对于第i个个体，Cox模型的表达式为：

其中，样本容量为n，预测变量个数为p，协变量矩阵为X=(X₁，X₂，…，X_n)，X_i=(x_i1，x_i2，…，x_ip)^T为第i个个体的p个协变量，回归向量为β=(β₁，β₂，…，β_p)^T，h₀(t_i)为第i个个体的基准风险率，i=1，2，…，n.

现记观测数据为(Z_i，δ_i，X_i)，Z_i为第i个个体的研究时间，令h₀(t)恒定，则似然函数^[13]为：

其中：δ_i为示性函数，事件删失时δ_i=0，事件发生时δ_i=1；R_i为t_i时刻个体的风险集；k=1，2，…，p.

于是，借鉴Tibshirani^[2]及Fan^[10]提出的处理思想，极小化偏对数似然函数的相反数并添上适当的惩罚项便可定义Cox模型的Elastic Net估计：

进一步由

可得

其中λ₁和λ₂为调整参数，且满足λ₁≥0，λ₂≥0.

进一步，借鉴普通线性模型中Adaptive Elastic Net估计的定义思想^{[7, 11]}，在(1) 式的基础上，对l₁惩罚部分加权，便可定义Cox模型的Adaptive Elastic Net估计：

其中： ${\hat \omega _k} = {(\left| {{{\hat \beta }_{(EN)k}}} \right|)^{ - \gamma }}$ ，γ为一正常数.

现研究Cox模型Adaptive Elastic Net估计的组效应性质.

定理1 对Cox模型，给定数据(Z_i，δ_i，X_i)及参数(λ₁^*，λ₂)，响应变量已经中心化且自变量已经标准化.令x_a=(x_1a，x_2a，…，x_na)为n个个体的第a个协变量，x_b=(x_1b，x_2b，…，x_nb)为n个个体的第b个协变量，a，b=1，2，…，p. $\hat \beta (\lambda_1^*,\lambda_2)$ 表示AEN估计，其中 $\hat \beta_a (\lambda_1^*,\lambda_2)$ 和 $\hat \beta_b (\lambda_1^*,\lambda_2)$ 是任意一组强相关变量x_a和x_b的系数.假设 $\hat \beta_a (\lambda_1^*,\lambda_2)\hat \beta_b (\lambda_1^*,\lambda_2) > 0$ .

定义

则

证 由于 $\hat \beta_a (\lambda_1^*,\lambda_2)\hat \beta_b (\lambda_1^*,\lambda_2) > 0$ ，故符号函数 $\mathop{\rm sgn} \{\hat \beta_a (\lambda_1^*,\lambda_2)\} = \mathop{\rm sgn} \{\hat \beta_b (\lambda_1^*,\lambda_2)\}$ ，且 $\hat \beta_a (\lambda_1^*,\lambda_2) \ne 0$ ， $\hat \beta_b (\lambda_1^*,\lambda_2) \ne 0$ .

现令 $\hat \beta_m (\lambda_1^*,\lambda_2) \ne 0$ ， $\hat \beta (\lambda_1^*,\lambda_2) $ 满足

其中

则由于 $\hat \beta_a (\lambda_1^*,\lambda_2) \ne 0$ ，故有

成立.

即

于是

同理

将(3)，(4) 式相减得到

由于Cox模型的偏残差^[14-15]为

其中r=1，2，…，p，故(5) 式可变形为

从而

于是，对于强相关变量x_a和x_b，由于x_a和x_b强相关，即E[x_ax_b^T]→1，故对第i个个体，有

从而

由(6)，(8) 式，有

故

由

可知

于是

由(7)，(9)，(10) 式，得到

即

证毕.

D_λ1^*，λ2(a，b)刻画了两个变量系数估计之间的差距，这表明若x_a和x_b高度相关，则对应的系数估计之间的差距将趋于0.也就是说，Cox模型的AEN估计具有组效应性质，即强相关变量得到的系数估计大致相同.

上节从理论上揭示了Cox模型Adaptive Elastic Net估计的组效应性质.现通过数值模拟加以验证.

设x_i~N(0，1)，i=1，2，…，10，其中x₃=x₂，x₇=x₆， $x_4 = 2x_1 +\frac{1}{3}x_2 +\frac{1}{3}x_3$ .则x₃与x₂强相关，x₇与x₆强相关，且x₄与x₁，x₂及x₃之间存在共线性.考虑Cox模型 $h(t) = h_0(t)\exp(\sum\limits_{i=1}^{10} \beta_i x_i)$ ，t~U[0, 1]，且真实参数为(-1，3，3，0， $\frac{1}{2}$ ，2，2，0，0，0)^T，同时将该模型模拟1 000次，得到n=1 000，p=10的样本数据.

