定义1^[16] 设U是论域.映射Ψ_A: U→[0, 1].确定U上的一个模糊子集A，映射Ψ_A称为A的隶属函数，Ψ_A(x)称为x对于A的隶属程度(简称隶属度)，记为A(x).

定义2^[16] 设A是U上的模糊子集，λ∈(0，1).

1) 映射Ψ^╕: {A(x) | x∈U}→[0, 1].若Ψ^╕(A(x))=1-A(x)，则Ψ^╕确定了U上的一模糊子集(记作A^╕)，Ψ^╕(A(x))记为A^╕(x)，A^╕称为A的“对立否定集”.

2) 映射Ψ^~: {A(x) | x∈U}→[0, 1].若

则Ψ^~确定了U上的一模糊子集(记作A^~)，Ψ^~(A(x))记为A^~(x)，A^~称为A的“中介否定集”.

3) 映射Ψ^¬: {A(x) | x∈U}→[0, 1].若Ψ^¬(A(x))=Max(A^╕(x)，A^~(x))，则Ψ^¬确定了U上的一模糊子集(记作A^¬)，Ψ^¬(A(x))记为A^¬(x)，A^¬称为A的“矛盾否定集”.

以上定义的论域U上的模糊子集，我们称为“具有矛盾否定、对立否定和中介否定的模糊集”，简记为FScom (Fuzzy Sets with Contradictory negation，Opposite negation and Medium negation).

语气算子^[17]是一个映射H_α: F(U)→F(U)(α＞0)，论域U上的模糊集A经过其作用变换成模糊集H_αA，二者的关系是: (H_αA)(u)=[A (u)]^α.

当α＞1时，称为集中化算子；当α＜1时，称为散漫化算子.

特别地，当α=4时，H₄叫“极”；当α=2时，H₂叫“很”；当α=0.75时，H_0.75叫“比较”；当α=0.5时，H_0.5叫“有点”或者“略”；当α=0.25时，H_0.25叫“微”或者“稍微有点”.

同一个语气词作用在一对对立模糊集上，得到的还是一对对立模糊集.

下面以模糊集FScom及其模糊综合评判^[18]为理论基础，并结合语气算子来建立一种自然灾害灾情评估模型.

自然灾害具有多等级，并且这些等级间具有不同的否定关系.具有3种否定的模糊集FScom可以指出模糊信息中具有3种否定关系:矛盾否定关系、对立否定关系以及中介否定关系，能很好表示与处理这些灾害等级之间的关系.

1) 因素集U={u₁，u₂，…，u_m}:由评估指标构成，u_i表示第i个评估指标(i=1，2，…，m)；

2) 评判集V={v₁，v₂，…，v_n}:由灾害等级构成，v_j表示第j个灾害等级(j=1，2，…，n)，按照从轻到重或者从重到轻进行排列.

隶属函数是一个Fuzzy映射f:U(F(V)

建立各指标关于各等级的隶属函数分3步:

1) 根据评估指标中的数据建立单项指标u_i关于一个灾害等级v_j(j≠1，n)的隶属函数；

2) 关于单项指标u_i:与灾害等级v_j具有不同否定关系的灾害等级，由FScom集定义(定义2) 可知，只需要确定参数就可确定其隶属函数；

3) 关于单项指标u_i:由语气词作用在灾害等级v_j上得到的灾害等级，其隶属函数可由语气算子H_α表示.

在评估体系中有m个评估指标，每个评估指标有对应的n个等级，要计算一个对象对于每个指标的每个等级的隶属度，就需要建立相应的隶属函数:

1) 以zadeh模糊集及其拓展模糊集为理论基础的模糊综合评判中需要建立m×n个隶属函数；

2) 以模糊集FScom为理论基础的模糊综合评判中只需要建立m个隶属函数，但需要计算参数λ.

设对象集T={t₁，t₂，…，t_p}，求出对象t_k(k=1，2，…，p)的关于单项指标u_i(i=1，2，…，m)对于灾害等级v_j(j=1，2，…，n)在[0, 1]区间上的隶属度r_ij，由此得出对象t_k的评判矩阵R_k=(r_ij)_m×n.

权重反映各因素对于对象的重要程度，对各个因素应赋予相应的权数a_i，得到权重向量A=(a₁，a₂，…，a_m)，其中a_i≥0，a₁+a₂+…+a_m=1.

