称方程：

为S-K方程，其中δ是正常数，λ是任意常数.去掉S-K方程中的u_x(x，t)u(x，t)项，把S-K方程线性化后，再添上项，得到一个类S-K方程：

其中μ是正常数.当μ足够小时，该方程和线性化的S-K方程几乎有相同的性质；当$ \frac{\mathit{\lambda }}{\mathit{\mu }}$为正数，且足够大时，方程不稳定.本文考虑不稳定情况下，边界控制系统的稳定问题，即考虑类S-K方程的如下控制系统：

其中：U₁(t)和U₂(t)是控制输入，$ \frac{\mathit{\lambda }}{\mathit{\mu }}$是足够大的正数.当输入为零时，信号u(x，t)是不稳定的，我们的目标是在L₂范数意义下实现u(x；t)的指数稳定.

为设计出两个控制器，我们引入一个新的变量关系

从(2)，(3)和(6)式，得到新的边界条件

视(6)式为关于u(x，t)的ODE方程，并注意到边界条件(2)，解方程得到

在(8)式中，令x=1，并利用(4)式，u(0，t)可以表示为

引入常数：

对(6)式关于t求一阶导数，关于x求二阶导数，得到一个关于w(x，t)的偏微分方程：

因此，系统(1)-(5)化为如下新系统：

对于系统(11)-(13)，为了采用后推设计，我们需要使偏微分方程满足“严格反馈”的形式.为此，需要消除(11)-(13)中的积分项.所以设计出第一个状态反馈控制器U₁(t)：

将(9)和(14)式带入(8)式得

这就意味着在状态反馈控制器(14)的作用下，如果系统(11)-(13)是指数稳定的，那么系统(1)-(5)也是指数稳定的.

在控制器(14)的作用下，系统(11)-(13)变为

为设计第二个状态反馈控制器U₂(t)，引入一种类似后推法的变换：

其中k(x，y)∈C²(Ω)，Ω={(x，y)|0≤y≤x≤1}.变换(19)是可逆的^[4].

考虑目标系统：

其中c为设计参数，它可以使系统达到预期的稳定速度.系统(20)-(22)在范数意义下是指数稳定的，它的稳定性可以通过分析Lyapunov函数的方法来证明.这里我们给出一个Lyapunov函数：

现在考虑运用(19)式将系统(16)-(18)映射到系统(20)-(22).为满足边界条件(22)，由(18)，(19)和(22)式，可取状态反馈控制器U₂(t)：

由于k(x，y)∈C²(Ω)，变换式(19)是有界可逆的，因此系统(11)-(13)与控制器(14)和(23)具有与系统(20)-(22)相同的稳定性.从(14)式，我们可以看到，如果系统(11)-(13)实现指数稳定，系统(1)-(5)也达到指数稳定.

引入下面记号：

对(19)式，关于t求一阶导数，关于x求二阶导数，并将结果带入(20)-(22)式，并利用(16)-(18)式得出：

由于w(x，t)需要满足(24)-(25)式，所以核函数k(x，y)∈C²(Ω)必须满足如下双曲型偏微分方程：

从(26)-(28)式我们可以得出核函数k(x，y)∈C²(Ω)满足：

使用文献[7]中递归估计的方法，核函数k(x，y)∈C²(Ω)可通过如下关系式得出：

接下来，我们将证明(30)-(33)式在Ω中是绝对且一致收敛的.定义相邻两递归项的差值为：

然后，从(30)-(33)式我们可以得到：

同时，(30)式转换为下列公式：

现在，对Δk_n(x，y)进行估计得出：

因此在区域Ω内级数(37)绝对且一致收敛.因此，级数(30)-(33)在区域Ω内绝对且一致收敛.级数(30)-(33)的极限函数k(x，y)是唯一存在的，且二阶连续可微，并满足：

控制器(14)和(23)需要测量w(x，t)或u(x，t)在x∈(0，1)内的值.在这一节中，我们通过设计观测器来避免测量w(x，t)或u(x，t)在x∈(0，1)内的值.

在我们开始设计观测器之前，利用(9)式把系统(11)-(13)化为如下形式：

应该注意的是，这种形式下的控制器U₁(t)和U₂(t)并没有如(14)和(23)式那样取定，而是将在下一节给出.

接下来，设计系统(41)-(43)的观测器设计.当只有边界值u(0，t)和u_xx(0，t)可以测量时，从(6)式得出，w(0，t)的值也可测量.参照文献[5]设计如下观测器：

其中p(0，0)和p_y(x，0)通过在区域Ω={(x，y)|0≤y≤x≤1}内求解获得.

定义观测误差：

从(41)-(43)式中减去(44)-(46)式，可得观测器误差系统：

引人变换：

其中P₁是Volterra变换，p(x，y)∈C²(Ω).变换(51)的可逆性在文献[4]中已得到证明，且把系统(48)-(50)变换为系统：

其中c₁是正常数.系统(52)-(54)在L₂意义下指数稳定.

将(51)式对t求导，再对x二阶求导，然后将结果代入(48)-(50)式，并利用(52)-(54)式可以得到：

由于(55)-(56)对所有的$ \mathit{\tilde \varepsilon }$(x，t)成立，因此核函数p(x，y)必须满足以下偏微分方程：

利用文献[7]中的递归估计方法，可以通过以下关系：

求解核函数p(x，y)∈C²(Ω).类似证明k(x，y)在Ω中是绝对且一致收敛的方法，可以证明p(x，y)在Ω中是绝对且一致收敛的.

因为p(x，y)∈C²(Ω)，变换式(51)是有界且可逆的.因此，观测误差系统(48)-(50)与(52)-(54)具有一样的L₂收敛性质.

式(44)-(46)中的观测增益p(0，0)和p_y(x，0)由p(x，y)∈C²(Ω)得出，并且可得到p(0，0)的精确值如下：

将控制输入(14)和(23)的状态替换为观测器(44)-(46)的状态估计，得到输出反馈控制器如下：

易得如下定理1.

定理1  考虑由系统(1)-(5)、观测器(44)-(46)、控制器(64)和(65)构成的闭环系统，对于任何初始数据(w(x，0)，$ \mathit{\hat w}$(x，0))∈C²(0，1)，闭环系统的解(w(x，t)，$ \mathit{\hat w}$(x，t))∈C^2，1((0，1)×(0，∞))在L₂范数意义下是指数稳定的.