定义 1 ^[3] 设映射ψ： ${{\mathbb{R}}^{+}}\to {{\mathbb{R}}^{+}}$ ，若满足以下条件：

(1) ψ是连续的；

(2) ψ非减的；

(3) ψ(x)=0⇔x=0.

则称ψ为一个改变距离的映射，Ψ为改变距离的映射族.

定义 2 ^[3] 设φ： ${{\mathbb{R}}^{+}}\times {{\mathbb{R}}^{+}}\to {{\mathbb{R}}^{+}}$ 为一个映射，若满足以下条件：

(1) φ是下半连续的；

(2) φ是非减的；

(3) φ(s，t)=0⇔s=t=0.

则称φ为一个满足性质(P)的映射，Φ为满足性质(P)的映射族.

定义 3 ^[4] 设X是非空集合，s≥1是给定的实数，设d：X×X[0，+∞)，若∀x，y，z∈X满足以下条件：

(1) d(x，y)=0⇔x=y；

(2) d(x，y)=d(y，x)；

(3) d(x，z)≤s[d(x，y)+d(y，z)].

则称(X，d)为一个b-度量空间，s称为(X，d)的系数.

注 1 当s=1时，(X，d)称为度量空间.

定义 4 ^[5] 设X是非空集合，若满足以下条件：

(1) (X，d)是一个b-度量空间；

(2) (X，≼)是半序集.

则称(X，≼，d)是一个偏b-度量空间.

定义 5 ^[3] 设(X，≼，d)是偏度量空间，给定f：X→X的映射，若∃ξ≥0和(ψ，φ)∈Ψ×Φ，使得∀x，y∈X，x≼y有

其中

则称f是偏度量空间中几乎广义C-压缩映象.

定义 6 设(X，≼，d)是偏b-度量空间，给定f：X→X的映射，若∃ξ≥0和(ψ，φ)∈Ψ×Φ，使得∀x，y∈X，x≼y有

其中

则称f是偏b-度量空间中几乎广义C-压缩映象.

注 2 当s=1时，为文献[3]中几乎广义C-压缩映象.

定理 1 设(X，≼，d)是完备偏b-度量空间，设f：X→X是非减，连续，几乎广义C-压缩映象，若存在x₁∈X，使得x₁≼fx₁，则f有不动点.

证 设X中序列{x_n}满足∀n∈ $\mathbb{N}$ ，x_n+1=fx_n，又因为x₁≼fx₁=x₂，f非减，则有x₂=fx₁≼fx₂=x₃，以此类推有

若∃n₀∈ $\mathbb{N}$ ，使得x_n0=x_n0+1=fx_n0，则x_n0是f的不动点.假设∀n∈ $\mathbb{N}$ ，x_n≠x_n+1则有

由式(1) 知∃(ξ，ψ，φ)∈[0，∞]×Ψ×Φ，∀x，y∈X，x≼y使得

则有

因此∀n∈ $\mathbb{N}$ ，由上述不等式知：

因为Φ，Ψ非减，可以得出∀n∈ $\mathbb{N}$ ，有

又因为

所以

表明∀n∈ $\mathbb{N}$ ，有

因为ψ非减，所以∀n∈ $\mathbb{N}$ ，有

即∀n∈ $\mathbb{N}$ ，有d(x_n，x_n+1)＜d(x_n-1，x_n)，因此{d(x_n，x_n+1)}递减，因为d(x_n，x_n+1)≥0，所以序列收敛于非负数a，则∀n∈ $\mathbb{N}$ ，有

即：

因此有

由此知φ(a，a)=0，即a=0，则 $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } d\left( {{x_n},{x_{n + 1}}} \right) = 0$ .

下证序列{x_n}是柯西序列，假设序列{x_n}不是柯西列，∃ε＞0，序列{p(n)}_n=1^∞和序列{q(n)}_n=1^∞，使得∀n∈N，当p(n)＞q(n)＞n时，有

则有

则有

由b-度量空间不等式的性质知

由以上两式可知

同理可知

又因为

同样有

则有

由式(1) 知

其中

则有

则 $\phi \left( {\frac{\varepsilon }{s},\frac{\varepsilon }{s}} \right) = 0$ ，故 $\frac{\varepsilon }{s} = 0$ ，ε=0与ε＞0矛盾，所以序列{x_n}是柯西列.

因为X是完备的，所以∃z∈X，当n→∞时，x_n→z，由f的连续性可知，当n→∞时，x_n+1=fx_n=fz，由极限的唯一性可知fz=z.则f有不动点.

在定理1中，当s=1时为文献[3]中定理2. 5

推论1 设(X，≼，d)是完备偏度量空间，设f：X→X是非减，连续，几乎广义C-压缩映象，若存在x₁∈X，使得x₁≼fx₁，则f有不动点.