设$ \mathscr{Q} $是$ {\mathbb{R}^n} $中的光滑有界区域，$ \mathscr{O}_\varepsilon $是定义如下的n+1维区域：

其中g∈C²($ \overline {\mathscr{Q}} $，(0，+∞))，0＜ε≤1.易知存在正数r₁和r₂，使得对$ \forall {x^ * } \in \overline {\mathscr{Q}} $，有r₁≤g(x^*)≤r₂.令$ \mathscr{O} = \mathscr{Q} \times \left( {0, 1} \right), \tilde {\mathscr{O}} = \mathscr{Q} \times \left( {0, {r_2}} \right) $.易知对∀ε∈(0，1)，有$ {\mathscr{O}_\varepsilon } \in \tilde {\mathscr{O}} $.任意给定$ \tau \in \mathbb{R} $，考虑下面的方程：

初值为

其中λ＞0，ν_ε是边界$ \partial {\mathscr{Q}_\varepsilon } $的单位外法向量，$ G \in L_{{\rm{loc}}}^2\left( {\mathbb{R}, {L^\infty }\left( {\tilde {\mathscr{O}}} \right)} \right), h\left( x \right) \in {H^2}\left( {\tilde {\mathscr{O}}} \right) \cap {W^{2, + \infty }}\left( {\tilde {\mathscr{O}}} \right) $，W是定义在概率空间的双边实值的Wiener过程，f是非线性函数，并且满足下列条件：对$ \forall x \in \tilde {\mathscr{O}}, \forall t, s \in \mathbb{R} $，有：

其中p≥2，α₁，α₂和β是正常数，$ {\psi _1} \in L_{{\rm{loc}}}^1\left( {\mathbb{R}, {L^\infty }\left( {\tilde {\mathscr{O}}} \right)} \right) $，$ {\psi _2}, {\psi _3} \in L_{{\rm{loc}}}^2\left( {\mathbb{R}, {L^\infty }\left( {\tilde {\mathscr{O}}} \right)} \right) $.

当ε→0时，n+1维区域$ {{\mathscr{O}}_\varepsilon } $降为n维区域$ \mathscr{Q} $，那么当ε=0时，方程(1)-(2)变为

初值为

下面将方程(1)-(2)转化为区域$ {\mathscr{O}} $上的有界边界值问题.对∀x=(x^*，x_n+1)，定义变换：

再令y=(y^*，y_n+1)=T_ε(x^*，x_n+1)，则有：

设J为T_ε的雅可比矩阵，计算易得J的行列式为$ \left| \mathit{\boldsymbol{J}} \right| = \frac{1}{{\varepsilon g\left( {{y^ * }} \right)}} $.令J^T为J的转置矩阵.由文献[2]可知，梯度算子▽、Laplace算子Δ、散度算子div在初始变量$ x \in {{\mathscr{O}}_\varepsilon } $和新的变量$ y \in {\mathscr{O}} $下，有：

其中$ u\left( y \right) = \hat u\left( x \right) $，P_ε是如下定义的算子：

对x=(x^*，x_n+1)，将f(t，x，s)，G(t，x)改写为f(t，x^*，x_n+1，s)，G(t，x^*，x_n+1).另外，对y=(y^*，y_n+1)∈$ {\mathscr{O}} $和t，s∈$ \mathbb{R} $，约定：

对于上述薄域空间，引进新的函数空间并定义相关内积与范数.首先，赋予空间L²($ {\mathscr{O}} $)内积$ {\left( {u, v} \right)_{{H_g}\left( {\mathscr{O}} \right)}} = \int_{\mathscr{O}} {guv{\rm{d}}y} $，记作$ {{H_g}\left( {\mathscr{O}} \right)} $.易知$ {{H_g}\left( {\mathscr{O}} \right)} $是希尔伯特空间，且其范数等价于$ {L^2}\left( {\mathscr{O}} \right) $的经典范数.对0＜ε≤1，定义双线性形式a_ε(·，·)：

