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本文将在周期Sobolev空间中研究如下Ostrovsky，Stepanyams和Tsimring方程[1]的初值问题
其中：u=u(x，t)是未知函数，
$\mathbb{T}\rm{=}\frac{\mathbb{R}}{2\pi \mathbb{Z}} $ ，η＞0，H表示Hilbert变换OST方程是一类具耗散项的色散波方程，其中uxxx是色散项，-η(H(ux)+H(uxxx))是耗散项.大量的数学物理模型是由耗散色散方程来描述的，例如在研究含气泡的液体流动以及弹性管道中的液体流动问题[2]中提出的Korteweg-de Vries Burgers方程
在研究流体力学中各种长波问题[3-4]时得到的Benney-Lin方程
在研究流体和等离子体湍流问题[5]时出现的Chen-Lee方程
等.这些方程得到了许多学者的关注，已经取得了大量的研究成果[6-10].
对OST方程的研究，目前主要是在通常的Sobolev空间
${{H}^{s}}\left( \mathbb{R} \right) $ 中进行的.如文献[11]在${{H}^{s}}\left( \mathbb{R} \right)\left( s>\frac{1}{2} \right) $ 中证明了(1)式局部解的适定性，在${{H}^{s}}\left( \mathbb{R} \right)\left( s\ge 1 \right) $ 中证明了整体解的适定性; 文献[12]改进了以上结果，在${{H}^{s}}\left( \mathbb{R} \right)\left( s\ge 0 \right) $ 中得到了局部解的适定性，在${{L}^{2}}\left( \mathbb{R} \right) $ 中得到了整体解的适定性; 文献[13-14]进一步把局部适定性结果推广到${{H}^{s}}\left( \mathbb{R} \right)\left( s>-\frac{5}{4} \right) $ ; 文献[15]最终得到了关于局部适定性的最好结果，在$ {{H}^{s}}\left( \mathbb{R} \right)\left( s>-\frac{3}{2} \right)$ 中证明了OST方程局部解的适定性，同时在$ {{H}^{s}}\left( \mathbb{R} \right)\left( s < -\frac{3}{2} \right)$ 中找到一个反例，说明了局部解是不适定的.而在周期Sobolev空间${{H}^{s}}\left( \mathbb{T} \right) $ 中局部解和整体解的适定性结果，至今未见相关报道.本文将在
${{H}^{s}}\left( \mathbb{T} \right) $ 中研究方程(1)的局部适定性问题.通过计算方程(1)中的线性估计和非线性估计，并构造一类新的辅助空间XTs，利用XTs中的先验估计和压缩映射定理，在Sobolev空间${{H}^{s}}\left( \mathbb{T} \right)\left( s>-\frac{3}{2} \right) $ 中证明了局部解的适定性.主要结论如下：定理1 如果
$s>-\frac{3}{2} $ ，那么对任意的ψ∈${{H}^{s}}\left( \mathbb{T} \right) $ ，存在$T=T\left( \parallel \psi {{\parallel }_{{{H}^{s}}\left( \mathbb{T} \right)}} \right) $ ＞0使得方程(1)有唯一解u(t)，满足u∈C([0，T];${{H}^{s}}\left( \mathbb{T} \right) $ )∩XTs.另外，方程的解映射Φ：${{H}^{s}}\left( \mathbb{T} \right) $ $\mapsto $ C([0，T];${{H}^{s}}\left( \mathbb{T} \right) $ )∩XTs，ψ$\mapsto $ u是光滑的.这里Banach空间XTs的范数是
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考虑与方程(1)等价的积分方程
其中S(t)ψ通过半群S(t)来表示，即
引理1 如果a＞0，η＞0，0＜t≤
$\frac{a}{9\eta } $ ，那么这里
证 作变量替换t|k|3=x3，可得如下不等式
令
其中x≥0，则当x→∞时，g(x)→0，并且
因此，g(x)在x0处取得最大值，引理得到证明.
