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本文考虑如下非局部问题弱解的存在性和多重性：
其中
$ \mathit{\Omega } \subset {{\mathbb{R}}^N}\left( {N = 1, 2, 3} \right) $ 是光滑有界域，常数a，b＞0，参数λ＞0，f(x，u)是连续函数.当b≤0时关于问题(1)的成果相当广泛，如文献[1]及其参考文献.自文献[2]利用度理论和不动点定理获得两点边值问题当λ→λ1-(这里λ1是问题-u"=λu的第一特征值)时至少3个解的存在性后，关于近共振的结果被推广到各种方程和系统中，如文献[3-4]及其引用文献.另外，对问题(1)，当满足
时，文献[5]通过变分方法获得至少存在1个非平凡非正解和1个非平凡非负解，基于文献[5]，文献[6]给fμ(x)以适当假设，得出f(x，u)=fμ(x)|u|p-2u(1＜p＜2，N=3)时至少存在2个正解；文献[7]用山路引理得出f(x，u)=μup(1＜p＜2，N≥3)时2个解的存在性；文献[8]通过扰动等方法获得f(x，u)=μu-γ(0＜γ＜1，N=3)时至少存在2个正解.
受文献[5-8]启发，并考虑到形如问题(1)的近共振问题还没有相关结果，本文将用Ekeland>变分原理和山路引理在适当条件下证明问题(1)多重解的存在性.记λ1是问题
的第一特征值，对应的特征函数为φ1.同时，设连续函数f(x，u)满足如下条件：
(F1) 0≤f(x，t)＜bλ|t|3+
$a{\left( {\frac{\lambda }{{\left| \mathit{\Omega } \right|}}} \right)^{\frac{1}{2}}}\left| t \right| $ 对$ \forall \left( {x, t} \right) \in \mathit{\bar \Omega } \times \left( {{\mathbb{R}\backslash }\left\{ 0 \right\}} \right) $ 一致成立；(F2)
$ \mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } \frac{{f\left( {x, t} \right)}}{{b{t^3}}} = 0 $ 对$ \forall \left( {x, t} \right) \in \mathit{\bar \Omega } \times {\mathbb{R}} $ 一致成立；(F3)
$ \mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } \left( { - \frac{a}{2}\sqrt {{\lambda _1}} {t^2} + \int_\mathit{\Omega } {F\left( {x, t{\varphi _1}} \right)} {\rm{d}}x} \right) \to - \infty $ ，对x∈Ω一致成立，$ F\left( {x, t} \right) = \int_0^t {f\left( {x, s} \right)} {\rm{d}}s $ .本文的主要结论是：
定理1 若条件(F1)成立，则0＜λ＜λ1时，问题(1)至少存在1个非平凡弱解.
定理2 若满足条件(F2)和(F3)，则0＜λ＜λ1且λ接近λ1时，问题(1)至少有3个弱解.
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用H表示H01(Ω)，对∀u，v∈H，定义：
由文献[9]知，λ1＞0是单重的，且对应可取φ1＞0满足‖φ1‖L4=1.特别地，λ1可描述为
令
由λ1的单重性，有
从而
因此
记
则可证明：对∀u∈V，都有‖u‖4≥λV‖u‖L44且λV＞λ1.若存在u∈H01(Ω)，使得对任取的v∈H，都有
则称u为问题(1)的弱解.问题(1)具有变分结构，其泛函可描述为
可证
$ {I_\lambda } \in {C^1}\left( {H, {\mathbb{R}}} \right) $ ，并且其临界点恰好是问题(1)的弱解.实际上，对任意的v∈H01(Ω)，有由于H对1＜p＜2*可以紧嵌入到Lp(Ω)，因此对任意的p∈(1，2*)，都存在相应的常数Cp＞0，使得对任意的u∈H都满足Sobolev嵌入不等式
引理1 如果条件(F1)或(F2)成立，那么Iλ的任意(PS)序列{un}都是H中的列紧集.
证 根据已知，存在常数c，使得：
因此存在{un}的子列(下面仍记为{un})和u∈H，满足
一方面，由条件(F1)及(4)，(5)，(6)式可知，当n→∞时有
另一方面，由条件(F2)，并考虑到f(x，t)的连续性，可以得出：对任给的ε＞0，存在常数aε＞0，使得
再由(4)，(5)，(6)式，当n→∞时，有
类似地，根据常数c的选取可知‖u‖≤c，因此当n→∞时，还有
由(5)，(6)式可得
再根据(7)式(或(8)式)和(9)式得
因此从(6)式可得出在H中有‖un-u‖→0，即序列{un}在H中存在强收敛子列，从而在条件(F1)或(F2)之下，Iλ的任意(PS)序列{un}都是H中的列紧集.