通过运算: $c_{kj} = \frac{\sum\limits_{i=1}^m a_i \cdot r_{ij}}{\sum\limits_{i=1}^m a_i \cdot (\sum\limits_{l=1}^n r_{il} -r_{ij}}) (j=1,2,\cdots,n)$ 得出对象t_k的评判集C_k={c_k1，c_k2，…，c_kn}.由最大隶属度原则，可得出该对象的灾情等级.

雾灾灾害的主要评价指标与灾害等级划分标准^[19]如下:

4个地区4次雾灾情况^[19]如下:

现对4次雾灾灾情进行评判.

5个灾害等级: “极重灾”、“重灾”、“中灾”、“小灾”、“微灾”是5个不同的模糊集，用模糊集FScom描述它们之间的关系:

1) “小灾”与“重灾”互为对立否定，“中灾”是“重灾”与“小灾”的中介否定集；

2) “极重灾”是将语气词“极”作用在“重灾”上得到的；

3) “微灾”即“微小灾”是将语气词“微”作用在“小灾”上得到的.

根据FScom集与语气算子的定义，这5个模糊集可表示为: v表示模糊集“重灾”；v^╕表示模糊集“小灾”；v^~表示模糊集“中灾”；H₄v表示模糊集“极重灾”；(H_0.25v)^╕表示模糊集“微灾”.

由此建立如下因素集和评判集:

1) 因素集U={u₁，u₂，u₃，u₄，u₅}，其中: u₁表示死亡人数，u₂表示受伤人数，u₃表示受灾面积，u₄表示大雾持续时间，u₅表示直接经济损失；

2) 评判集V={H₄v，v，v^~，v^╕，(H_0.25v)^╕}.

对于评价指标死亡人数，建立模糊集“重灾”的隶属函数为(x单位为人):

根据FScom集定义可知:模糊集“中灾”的隶属函数为v^~(x)；模糊集“小灾”是模糊集“重灾”的对立否定，其隶属函数为v^╕(x)=1-v(x).由语气算子定义可知:模糊集“极重灾”的隶属函数为: (H₄v)(x)=[v (x)]⁴；模糊集“微灾”的隶属函数为(H_0.25v)^╕(x)=1-(H_0.25v)(x)=1-[v(x)]^0.25.

对于评价指标受伤人数，建立模糊集“重灾”的隶属函数为(y单位为人):

根据FScom集定义可知:模糊集“中灾”的隶属函数为v^~(y)；模糊集“小灾”是模糊集“重灾”的对立否定，其隶属函数为v^╕(y)=1-v(y).由语气算子定义可知:模糊集“极重灾”的隶属函数为(H₄v)(y)=[v(y)]⁴；模糊集“微灾”的隶属函数为(H_0.25v)^╕(y)=1-(H_0.25v)(y)=1-[v(y)]^0.25.

对于评价指标受灾面积，建立模糊集“重灾”的隶属函数为(z单位为万km²):

根据FScom集定义可知:模糊集“中灾”的隶属函数为v^~(z)；模糊集“小灾”是模糊集“重灾”的对立否定，其隶属函数为v^╕(z)=1-v(z).由语气算子定义可知:模糊集“极重灾”的隶属函数为(H₄v)(z)=[v (z)]⁴；模糊集“微灾”的隶属函数为(H_0.25v)^╕(z)=1-(H_0.25v)(z)=1-[v(z)]^0.25.

对于评价指标大雾持续时间，建立模糊集“重灾”的隶属函数为(t单位为h):

根据FScom集定义可知:模糊集“中灾”的隶属函数为v^~(t)；模糊集“小灾”是模糊集“重灾”的对立否定，其隶属函数为v^╕(t)=1-v(t).由语气算子定义可知:模糊集“极重灾”的隶属函数为(H₄v)(t)=[v (t)]⁴；模糊集“微灾”的隶属函数为(H_0.25v)^╕(t)=1-(H_0.25v)(t)=1-[v(t)]^0.25.

对于评价指标直接经济损失，建立模糊集“重灾”的隶属函数为(w单位为万元):

根据FScom集定义可知:模糊集“中灾”的隶属函数为v^~(w)；模糊集“小灾”是模糊集“重灾”的对立否定，其隶属函数为v^╕(w)=1-v(w).由语气算子定义可知:模糊集“极重灾”的隶属函数为(H₄v)(w)=[v (w)]⁴；模糊集“微灾”的隶属函数为(H_0.25v)^╕(w)=1-(H_0.25v)(w)=1-[v(w)]^0.25.

