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稳定性是方程最重要的特性之一.泛函方程的稳定性问题起源于文献[1]对于群同态的研究.文献[2]首先证明了在Banach空间中近似可加映射的Ulam稳定性.随后，文献[3]通过考虑无界的柯西差，将文献[2]的结论推广到了线性映射，并得到如下结论:
令X，Y为Banach空间，若
$ f:\;X \longrightarrow Y $ 满足:对于给定的x，y∈X，存在ε＞0和0＜p＜1，有且对于
$ \forall t \in {\mathbb{R}} $ ，f(tx)在X上是连续的.则存在唯一的线性映射$ T:\;X \longrightarrow Y $ ，使得自此，众多学者开始研究无界情形下泛函方程的Ulam稳定性.文献[4-5]研究了Jensen方程的Ulam稳定性.文献[6]研究了二次映射方程
的Ulam稳定性.文献[7]研究了Drygas方程
的Ulam稳定性.
值得注意的是，一些泛函方程Ulam稳定性的研究结果被推广到了集值的情形.文献[8]用不动点方法研究了Cauchy-Jensen型可加集值泛函方程、Jensen型可加二次集值泛函方程以及Jensen型三次集值泛函方程的Ulam稳定性.文献[9]讨论了n维三次集值泛函方程的Ulam稳定性.文献[10]定义了更一般化的可加集值泛函方程，并证明了其Ulam稳定性.
随着模糊分析学的发展，越来越多的学者从模糊分析学的角度去考虑Ulam稳定性.目前，该领域大多数的研究成果都是在模糊赋范空间中得到的(文献[11-13]).文献[14]讨论了抽象凸空间中广义模糊博弈的结构稳定性.而关于模糊数值映射方程的Ulam稳定性的研究结果还很少.
本文将在Banach空间中研究如下模糊数值映射二次型映射方程
和Drygas型方程
的Ulam稳定性.
文献[11]在模糊赋范空间中讨论了当s=1，f，g，h为单值奇映射时，方程(1)的Ulam稳定性.文献[15]研究了当g=h=f时，方程(1)的Ulam稳定性，其中f为单值映射.文献[7]利用不动点定理，在Banach空间中着重研究了当s=1，f=g=h=l时，方程(2)的Ulam稳定性，其中f表示单值映射.本文将在Banach中对更一般化的二次型映射方程和Drygas型方程的Ulam稳定性进行讨论，所得的结论在一定程度上推广了文献[7, 11, 15]中的相关结论.
在本文中，
$ \mathbb{N} $ 和$ \mathbb{R} $ 分别表示自然数集和实数集，$ \mathbb{R}$ +=(0，+∞)，X和Y为Banach空间，Pkc(X)表示X中所有非空紧凸集，B⊆Y为Y中的线性子空间.
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本节首先引入一些关于模糊数及度量的基本概念和性质，其中的定义和结论可参见文献[16].
定义1 如果一个映射u:
$ X \longrightarrow \left[{0, 1} \right] $ 满足下列条件:(ⅰ) ∀α∈(0，1]，[u]α={x∈X: u(x)≥α}∈Pkc(X)；
(ⅱ) u的支撑集[u]0=supp(u)=cl{x: u(x)＞0}为紧集.
则称u为X上的模糊数，X上的模糊数的集合记为XF.
在XF上可定义线性结构如下: ∀u，v∈XF，s∈
$\mathbb{R} $ ，x∈X，令:则:
引理1 定义映射
$ D:\;{X_F} \times {X_F} \longrightarrow {{\mathbb{R}}_ + } \cup \left\{ 0 \right\} $ 为其中dH为Hausdorff度量.则(XF，D)是完备的度量空间，并且对于∀λ∈
$\mathbb{R} $ ，∀u，v，w，e∈XF，度量D有下列性质:(P1) D(λu，λv)=|λ|D(u，v)；
(P2) D(u+w，v+w)=D(u，v)；
(P3) D(u+v，w+e)≤D(u，w)+D(v，e).
引理2 存在Banach空间Z，(XF，D)可以等距嵌入于Z.
由此可知: ∀s，t∈
$ \mathbb{R}$ +，∀u，v∈XF，有:
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本节将在不同的条件下证明方程(1)和(2)的Ulam稳定性，其中f，g，h，l表示取值于XF的模糊数值映射.