其中

赋予空间H¹($ {\mathscr{O}} $)范数$ {\left\| u \right\|_{H_\varepsilon ^1\left( {\mathscr{O}} \right)}} = {\left( {{a_\varepsilon }\left( {u, u} \right) + \left\| u \right\|_{{L^2}\left( {\mathscr{O}} \right)}^2} \right)^{\frac{1}{2}}} $，并记作H_ε¹$ {\mathscr{O}} $.定义算子$ {A_\varepsilon }u = - \frac{1}{g}{\rm{di}}{{\rm{v}}_y}\left( {{P_\varepsilon }u} \right) $，定义域为

则有

利用算子A_ε，由文献[1]，方程(1)-(2)可变换为

同理，为了对方程(7)-(8)做处理，赋予$ {L^2}\left( \mathscr{Q} \right) $内积$ {\left( {u, v} \right)_{{H_g}\left( \mathscr{Q} \right)}} = \int_\mathscr{Q} {guv{\rm{d}}{y^ * }\left( {\forall u, v \in {L^2}\left( \mathscr{Q} \right)} \right)} $，并记作$ {{H_g}\left( \mathscr{Q} \right)} $.定义双线性形式

最后定义算子$ {A_0} = - \frac{1}{g}\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left( {g{u_{yi}}} \right)}_{yi}}} $，定义域为$ D\left( {{A_0}} \right) = \left\{ {u \in {H^2}\left( \mathscr{Q} \right) \cap {H_g}\left( \mathscr{Q} \right):\frac{{\partial u}}{{\partial {v_0}}} = 0, y \in \partial \mathscr{Q}} \right\} $.由算子A₀，方程(7)-(8)可转化为

下面考虑概率空间(Ω，$ \mathscr{F} $，P)，其中$ \mathit{\Omega } = \left\{ {\omega \in C\left( {\mathbb{R}, \mathbb{R}} \right):\omega \left( 0 \right) = 0} \right\} $，$ \mathscr{F} $是由Ω的紧开拓扑导出的Borel代数，P是(Ω，$ \mathscr{F} $)上对应的Wiener测度.定义群θ_t：

那么(Ω，$ \mathscr{F} $，P，$ {\left\{ {{\theta _t}} \right\}_{t \in \mathbb{R}}} $)是度量动力系统.下面借助(Ω，$ \mathscr{F} $，P，$ {\left\{ {{\theta _t}} \right\}_{t \in \mathbb{R}}} $)来建立方程(9)的连续协循环.首先，任给定ω∈Ω，令

易知z(ω)是方程dz+λzdt=dω的稳定解.存在θ-不变且P-可测的子集$ \mathit{\tilde \Omega } \in \mathit{\Omega } $，使得对∀ω∈Ω，z(θ_tω)关于t是连续的，并且|z(θ_tω)|是Tempered(详见文献[3-5]).方便起见，我们仍把$ \mathit{\tilde \Omega } $记作Ω.令

那么v^ε应满足

因为方程(11)是含有参数ω∈Ω的确定方程，由文献[6]可知，如果f满足(3)-(6)式，那么对∀ω∈Ω，$ \tau \in \mathbb{R} $和$ v_\tau ^\varepsilon \in {L^2}\left( {\mathscr{O}} \right) $，∀T＞0，方程(11)拥有唯一的解v^ε(·，τ，ω，v_τ^ε)∈C([τ，∞)，L²($ {\mathscr{O}} $))∩L²((τ，τ+T)，H¹($ {\mathscr{O}} $)).另外，此解是($ \mathscr{F} $，$ \mathscr{B} $(L²($ {\mathscr{O}} $)))可测的，且关于初值v_τ^ε连续.定义方程(9)的协循环Φ_ε：$ {\mathbb{R}_ + } \times \mathbb{R} \times \mathit{\Omega } \times {L^2}\left( {\mathscr{O}} \right) \longrightarrow {L^2}\left( {\mathscr{O}} \right) $，对∀t∈$ {\mathbb{R}_ + } $，ω∈Ω和u_τ^ε，令

其中v_τ^ε=u_τ^ε-h_εz(θ_τω).由文献7可知映射Φ_ε是L²($ {\mathscr{O}} $)上关于(Ω，$ \mathscr{F} $，P，$ {\left\{ {{\theta _t}} \right\}_{t \in \mathbb{R}}} $)的连续协循环.因此，在本文中，我们只考虑非自治随机动力系统Φ_ε.