分别运用Lasso方法、Adaptive Lasso(ALasso)方法、Elastic Net(EN)方法及Adaptive Elastic Net(AEN)方法对上述数据进行变量筛选^[16-18]，其中后3种方法的系数估计值可先转化为Lasso方法的形式，再利用Lars算法^[19]得到.取 $\lambda_2 = \frac{1}{3}$ ，γ=3，而其他参数由交叉验证方法^[20]选出，重复计算50次，取系数估计值的平均值，得到的系数估计值见下表 1.

由表 1可知：

1) 对与x₁，x₂，x₃存在共线性的x₄，4种方法均没有将其选入模型，说明Lasso方法、Adaptive Lasso方法、Elastic Net方法及Adaptive Elastic Net方法均能处理共线性问题.

2) 比较Lasso方法和ALasso方法：在对x₈，x₉及x₁₀这3个零变量的处理上，ALasso方法比Lasso方法精确.这体现了Adaptive Lasso方法在零变量的处理方面优于Lasso方法.

3) 比较EN方法和AEN方法：在对变量x₈，x₉及x₁₀这3个零变量的处理上，AEN方法比EN方法精确.这体现了Adaptive Elastic Net方法在零变量的处理方面优于Elastic Net方法.

4) 比较ALasso方法和AEN方法：在对x₂与x₃，x₆与x₇这两组强相关变量的处理上，AEN方法能将强相关变量x₂与x₃，x₆与x₇全部选入模型，且这两组强相关变量的系数估计值相同，而ALasso方法只能选择强相关变量组中的一个变量.这体现了AEN方法具有组效应性质.

接下来，我们通过电信客户的实际数据来验证Cox模型Adaptive Elastic Net估计的优越性.

本实例来自对某高校在校大学生手机卡使用情况的调查. x₁，x₂，…，x₁₀分别表示性别、年级、是否学生干部、是否少数民族、是否农业户口、是否生源地就读、是否移动用户、月均电话费用、售后服务质量、月均生活费用10个变量.调查时间从2007年1月开始至2014年1月结束，最终得到380份有效问卷.

对数据进行简单统计分析后发现，大多数变量间存在较高的相关性，故经典Cox模型不再适用.接下来，我们分别将Lasso方法、Adaptive Lasso(ALasso)方法、Elastic Net(EN)方法及Adaptive Elastic Net(AEN)方法运用于Cox模型中，得到的变量选择结果见表 2.

由表 2可知：

1) 4种方法均没有将变量x₁和x₇选入模型，这说明将Adaptive Elastic Net方法运用于Cox模型是可行的.

2) 对于具有较强相关性的x₈与x₁₀，Lasso和ALasso只选择了x₁₀，而EN和AEN则把这两个强相关变量同时选入了模型，这表明Cox模型的Elastic Net方法和Adaptive Elastic Net方法能把强相关变量组中的变量全部选出；此外，在所有系数的估计值中，二者系数的差距最小.这表明Elastic Net方法和Adaptive Elastic Net方法能体现变量间的相关性，且相关系数越大，它们系数估计的差距就越小，这体现了Elastic Net方法和Adaptive Elastic Net方法的组效应性质.

3) 对与手机卡的流失无影响的x₃和x₄，AEN在对这两个零变量的处理上，比EN精确得多，这体现了Cox模型的Adaptive Elastic Net估计在零变量的处理方面优于Elastic Net.

综上，Cox模型的Adaptive Elastic Net估计优于其它3种估计.

Cox模型的Elastic Net方法在处理具有强相关性的生存数据方面，优于Cox模型的Lasso方法.但在模型精确度方面，Elastic Net方法对零变量的估计却不太理想.

为克服这一缺陷，本文将Adaptive Elastic Net方法运用于Cox模型的变量选择中，证明了在一定条件下，Cox模型的Adaptive Elastic Net估计具有组效应性质，即Adaptive Elastic Net方法能将强相关变量全部选入Cox模型.此外，数值模拟和具体实例既验证了其组效应性质，也表明了Cox模型的Adaptive Elastic Net估计对零变量的处理更准确.这表明，Cox模型的Adaptive Elastic Net方法优于其他3种方法.