金项目(黔科合LH字【2015】7007号)
详细信息
    作者简介:

    邓静(1992-)，女，四川冕宁人，硕士研究生，主要从事偏微分方程系统控制的研究 .

    通讯作者: 谢成康，教授; 

  • 中图分类号: O231.2

Boundary Control of a Class of Coupled Reaction-Diffusion Systems

  • School of Mathematics and Statistics, Southwest University, Chongqing 400715, China

  • 摘要: 利用Backstepping的方法对系统内部有热源的耦合线性方程组反应扩散系统进行研究，推导出了这一类耦合系统的核方程，并且证明了闭环系统的稳定性.
    Abstract: This paper uses the backstepping method to study a class of PDE-ODE coupled systems, the focus being placed on the reaction-diffusion system of coupled linear equations with a heat source. The existence of the kernel function is shown, and the stability of the closed loops is achieved.
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  • [1] BEKIARIS-LIBERIS N, KRSTIC M. Compensating Distributed Effect of Diffusion and Counter-Convection in Multi-Input and Multi-Output LTI Systems[J]. IEEE Transactions on Automatic Control, 2011, 56(3): 637-642. doi: 10.1109/TAC.2010.2091187
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    [6] ZHANG X, ZUAZUA E. Polynomial Decay and Control of a 1-d Hyperbolic-Parabolic Coupled System[J]. Journal of Differential Equations, 2004, 204(2): 380-438. doi: 10.1016/j.jde.2004.02.004
    [7] TANG S, XIE C. Stabilization for a Coupled PDE-ODE Control System[J]. Journal of the Franklin Institute, 2011, 348(8): 2142-2155. doi: 10.1016/j.jfranklin.2011.06.008
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出版历程
  • 收稿日期:  2016-05-04
  • 刊出日期:  2017-05-20

一类耦合反应扩散系统的边界控制

    通讯作者: 谢成康，教授; 
    作者简介: 邓静(1992-)，女，四川冕宁人，硕士研究生，主要从事偏微分方程系统控制的研究
  • 西南大学 数学与统计学院，重庆 400715
  • 收稿日期:  2016-05-04
基金项目:  国家自然科学基金项目(11301427)；贵州省科技厅联合基金项目(黔科合LH字【2015】7007号)

摘要: 利用Backstepping的方法对系统内部有热源的耦合线性方程组反应扩散系统进行研究，推导出了这一类耦合系统的核方程，并且证明了闭环系统的稳定性.

English Abstract

    全文HTML

  • 在控制工程中温度控制问题用反应扩散方程描述.反应扩散方程的边界控制问题具有实用价值[1-3].在控制理论和控制工程中，耦合的例子经常见到，如电磁耦合、机械耦合、化学反应的耦合等.对常微分方程和偏微分方程之间的耦合问题的研究已经获得若干结论[4-7].但是之前考虑的是常微分方程和一维的偏微分方程之间的耦合，并且得到了在不同的边界条件下的系统控制率[8-11].本文考虑如下控制系统：

    其中：X(t)=(X1(t)，X2(t)，…，Xn(t))T∈ℝn表示流体的温度、湿度、密度等，A∈ℝn×n，B∈ℝn×m，D∈ℝm×m，Λ∈ℝm×m，G∈ℝm×n，C(t)∈ℝm×n是控制输入，α是傅立叶常数，U(x，t)是固体的温度，ΛU(x，t)是热源强度.

1.   控制器的设计

  • 为了稳定系统(1)-(4)，需找到一个变换(X(t)，U(x，t))|→(X(t)，W(x，t))，将系统(1)-(4) 转换为指数稳定的目标系统，从而设计出控制律.闭环系统的稳定性就可以通过该变换及其逆变换建立起来.

    本节引入一个Volterra变换(X(t)， U(x，t))|→(X(t)，W(x，t))：

    目标系统取为

    其中U(x，t)∈ℝn表示零向量.这里核函数Φ(x，y)∈ℝm×m和矩阵函数Ψ(x)∈ℝm×n都是待定的.其中选择K∈ℝm×n使得A+BK是Hurwitz矩阵.现在假设变换(5)-(6) 将系统(1)-(4) 转换为目标系统(7)-(10).

    可取核函数Φ(x，y)和矩阵函数Ψ(x)满足下面方程：

    就能使W(x，t)满足(8) 式，这里O表示零矩阵.

    为了满足(10) 式取控制律为：

    这样就得到了核函数Φ(x，y)和矩阵函数Ψ(x)满足方程和边界条件：

    上述方程组可以用数值方法求解.

2.   稳定性

  • 要得到闭环系统(1)-(4) 的稳定性，就需要证明目标系统(7)-(10) 是稳定的，而且变换(5)-(6) 是可逆的.

    证明变换可逆的方法是找到它的逆变换.但是，从变换(6) 中求解U(x，t)是一个很困难的数学问题，因此直接寻求逆变换就显得更加困难.另外一种思路就是通过下面的方法来间接证明.假设逆变换具有下面的形式

    这里核函数M(x，y)和N(x)是待定的，并且在该变换下目标系统的解能转化为闭环系统的解.按照求解核函数Φ(x，y)和Ψ(x)的思路和方法，计算出Ux，Uxx和Ut.假设W(x，y)满足目标系统(7)-(10)，就得到U(x，y)满足(1)-(4) 的条件.整理如下

    只需要求解出M(x，y)和N(x)就可以求出逆变换.

    定理1 设Φ(x，y)和Ψ(x)是(18)-(25) 的解.考虑系统(1)-(4)，控制律为(17)，则存在正常数σ使得

    即闭环系统在上述范数下是指数稳定的，其中

    是L2范数，‖·‖表示欧几里得范数.

    证 对于目标系统(7)-(10)，考虑Lyapunov函数

    这里P=PT＞0是Lyapunov方程

    的解，Q=QT＞0是Lyapunov方程

    的解，a＞0是需要被确定的参数.首先证明存在常数b＞0，使得下式成立

    对Lyapunov函数(36) 两边关于t求导得，

    再由(7)-(10) 式得

    先来估计第二项，根据柯西不等式和Young不等式，有

    这里‖W(0，t)‖2=W(0，t)TW(0，t).

    又由Agmon不等式

    及W(1，t)=0得

    由Poincaré不等式

    及W(1，t)=0得

    这里

    于是

    令

    则∂xwi(0，t)=wi(1，t)=0，i=1，2，…，m且

    由(38)-(39) 式可得

    取

    则有

    由(37) 式可得

    又由文献[12]知

    其中Λ是Q的最小特征值，μ是Q的最大特征值.所以

    其中

    就可以得到

    现在需要建立闭环系统的范数‖X(t)，U(t)‖和V(t)之间的关系.从变换(6) 中可以得到

    由文献[12]知

    又根据Schwartz不等式有

    这里

    因此

    同样的方法由(27) 式可以得到

    这里

    又由(41) 式可得

    这里

    另一方面，根据(40)，下面式子是成立的

    那么

    这里

    因此，由(42) 和(43) 式，就证明了

    是成立的，这里σ=γδ.从而就证明了闭环系统是指数稳定的.

参考文献 (11)

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