设E={x₁，x₂，…，x_N}是一个集合，则E上的模糊集，μ是一个映射μ：E→[0, 1]. E上模糊集的全体记为F(E). ∀μ，ν∈F(E)，有下列概念和记法：

(1) suppμ={x∈E|μ(x)＞0}称为μ的支撑集；

(2) 若suppμ=ϕ(空集)，则称为模糊空集；

(3) m(μ)=inf{μ(x)|x∈suppμ}，R⁺(μ)={μ(x)|μ(x)＞0}；

(4) ∀r∈[0，1]，记C_r(μ)={x∈E|μ(x)≥r}，称为μ的r-水平割集；

(5) μ∧ν=min{μ，ν}称为μ和ν的交，μ∨ν=max{μ，ν}称为μ和ν的并；

(6) 若∀x∈E，有μ(x)≤ν(x)，则称模糊集μ被包含于模糊集ν中，记为μ≤ν.如果μ≤ν且存在x∈E使得μ(x)＜ν(x)，则称模糊集μ被真包含于模糊集ν中，记为μ＜ν.

容易证明：μ≤ν(∀r∈(0，1]，都C_r(μ)⊆C_r(ν)；

(7) ∀x∈E，∀λ∈[0, 1]，符号“x^λ”表示模糊集.

许多文献也称“x^λ”为“模糊点”或“模糊数”.

(8) ∀μ∈F(E)，∀a∈suppμ，符号“μ\\a”表示模糊集：

(9) ∀μ₁，μ₂∈F(E)，∀x′∈suppμ₂，定义模糊集μ₁||_μ2e′为：

(10) 如果∀μ∈F(E)，$ \left| \mu \right| = \sum\limits_{x \in E} {\mu \left( x \right)} $称为模糊集μ的势；

(11) 如果∀μ∈F(E)，suppμ={x₁，x₂，…，x_k}，μ(x_i)=λ_i∈(0，1](∀x_i∈suppμ，i=1，2，…，k)，根据模糊集合的分解定理^[2]有

定义1^[3]  设E={x₁，x₂，…，x_N}是非空有限集，I是E的子集族.若I满足下列条件：

(1) ϕ∈I；

(2) 若X∈I，Y⊆X，则Y∈I；

(3) 若X，Y∈I，|Y|=|X|+1，则有x∈Y\X，使得X∪{x}∈I.

则称对偶(E，I)为E上的一个拟阵，记为M=(E，I). ∀X⊆E，如果X∈I，则称X为M的独立集，否则称为M的相关集. M的最大(指集合的势)独立集，称为M的基. M的最小(指集合的势)相关集，称为M的圈.如果C⊆E是M的圈，并且|C|=1，则称C是M的环.

定理1^[3](增广定理)  设M=(E，I)是拟阵，X，Y∈I且|X|＜|Y|，则存在Z⊆Y\X，使得

且

定理2^[3](基公理)  设E是有限非空集合，B是E的非空子集族. B是关于E的一个拟阵的基集(全体基组成的集合)当且仅当B满足下列条件：

(1) 若B₁，B₂∈B，则

(2) 若B₁，B₂∈B，x∈B₁，则存在y∈B₂，使

定义2^[4]  设E={x₁，x₂，…，x_N}是非空有限集，l⊆F(E)是一个满足下列条件的非空模糊集族：

(1) (继承性)若μ∈l，ν∈F(E)，v≤μ，则ν∈l；

(2) (交换性)若μ，ν∈l，|suppμ|＜|suppν|，则存在ω∈l使

(a) μ＜ω≤μ∨ν；

(b) m(ω)≥min{m(μ)，m(ν)}.

则称对偶M=(E，l)是E上的模糊拟阵，l称为M的独立模糊集族. ∀μ∈F(E)，如果μ∈l，则称μ为M的独立模糊集，否则(即μ∈F(E)\l)称为M的相关模糊集. M的最大(指模糊集合的势)独立模糊集，称为M的模糊基.如果μ是M的相关模糊集，但∀a∈suppμ都使μ\\a∈l，则称μ是M的模糊圈^[5].如果μ是M的模糊圈且|suppμ|=1，则称μ是M的模糊环.

定理3^[4]  设M=(E，l)是模糊拟阵，∀r∈(0，1]，令

则M_r=(E，I_r)是E上的拟阵.

定理4^[4]  假设和符号同定理3，则有一个有限实数列r₀＜r₁＜…＜r_n，使

(1) r₀=0，r_n≤1；

(2) 当0＜r≤r_n时，I_r≠ϕ；当r＞r_n时，I_r=ϕ；

(3) 若∀s，t∈(r_i，r_i+1)，则I_s=I_t(0≤i≤n－1)；

(4) 若r_i＜s＜r_i+1＜t＜r_i+2，则I_s⊃I_t(0≤i≤n－2).

我们称序列0=r₀＜r₁＜…＜r_n≤1为M的基本序列.