定理1 设ε≥0，p∈
$ \mathbb{R}$ \{2}，模糊数值映射f，g，h:$B \longrightarrow {X_F} $ 满足g(0)=h(0)=0，且∀x，y∈B，有则当f为偶映射时，存在唯一的模糊数值二次偶映射
$ T:B \longrightarrow {X_F} $ ，满足:且对于有理数c，有T(cx)=c2T(x).
证 由(3)式及g(0)=h(0)=0易知f(0)=0.分别令(3)式中y=0，x=0，y=x，可得:
由(5)-(7)式可知
情形1 p＜2.由(8)式知D(2-2f(2x)，f(x))≤ε‖x‖p，由归纳法得
取
不失一般性，取m∈
$\mathbb{N}$ 且n≥m，则由(9)式可得由(10)式可知{fn(x)}为完备度量空间XF中的柯西列.由此可定义模糊数值映射
$ T:B \longrightarrow {X_F} $ ，满足显然T为偶映射.再由(9)式和度量D的连续性可知
以及
于是
即T为二次映射.
在(12)式中，令x=y得
利用归纳法及(12)式可证: ∀n∈
$ \mathbb{N} $ ，T(nx)=n2T(x).由x的任意性知$ T\left( x \right) = {n^2}T\left( {\frac{x}{n}} \right) $ .于是，∀m，n∈$ \mathbb{N} $ ，有$ T\left( {\frac{n}{m}x} \right) = {n^2}T\left( {\frac{x}{m}} \right) = {\left( {\frac{n}{m}} \right)^2}T\left( x \right) $ .由于T为偶映射，所以T(cx)=c2T(x)对于任意的有理数c都成立.再由(11)，(8)，(7)式可得
情形2 p＞2.由(8)式知
由归纳法知
取
与情形1类似，可得二次偶映射
$ T:B \longrightarrow {X_F} $ 满足:且对任意有理数c，满足T(cx)=c2T(x).
最后证明T的唯一性.假设存在两个模糊数值映射
$ {T_1}, {T_2}:B \to {X_F} $ 均满足(4)式，则当p＜2时，有当p＞2时，有
由此可见，对于∀x∈B，T1(x)=T2(x).
定理2 设ε≥0，s∈
$ \mathbb{R} $ \{0}，p∈$ \mathbb{R} $ \{2}，模糊数值映射f，g，h:$ B \longrightarrow {X_F} $ 满足g(0)=h(0)=0，∀x，y∈B，则当f为偶映射时，存在唯一的二次偶映射
$ T:B \longrightarrow {X_F} $ 满足:其中
且对任意的有理数c，有
证 将(13)式中sx用x代替，可得
在(13)式中，分别令y=0，x=0，可得:
令
则由(14)式可得
由定理1可知，当f为偶映射时，存在唯一的二次偶映射
$ T:B \longrightarrow {X_F} $ 满足并且对于任意的有理数c，有
下面证明T与g，h的关系.由(15)式和(16)式可知
定理3 设ε≥0，p∈
$ \mathbb{R} $ \{2}，模糊数值映射f，g，h，l:$ B \longrightarrow {X_F} $ 满足:则当f为偶映射时，存在唯一的二次偶映射
$ T:B \longrightarrow {X_F} $ 满足: ∀x∈B，有:且对任意的有理数c，有
证 令
则
由(17)式得
由定理1可知，当f为偶映射时，存在唯一的二次偶映射
$ T:B \longrightarrow {X_F} $ ，满足且对任意的有理数c，有
在(17)式中，分别令y=0，x=0，y=x，可得:
由(18)式和(19)式可知
定理4 设ε≥0，s∈
$ \mathbb{R} $ \{0}，p∈$ \mathbb{R} $ \{2}，模糊数值映射f，g，h，l:$ B \longrightarrow {X_F} $ 满足:则当f为偶映射时，存在唯一的二次偶映射
$ T:B \longrightarrow {X_F} $ 满足:其中
且对于任意有理数c，有
证 令
则
由(20)式得: ∀x，y∈B，有
由定理2得:存在唯一的二次偶映射
$ T:B \longrightarrow {X_F} $ 满足(21)式，且对任意的有理数c，有在(20)式中，分别令y=0，x=0，可得:
于是，由(21)，(23)和(24)式得
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