引理2 设0＜λ＜λ1，则当条件(F1)成立时，存在r＞0，ρ＜0，使得‖u‖=r时Iλ(u)＞0，‖u‖＜r时inf Iλ(u)≤ρ＜0.
证 一方面，任给u∈H使得‖u‖＞0，由(3)式，并注意到0＜λ＜λ1，有
只要
$ \left\| u \right\| > {\left[{\frac{{2a{\lambda _1}}}{{b\left( {{\lambda _1}-\lambda } \right)}}} \right]^{\frac{1}{2}}} $ 就有Iλ(u)＞0.因此存在$ r > {\left[{\frac{{2a{\lambda _1}}}{{b\left( {{\lambda _1}-\lambda } \right)}}} \right]^{\frac{1}{2}}} > 0 $ ，当‖u‖=r时Iλ(u)＞0.另一方面，由条件(F1)可知
因此
对∀u∈H都成立.从而根据(3)，(10)式并结合Hölder不等式可得出
不难看出，只需
$ 0 < \left\| u \right\| < {\left[{\frac{{2a\left( {\sqrt {{\lambda _1}}-\sqrt \lambda } \right)}}{{b\sqrt {{\lambda _1}} }}} \right]^{\frac{1}{2}}} $ 就有Iλ(u)＜0.显然此时仍满足‖u‖＜r.因此
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定理1的证明 令Br(0)=u: u∈H，‖u‖≤r，则Br(0)是有界闭凸集.从引理2知，Iλ下方有界且下半连续.由Ekeland变分原理[10]，对任意
$ u \in \overline {{B_r}\left( 0 \right)} $ ，都存在极小化序列$ \left\{ {{u_n}} \right\} \subset \overline {{B_r}\left( 0 \right)} $ ，使得：因此当n→∞时，有：
再根据引理1知{un}存在收敛子列{unk}，记
则u*∈Br(0)，Iλ(u*)=
$\mathop {\inf }\limits_{{u_{{n_k}}} \in {B_r}\left( 0 \right)} {I_\lambda }\left( {{u_{{n_k}}}} \right) < \rho $ 且Iλ'(u*)=0，即u*是Iλ的局部极小点.再根据Iλ(0)=0得出u*≠0.从而问题(1)至少有1个非平凡弱解.定理2的证明
步骤1 问题(1)对应的泛函Iλ在H中下方有界且在H和V中强制.更一般地，存在仅依赖于参数λ的常数α，使得infV Iλ≥α.由引理1的证明过程知，在条件(F2)之下有
对∀u∈H，根据Hölder不等式，并结合(4)式和(11)式可得
只需取ε满足0＜ε＜λ1-λ，就有：Iλ在H中下方有界并且强制.同理，对∀v∈V，有
由于λ1＜λV，取ε使得0＜ε＜λV-λ1，则Iλ1在V中下方有界并且强制.当λ＜λ1时，有
因此对∀v∈V都有
从而Iλ在V上也强制，并且infV Iλ≥α=infV Iλ1.
步骤2 若0＜λ＜λ1，且λ接近λ1，则存在t-，t+满足t-＜0＜t+，使得
注意到：
对任意的
$ t \in {\mathbb{R}} $ ，有由条件(F3)，并结合(12)式可知，给定常数M＞0，存在t-＜0，只要t＜t-，就有：
取
$ {\lambda _1} - \lambda < \frac{{4M}}{{b{{\left( {{t^ - }} \right)}^4}}} $ 时，有Iλ(t-φ1)＜α.类似地，也存在t+＞0，当取$ {\lambda _1} - \lambda < \frac{{4M}}{{b{{\left( {{t^ + }} \right)}^4}}} $ 时，有Iλ(t+φ1)＜α.步骤3 先用Ekeland变分原理得：Iλ有两个临界点.再由山路引理得到第三个临界点.对任给的v∈V，t＞0，设
当λ＜λ1且λ接近λ1时，有
在H±中对Iλ使用Ekeland变分原理，则存在序列
$ \left\{ {u_n^ \pm } \right\} \subset {H^ \pm } $ ，使得当n→∞时Iλ(un±)→c±且Iλ'(un±)→0，而Iλ在H中强制，因此{un±}有界，从而可得{un±}满足(13)式.再由引理1知{un±}有收敛子列{unk±}，根据(13)式和V=∂H±，可得{unk±}收敛到H±的内点u**±，也就是说Iλ在H±的内部达到极大值，因此Iλ有局部极小点u**+∈H+和局部极小点u**-∈H-.由于H+∩H-=Ø，因此u**+≠u**-，也即Iλ有2个不同的局部极小点.再由山路引理[11]知Iλ存在不同于u**+和u**-的临界点.因此问题(1)至少有3个弱解.
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