对1≤i≤n，设r_i=(r_i－1+r_i)/2，称子拟阵序列

为M的导出拟阵序列.若M_ri=M_ri(i=1，2，…，n)，则称M是闭模糊拟阵.

定理5^[6]  设M=(E，l)是模糊拟阵，则M是闭模糊拟阵的充要条件是∀μ∈F(E)，都有M的一个模糊基ν，使得μ≤ν.

定义3^[1]  设M=(E，l)是模糊拟阵，0=r₀＜r₁＜…＜r_n≤1为M的基本序列，导出拟阵序列为

其中，1≤i≤n，r_i=(r_i－1+r_i)/2.如果C⊆E是M_ri(i=1，2，…，n)的任何非环圈，那么C也是M_r1的非环圈，则称M是圈好的模糊拟阵. μ，ν表示M的任何两个模糊基，如果μ=ν⇔suppμ=suppν，则称模糊拟阵M是基好的模糊拟阵.

定义4^[1]  设M=(E，l)是闭模糊拟阵，而且也是圈好模糊拟阵，则称M是准模糊图拟阵.

定理6^[1]  设M=(E，l)是闭模糊拟阵，0=r₀＜r₁＜…＜r_n≤1为M的基本序列，导出拟阵序列为

∀μ∈F(E)，则μ是M的一个模糊基⇔suppμ=C_r1(μ)是M_r1的基，C_ri(μ)是C_ri－1(μ)在M_ri中的极大独立子集(i=1，2，…，n)，而且R⁺(μ)⊆{r₁，r₂，…，r_n}.

定理7^[1]  设M=(E，l)是闭模糊拟阵，B为其模糊基集，则下列论述等价：

(1) M是基好的；

(2) ∀μ₁，μ₂∈B，若suppμ₁∩suppμ₂≠ϕ，则对∀e∈suppμ₁∩suppμ₂，都有μ₁(e)=μ₂(e)；

(3) M是圈好的.

定理8^[1](准模糊图拟阵的模糊基公理)  设E是有限集，B⊆F(E)，则B是某准模糊图拟阵的模糊基集⇔B满足下列条件：

(1) ∀μ₁，μ₂∈B，若μ₁≤μ₂，则μ₁=μ₂；

(2) ∀μ₁，μ₂∈B，都有|suppμ₁|=|suppμ₂|；

(3) ∀μ₁，μ₂∈B，任e∈suppμ₁，都有e′∈suppμ₂使(μ₁\\e)||_μ2e′∈B.

受前面定理7中(2)的启发，是否可以通过确定有限非空集合E中每个元素在模糊基中的模糊隶属度来描述准模糊图拟阵的模糊基公理？下面，我们就来讨论这个问题.

定义5  设M=(E，l)是模糊拟阵，∀e∈E，若有M的模糊基μ，使e∈suppμ，令λ_e=μ(e).如果对M的任意模糊基ν，只要e∈suppν，都有ν(e)=λ_e，则我们称模糊拟阵M具有元好性.

根据定理7的(2)，很容易得到以下命题：

命题1  设M=(E，l)是准模糊图拟阵，则M具有元好性.

如果M是具有元好性的闭模糊拟阵，那么M的模糊基由其支撑集唯一确定.以下这个定理，可以看作是具有元好性的闭模糊拟阵模糊基结构定理.

定理9  设M=(E，l)是一个不含模糊环的具有元好性的闭模糊拟阵，0=r₀＜r₁＜…＜r_n≤1为其基本序列，E={e₁，e₂，…，e_m}，则有实数多重(即A中的元素可能有重复)集合A={a₁，a₂，…，a_m}⊆{r₁，r₂，…，r_n}和映射f：E→A，使对M的任何模糊基μ，都有

且

证  对∀e_i∈E，由于M没有模糊环，因此，必有μ∈l，使e_i∈suppμ.又由M是闭模糊拟阵，因此，有M的模糊基ν，使μ≤ν.那么，更有e_i∈suppν.此时，令a_i=ν(e_i)，由定理6，a_i∈{r₁，r₂，…，r_n}.这样得到实数多重集合A={a₁，a₂，…，a_m}⊆{r₁，r₂，…，r_n}.再构造映射f：E→A，使f(e_i)=a_i(i=1，2，…，m).

∀e_i∈E，由元好性知，对M的任何模糊基ν，只要e_i∈suppν，都有ν(e_i)=f(e_i)=a_i.

因此，对M的任何模糊基μ，若suppμ={e₁，e₂，…，e_h}，都有

下面，我们利用模糊拟阵的元好性来得到本文的两个主要结论.

定理10  设M=(E，l)是一个闭模糊拟阵，则M是准模糊图拟阵⇔M具有元好性.

证  必要性就是命题1.为了证明充分性，我们需要证明M具有圈好性.

