混合广义伽马分布的渐进性质

刘国涛; 陈守全

doi:10.13718/j.cnki.xdzk.2018.01.013

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混合广义伽马分布的渐进性质

西南大学数学与统计学院, 重庆 400715

基金项目: 国家自然科学基金项目(11171275, 11571283)

详细信息

作者简介:
刘国涛(1991-), 女, 重庆北碚人, 硕士研究生, 主要从事极值统计分析的研究 .

通讯作者: 陈守全, 副教授, 硕士研究生导师

中图分类号: O211.4

The Asymptotic Behaviors of Mixed Generalized Gamma Distributions

School of Mathematics and Statistics of Southwest University, Chongqing 400715, China

Abstract: In this note, we discuss the asymptotic behaviors of independent and identically distributed (i.i.d.) extremes for mixed generalized gamma distributions (MGGD) and their pointwise convergence rate.

Key words:

混合广义伽马分布的渐进性质

通讯作者: 陈守全, 副教授, 硕士研究生导师

作者简介: 刘国涛(1991-), 女, 重庆北碚人, 硕士研究生, 主要从事极值统计分析的研究
西南大学数学与统计学院, 重庆 400715

收稿日期: 2016-10-22

基金项目: 国家自然科学基金项目(11171275, 11571283)

关键词:

摘要: 讨论了独立同混合广义伽马分布随机变量序列的规范化最大值的极限分布及其点点收敛速度.

全文HTML

设$\{Y_{n}，n≥1\}$为独立同分布随机变量序列(简记$i. i. d.$随机序列)，其分布函数为$F(x)$.令$M_{n}=\text{max}\{Y_{1}，…，Y_{n}\}$，由经典极值理论知，如果存在规范常数$a_{n}＞0，b_{n}∈\mathbb{R}$，及对非退化的分布函数$G(x)$，使得

则G(x)必为极值类型分布，此时称F属于极值类型分布G的吸引场，记为F∈D(G)，其中规范常数a_n，b_n的确定方法可参看文献[1-2].

关于广义伽马分布的研究已有很多研究成果.文献[3]对伽马模型进行概括得出三参数广义伽马模型，广义伽马分布(简称为GGD)的概率密度函数为：

其中：β＞0，λ＞0，c＞0，且Γ(·)为伽马函数.文献[4]得到了广义伽马分布的Mills比率：

并证明了广义伽马分布(GGD)的极值分布属于Λ吸引场，得到了其极值分布的点点收敛速度.关于广义伽马分布的更多性质与应用可参见文献[5-6].

设X₁，X₂，…，X_r为服从广义伽马分布的独立随机变量序列，其中随机变量X_i的密度函数和分布函数分别为f_i(x)和F_i(x)，即F_i(x)~GGD_i，i=1，2，…，r，定义一个新的随机变量Z为

其中p_i≥0，1≤i≤r且$∑\limits^{r}_{i=1}p_{i}=1$.由此，通过定义易得Z的分布函数为

则称随机变量Z服从混合广义伽马分布(简记MGGD)，记F~MGGD.本文将进一步讨论混合广义伽马分布的渐进性质.

1. 极限分布

下面将给出混合广义伽马分布(MGGD)的极值类型分布.

定理1设{Z_n，n≥1}为独立同分布随机变量序列，其分布函数F(x)定义如(4)式，即F(x)~MGGD.令f_i(x)和F_i(x)分别为广义伽马分布的密度函数和分布函数，即F_i(x)~GGD(λ_i，β_i，c_i)，则对β_i＞0，λ_i＞0，c_i＞0，有

其中，规范常数

和

证首先令r=2，F(x)=p₁F₁(x)+p₂F₂(x)，其中p₁+p₂=1，则由(3)式得

设

则

易知

(Ⅰ)当x→∞，c₁＜c₂，λ₁，λ₂，β₁，β₂＞0时，有H(x)→0；

(Ⅱ)当x→∞，c₁=c₂，λ₁＜λ₂，β₁，β₂＞0时，有H(x)→0；

(Ⅲ)当x→∞，c₁=c₂，λ₁=λ₂，β₁＞β₂时，有H(x)→0.

因此

当r有限时，对此类似可以得到

其中1≤k≤r，且

(ⅰ)若c_k=min{c₁，c₂，…，c_r}只有一个值时，则λ_k，β_k和p_k分别为F_k(x)对应的值；

(ⅱ)若c_{k_i}=min{c₁，c₂，…，c_r}有多个值，其中i=1，2，…，a，且a＜r，但λ_{k_i}=min{λ_k₁，λ_k₂，…，λ_{k_a}}只有一个值时，则β_{k_i}，p_k为F_{k_i}(x)对应的值；

(ⅲ)若c_{k_i}=min{c₁，c₂，…，c_r}有多个值，其中i=1，2，…，a，a＜r，并且λ_{k_j}=min{λ_k₁，λ_k₂，…，λ_{k_a}}也有多个值，其中j=1，2，…，b，b＜a，则β_{k_l}=max{β_k₁，β_k₂，…，β_{k_b}}其中l＜b，p_k分别为F_{k_l}(x)对应的值.设

则当t→∞时

由文献[4]中定理1.1可得F∈D(Λ)，则有

规范常数a_n和b_n可由以下方程解得

其中u_n(x)=a_nx+b_n.类似文献[2]中定理1. 5. 3，易得(6)和(7)式.

定理证毕.

2. 收敛速度

下面讨论混合广义伽马极值分布的点点收敛速度.

定理2设{Z_n，n≥1}为独立同分布随机变量序列，其分布函数F(x)在(4)式中给出，即F(x)~MGGD.当n→∞时，对β_i＞0，λ_i＞0，c_i＞0，有

其中，规范常数

和

证由定理1可得F∈D(Λ).设

则

且

由式(2)和式(3)，有

令

当n→∞时，有

因此，由文献[2]中的定理2.4.2可知(10)式成立.

定理2证毕.

参考文献 (7)

[1]	LEADBETTER M R, LINDGREN G, ROOTZEN H. Extremes and Related Properties of Random Sequences and Processes [M]. New York: Springer, 1983: 5-7.
[2]	RESNICK S. Extreme Value, Regular Variation, and Point Processes [M]. New York: Springer, 1987: 26-67.
[3]	STACY E W. A Generalization of Gamma Distribution [J]. Annals of Mathematics Statistics, 1962, 33(3): 1187-1192. doi: 10.1214/aoms/1177704481
[4]	doi: https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S1226319215000757 DU L, CHEN S. Asymptotic Properties for Distributions and Densities of Dxtremes from Generalized Gamma Distribution [J]. Journal of the Korean Statistical Society, 2015, 45(2): 188-198.
[5]	doi: https://www.researchgate.net/publication/224584053_Computing_Maximum-Likelihood_Parameter_Estimates_Of_The_Generalized_Gamma_Distribution_By_Numerical_Root_Isolation WINGO D R. Computing Maximum-Likelihood Parameter Estimates of the Generalized Gamma Distribution by Numerical Root Isolation [J]. IEEE Transactions on Reliability, 1987, 36(5): 586-590.
[6]	潘立先. 四参数广义伽马分布函数拟合居民收入分布[D]. 成都: 西南财经大学, 2014.
[7]	doi: https://www.researchgate.net/publication/243050473_Tail_Behavior_of_the_General_Error_Distribution PENG Z, TONG B, NADARAJAH S. Tail Behavior of the General Error Distribution [J]. Econometrica, 2009, 38(11): 1884-1892.

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