近年来，抛物方程和椭圆方程在薄区域上的研究引起了学者们的关注^{[1-4, 7, 10]}． 本文研究Benjamin-Bona-Mahony方程在薄区域上的极限方程． 通过研究Benjamin-Bona-Mahony方程解的极限行为，推出该方程在薄区域上的极限方程． 令

其中： ω是$\mathbb{R}$ⁿ中光滑有界区域，g∈c²(ω； $\mathbb{R}$ )且∃M＞0，使得0＜g＜M．

本文考虑满足第一初边值条件的Benjamin-Bona-Mahony方程

其中： δ，μ是正常数； F=(F₁(s)，F₂(s)，…，F_n+1(s))，∇·F= $\sum\limits_{i = 1}^{n + 1} {\frac{\partial }{{\partial {x_i}}}{F_i}} $ 且满足：

(ⅰ)F_k(0)=0，k=1，2，…，n+1；

(ⅱ)在 $\mathbb{R}{^1}$ 中，F_k，k=1，2，…，n+1是二阶连续可微函数；

(ⅲ) ${f_k}(s) = \frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}s}}{F_k}(s)$ ，k=1，2，…，n+1，且满足｜f_k(s)｜≤C(1+｜s｜^m)，k=1，2，…，n+1其中当n=1时，0≤m＜∞，当n=2时，0≤m＜2，当n≥3时，m=0．

为了分析问题(2)解的极限行为，首先确定问题(2)的解，给定f^ε∈L²(Ω^ε)，u₀∈H¹(Ω^ε)，应用Faedo-Galerkin方法^{[5-6, 8-9]}容易得到问题(2)的唯一解u^ε∈H¹(Ω^ε)； 然后引入新区域Ω： =ω×(0，1)，可以通过坐标变换ζ^ε将Ω化为Ω^ε，即ζ^ε： Ω→Ω^ε，(x，x_n+1)｜→(x，εg(x)x_n+1)． 同时得到H¹(Ω^ε)到H¹(Ω)上的同构映射Φ^ε，即Φ^ε： u｜→v： =u。ζ^ε，则

从而问题(2)可化为

其中：

因为Φ^ε是同构映射，所以u^ε∈H¹(Ω^ε)是问题(2)的唯一解当且仅当v^ε∈H¹(Ω)是问题(3)的唯一解． 因此为了得到u^ε的极限行为只需分析v^ε的极限行为． 最后由于区域Ω^ε扰动的性质，当ε→0时问题(3)的解v^ε不依赖于x_n+1，所以我们考虑如下问题

其中： $\hat h$ ∈L²(ω)，v₀(x)∈H¹(ω)，应用Faedo-Galerkin方法，可以得到问题(4)的唯一解v⁰∈H¹(ω)．

本文的主要目的是证明在区域Ω上，问题(3)的解υ^ε收敛于问题(4)的解Eυ⁰． 区域Ω^ε随参量ε的变化而变化，当ε→0时区域Ω^ε将变为区域ω． 为了保留区域Ω^ε可测子集的相关性质，考虑L²(Ω^ε)空间并赋予等价范

和H¹(Ω^ε)空间并赋予等价范

同样，考虑L²(Ω)的等价范 ${\left\| {\left| u \right|} \right\|_{{L^2}\left( \Omega \right)}} = {\left( {\int_\Omega {g\left( x \right){{\left| u \right|}^2}{\rm{d}}{\bf{x}}} } \right)^{\frac{1}{2}}}$ 和H¹(Ω)的等价范

通过上述定义可知

并且存在正常数C₁，C₂有

在本文中规定

由于比较的函数定义在不同的区域，因此要引入平均算子：

和延拓算子：

本文的主要结果如下：

定理1 设v^ε∈H¹(Ω)是问题(3)的解，v⁰∈H¹(ω)是问题(4)的解，则

为了证明定理1，我们先证明下面两个辅助引理：

引理1 给定f^ε∈L²(Ω^ε)，u₀∈H¹(Ω^ε)，则系统(2)的唯一解u^ε是有界的．

证 用u^ε与问题(2)的第一个方程作内积可得：

设G是F的原函数，即

那么我们有∇·G(u)=F(u)·∇u． 因此

所以我们就有

由Poincaré不等式

得

又

其中：${C_3} = \min \left( {\frac{{\mu {\lambda _1}}}{2},\frac{\mu }{{2\delta }}} \right)$． 于是有

再由Gronwall不等式得

又因为u₀∈H¹(Ω^ε)，所以结论成立．

引理2 设h^ε∈L²(Ω)，且在L²(Ω)中h^εh⁰，又设v^ε∈H¹(Ω)是问题(3)的唯一解，则存在问题(4)的唯一解v⁰∈H¹(ω)，当 $\hat h = M({h^0})$ ，使得

在H¹(Ω)上是弱收敛，在L²(Ω)上是强收敛．

证 因为 ${\left\| {\left| \cdot \right|} \right\|_{{H^1}({\Omega ^\varepsilon })}}$ 与 ${\left\| {{u^\varepsilon }} \right\|_{{H^1}({\Omega ^\varepsilon })}}$ 是等价范，所以由引理1知 ${\left\| {\left| \cdot \right|} \right\|_{{H^1}({\Omega ^\varepsilon })}}$ 是有界的． 又

所以 ${\left\{ {{{\left\| {\left| {{v^2}} \right|} \right\|}_{{H^1}\left( \Omega \right)}}} \right\}_\varepsilon }$ 是有界的． 因为H¹(Ω)是自反空间且H¹(Ω)是紧嵌入到L²(Ω)，所以存在 ${{\tilde v}^0} \in H^1 (\mathit{\Omega})$ ，当ε→0时， $v^{\varepsilon} \to {\tilde v}^0$ ． 在H¹(Ω)上是弱收敛，在L²(Ω)上是强收敛． 又 $\nabla_{x_{n+1}} {\tilde v}=0$ (ε)，因此在L²(Ω)中，当ε→0时， ${\tilde v}^0 (\boldsymbol{x} ,x_{n+1}) = v^0(\boldsymbol{x})$ ，即 ${\tilde v}^0 (\boldsymbol{x} ,x_{n+1}) = Ev^0$ 在区域Ω上几乎处处成立． 则存在v⁰∈H¹(ω)，使得 ${{\tilde v}^0}({\bf{x}},{x_{n + 1}}) = {v^0}({\bf{x}})$ 在区域Ω上几乎处处成立，即 ${\tilde v^0}\left( {\mathit{\boldsymbol{x,}}{x_{n + 1}}} \right) = E{v^0}$ ．

下面说明v⁰∈H¹(Ω)是问题(4)的解． 当ε→0时，

又当ε→0时，

所以

从而结论成立．

定理1的证明  由引理2知，在 H¹(Ω) 上 $v^{\varepsilon}\rightharpoonup{\tilde v}^0$ . 则

由Lebesgue控制收敛定理得

又

所以

推论1  设v^ε∈H¹(Ω)是问题(3)的解，v⁰∈H¹(ω)是问题(4)的解，则

由推论1以及Φ^ε是同构映射可知，当ε→0时，Benjamin-Bona-Mahony方程在薄区域上的极限方程为问题(4)的第一个方程．