由FScom集定义可知:要计算各指标关于模糊集“中灾”的隶属函数，需要计算模糊集“中灾”相对于“重灾”的参数λ.

下面以评价指标死亡人数为例给出λ值的计算方法，从表 1的数据可看出:对于数据x∈[0, 30]，属于“中灾”的概率为 $\frac{d(30,\, 3)}{d(30,\, 0)}=0.566 \, 7$ ，“中灾”在数值上更靠近“重灾”，所以本文取λ=Max(0.566 7，1-0.566 7)=0.566 7.

根据上述方法可得出其他各项指标等级相应的参数值，见表 3.

下面求4个地区的评判矩阵，以1号地区为例给出求评判矩阵的方法.

以指标死亡人数为例，将1号地区死亡人数15人代入(6) 式，求出关于“重灾”的隶属度:

因为v(15)=0.448 3，λ=0.566 7，根据(5) 式得出关于“中灾”的隶属度:

关于模糊集“极重灾”的隶属度(H₄v)(15)=[v(15)]⁴=0.040 4；关于模糊集“小灾”的隶属度v^╕(15)=1-v(15)=0.551 7；关于模糊集“微灾”的隶属度(H_0.25v)^╕(15)=1-(H_0.25v)(15)=1-[v(15)]^0.25=0.181 7.

类似地，可求出1号地区的其它指标:受伤人数、受灾面积、大雾持续时间、直接经济损失关于各模糊集在[0, 1]区间的隶属度，从而得到该地区雾灾的综合评判矩阵为:

取权重向量A=(0.2，0.2，0.2，0.2，0.2).

通过运算:

可得:

1号地区的评判集为C₁={0.023 3，0.187 1，0.453 0，0.557 4，0.176 4}.

用上述方法可求出其它4个地区的评判集: 2号地区的评判集C₂={0，0.005 8，0.189 3，0.828 9，0.617 8}；3号地区的评判集C₃={0.077 8，0.205 1，0.406 7，0.482 4，0.167 0}；4号地区的评判集C₄={0.365 7，0.494 6，0.379 8，0.102 9，0.033 8}.运用最大隶属度原则，划分这4次雾灾灾情等级如下:

由表 4可以直观看出: 1号、3号地区与文献[19]中用灰色关联度法得出的结论一致；对于2号、4号地区，本文方法评价的等级高于用灰色关联度法评价的等级.

由表 1与表 2可知:

1) 对于2号地区，从每一个单项指标等级上来看:死亡3人，属于中灾；受伤11人，属于小灾；受灾面积1.5万km²，属于微灾；大雾持续7h，属于小灾；直接经济损失400万元，属于小灾.从数据直观分析上来看，2号地区灾情等级应该高于微灾，本文方法得出的结果符合实际.

2) 对于4号地区，从每一个单项指标等级上来看:死亡35人，属于重灾；受伤68人，属于中灾；受灾面积8.3万km²，属于极重灾；大雾持续36h，属于极重灾；直接经济损失3 000万元，属于中灾.从数据直观分析上来看，4号地区灾情等级应该高于中灾，本文方法得出的结果符合实际.

此外，模糊集FScom的综合评判方法是基于3种否定思想与传统模糊综合评判方法所提出来的.而模糊知识中的3种否定思想具有集合基础(模糊集FScom)和逻辑基础(区分三种否定的模糊命题逻辑系统FLcom)^[20]，这3种否定关系能更深入地对自然灾害多等级间的关系进行描述与表示.因此文中提出的自然灾害灾情评估方法具有较强的理论基础.

通过上述分析，可知基于FScom集理论的自然灾害灾情评估方法是合理的、可行的.

模糊集FScom将知识中否定关系区分为:矛盾否定关系、对立否定关系以及中介否定关系.这3种否定关系能很好地对自然灾害多等级间的关系进行刻画.本文以语气算子、FScom集及其模糊综合评判为理论基础，给出一种自然灾害灾情评估模型，并将该模型应用到雾灾灾情评估中去，将所得的结果与灰色关联度法的评价结果进行比较.通过对比分析，说明该模型的评价结果更符合实际，该方法具有可行性和有效性.