设0=r₀＜r₁＜…＜r_n≤1为M的基本序列，其导出拟阵序列为

反证，假设M不具有圈好性.即存在M_ri=(E，I_ri)(1＜i≤n)的非环圈C⊆E，使C不是M_r1=(E，I_r1)的非环圈.由于

因此，C也不能是M_r1的其他模糊相关集，即C∈I_r1.

根据定理1，可将C扩充为M_r1的基B⊇C.由于C∈I_r1，C∉I_ri以及I_ri⊂I_r1，因此有k∈{1，2，…，i－1}，使当k≥j(j=1，…，k)时，C∈I_rj，而C∉I_rk+1.又由I_ri⊆I_rk+1，C是M_ri的非环圈，因此，C也是M_rk+1的非环圈.

由B⊇C，可取B的在M_r2中的包含C的极大独立子集A₂，取A₂的在M_r3中的包含C的极大独立子集A₃，…，取A_k－1的在M_rk中的包含C的极大独立子集A_k；由于C是M_rk+1的非环圈，因此，A_k⊇C在M_rk+1中的极大独立子集至少有两个A_k+1′和A_k+1″(A_k+1′≠A_k+1″).分别取A_k+1′和A_k+1″在M_rk+2中的极大独立子集A_k+2′和A_k+2″，…，分别取A_n－1′和A_n－1″在M_rn中的极大独立子集A_n′和A_n″.构造模糊集：

由于

因此

根据定理6，μ₁，μ₂都是M的模糊基.取e∈A_k+1′\A_k+1″，则根据μ₁，μ₂的构造知

这是因为e∈A_k+1′\A_k+1″，e∈C⊆A_k.这与M具有元好性矛盾.

故M具有圈好性.即M是准模糊图拟阵.

下面，我们利用准模糊图拟阵的元好性来得到准模糊图拟阵的有一个新的模糊基公理.

定理11(准模糊图拟阵的新模糊基公理)  设E是一个非空有限集，Ω⊆F(E)，B={suppμ⊆E|∀μ∈Ω}，则Ω是某个准模糊图拟阵的模糊基集⇔Ω具有下列性质：

(1) Ω≠ϕ；

(2) ∀μ₁，μ₂∈Ω，若suppμ₁∩suppμ₂≠ϕ，则∀e∈suppμ₁∩suppμ₂，都μ₁(e)=μ₂(e)；

(3) ∀B₁，B₂∈B，都|B₁|=|B₂|.而且∀x∈B₁，都有y∈B₂，使(B₁\{x})∪{y}∈B.

证  首先证明必要性.设M=(E，l)是一个准模糊图拟阵，基本序列为0=r₀＜r₁＜…＜r_n≤1，

为其导出拟阵序列，Ω⊆F(E)是M的模糊基集.

(1) 由E非空，因此，l非空.由定理5知，Ω≠ϕ.

(2) 由于准模糊图拟阵具有元好性，因此，∀μ₁，μ₂∈Ω，若

则对于∀e∈suppμ₁∩suppμ₂，都有μ₁(e)=μ₂(e).

(3) 由于B={suppμ⊆E|∀μ∈Ω}，又由导出拟阵序列性质知，B组成M_r1=(E，I_r1)的基集.由拟阵的基公理和定理3知本定理的(3)成立.

下面来证明定理的充分性.我们证明Ω满足定理8的3个条件.

(1) ∀μ₁，μ₂∈Ω，由已知条件(3)知：

(2) ∀μ₁，μ₂∈Ω，若μ₁≤μ₂，则由suppμ₁⊆suppμ₂和|suppμ₁|=|suppμ₂|知，suppμ₁=suppμ₂.再由已知条件(2)知，μ₁=μ₂.

(3) ∀μ₁，μ₂∈Ω，∀x∈suppμ₁.由已知条件(3)，有y∈suppμ₂，使得

因此，必有ω∈Ω，使suppω=(suppμ₁\{x})∪{y}.我们下面证明ω=(μ₁\\x)||_u2y.

由suppω=(suppμ₁\{x})∪{y}知，ω的支撑集由(μ₁\\x)的支撑集和{y}组成.因此，根据已知条件(2)，∀e∈suppω，当e∈supp(μ₁\\x)时，ω(e)=(μ₁\\x)(e)；当e=y时，由y∈suppμ₂知，

所以，

以上证明说明Ω满足定理8的3个条件.即Ω是E上某个准模糊图拟阵的模糊基集.

定理8和定理11的不同，一是定理8强调了元好性[即定理中的(2)]，二是将定理8的模糊基交换性[定理8的(3)]改为了普通拟阵的基交换性[定理11中(3)的后半部分].

本文通过定义模糊拟阵的“元好”概念，找到了具有元好性的闭模糊拟阵模糊基结构定理；证明了“元好”是闭模糊拟阵为准模糊图拟阵的充要条件；通过元好性，给出了准模糊图拟阵的又一个模糊基公理.这些结论将丰富模糊拟阵理论，促进准模糊图拟阵的研究.