引理2 如果a≥0，η＞0，t＞0，那么
证 当k≥2时，有
所以
令
注意到
易知，当
$x=\sqrt[3]{\frac{2a}{3\eta t}} $ 时，h(x)取得最大值.如果$\sqrt[3]{\frac{2a}{3\eta t}}\le 1 $ ，那么在[1，∞)上h(x)单调递减.利用变量替换y=ηx3t可以得到如果
$\sqrt[3]{\frac{2a}{3\eta t}}>1 $ ，那么h(x)在$\left[1, \sqrt[3]{\frac{2a}{3\eta t}} \right) $ 上单调递增，在$\left[\sqrt[3]{\frac{2a}{3\eta t}}, \infty \right) $ 上单调递减.与上式类似，有合并以上两种情况，并取平方根，引理得证.
引理3(线性估计) 如果0＜T＜1，s∈
$ \mathbb{R}$ ，ψ∈${{H}^{s}}\left( \mathbb{T} \right) $ .那么进一步，如果s＜0，则
这里
${{\mathit{\Psi }}_{s, \rm{ }\eta }}\left( t \right)=\left( 1+{{x}_{0}}{{\left( t \right)}^{|s|}} \right){{\rm{e}}^{\eta \left( {{x}_{0}}\left( t \right){{t}^{\frac{2}{3}}}-x_{0}^{3}\left( t \right) \right)}} $ 是一个定义在[0，1]上的增函数，x0(t)是由引理1定义的.证 因为对一切k∈
$\mathbb{Z} $ ，有故
即(4)式成立.注意到当t∈[0，T]时，下列不等式成立
因此，当s＜0时，有
应用引理1，(5)式得证.
引理4(非线性估计) 如果
$-\frac{3}{2} $ ＜s≤0，0＜T≤1，t∈[0，T]，那么证 当s＜0时，对一切非零整数k，有
${{\left( 1+{{k}^{2}} \right)}^{\frac{s}{2}}}\le |k{{|}^{s}} $ .利用Minkowski不等式，得Young不等式表明
由引理2得
将(7)，(8)式代入(6)式得到
同理可得
合并(9)，(10)式，引理得到证明.
在正指数Sobolev空间中，与引理4类似，有如下的非线性估计.
引理5 如果s≥0，0＜T≤1，t∈[0，T]，那么
证当s≥0时，
${{H}^{s}}\left( \mathbb{T} \right) $ 嵌入L2($\mathbb{T} $ ).对m，n∈L2($\mathbb{T} $ )，下列等式成立根据下列Peetre不等式
x， y， μ是任意实数， 可以得到
合并上述结论，并利用Young不等式，有
根据引理2和(11)式，有
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本节要证明初值问题(1)在
${{H}^{s}}\left( \mathbb{T} \right)\left( s>-\frac{3}{2} \right) $ 中是局部适定的.为此，利用积分方程(2)构造一个压缩映射，在合适的空间M中，根据引理4和引理5对非线性项进行双线性估计来得出结论.定理1的证明 对0＜T≤1，当
$-\frac{3}{2} $ ＜s＜0时，取M=XTs; 当s≥0时，取M=C([0，T];${{H}^{s}}\left( \mathbb{T} \right) $ ).下面分3步来证明结论.1) 解的存在性.当ψ∈
${{H}^{s}}\left( \mathbb{T} \right) $ ，s＞$-\frac{3}{2} $ 时，定义映射由引理3-5，存在一个常数C=C(η，s)，使得对任意的u，v∈M，有
其中，当
$-\frac{3}{2} $ ＜s＜0时，当s≥0时，
下面取M的一个子集M(d)=u∈M：‖u‖M≤d，d=2C
$ \parallel \psi {{\parallel }_{{{H}^{s}}\left( \mathbb{T} \right)}}$ .当$0 <T\le \text{min}\{1,\text{ }{{\left( 4Cd \right)}^{-\frac{1}{g(s)}}}\} $ 时，(12)，(13)式表明Ψ是完备度量空间M(d)上的压缩映射.于是，由压缩映射原理，积分方程(2)在M(d)上存在唯一解u，并且u满足初始条件u(0)=ψ.2) 连续依赖性.假定初值ψ1，ψ2对应的解是u1，u2，则
由引理3-5，当0＜T≤min{T1，T2}时
这就表明
3) 唯一性.假定u，v是方程(2)对应于初值ψ的两个解，则
取
由(14)式在[0，T1]上得到u≡v，重复这个过程，可以把唯一性结果延拓到[0，T].
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