相似的变换v⁰(t，τ，ω，v_τ⁰)=u⁰(t，τ，ω，u_τ⁰)-h₀z(θ_tω)可以将方程(10)转化为如下方程：

类似地，可证得方程(10)在L²($ \mathscr{Q} $)上存在连续协循环Φ₀(t，τ，ω，u_τ⁰).

记X_ε=L²($ {{\mathscr{O}}_\varepsilon } $)，X₀=L²($ {\mathscr{O}} $)，X₁=L²($ {\mathscr{O}} $).对i=ε，0，1，令B_i={B_i(τ，ω)：τ∈$ \mathbb{R} $，ω∈Ω}为X_i的非空子集族.如果对∀c＞0，有

其中$ {\left\| {{B_i}} \right\|_{{X_i}}} = \mathop {\sup }\limits_{x \in {B_i}} {\left\| x \right\|_{{X_i}}} $，则称B_i是Tempered.再令

为了得到解的一致估计，我们对外力项做如下假设：

在构造Tempered-拉回吸引子时，需要下面的假设：对∀σ＞0，有

本节将对问题(11)的解在H_g($ {\mathscr{O}} $)空间上进行一致性估计.

引理1  假设(3)-(6)式和(14)式成立，则存在ε₀＞0，对∀ε∈(0，ε₀)，$ \tau \in \mathbb{R} $，ω∈Ω，D₁={D₁(τ，ω)：$ \tau \in \mathbb{R} $，ω∈Ω}∈$\mathscr{D}$₁，存在与ε无关的T=T(τ，ω，D₁)，使得对∀t≥T，方程(11)的解满足：

其中，v_τ-t^ε∈D₁(τ-t，θ_-tω)；M依赖λ，但与τ，ω，ε，D₁无关.

证  将(11)式与v^ε在空间H_g($ {\mathscr{O}} $)做内积，可得到

对(18)式左边第一项估计，可得

分别对(18)式左边第二项和最后一项估计，得：

由(18)-(21)式可得

在(22)式两边乘以e^λt，在(τ-t，τ)上对t积分，其中t＞0，再将ω替换为θ_-τω，得

注意到v_τ-t^ε∈D₁(τ-t，θ_-tω)，D₁是Tempered，则存在T=T(τ，ω，D₁)，使得对∀t≥T，有e^-λt‖v_τ-t^ε‖²≤1.结合(23)式和‖·‖_{Hε¹($ {\mathscr{O}} $)}，引理1得证.

引理2  假设(3)-(6)式和(14)式成立，则存在ε₀＞0，对∀ε∈(0，ε₀)，$ \tau \in \mathbb{R} $，ω∈Ω，D₁={D₁(τ，ω)：$ \tau \in \mathbb{R} $，ω∈Ω}∈$\mathscr{D}$₁，存在T=T(τ，ω，D₁)，使得对∀t≥T，方程(11)的解满足

证  由引理1，存在T=T(τ，ω，D)≥1，对∀t≥T，有

则可以得到(24)式.

引理3  假设(3)-(6)式和(14)式成立，则存在ε₀＞0，对∀ε∈(0，ε₀)，$ \tau \in \mathbb{R} $，ω∈Ω，D₁={D₁(τ，ω)：$ \tau \in \mathbb{R} $，ω∈Ω}∈$\mathscr{D}$₁，存在T=T(τ，ω，D₁)，使得对∀t≥T，方程(11)的解满足

其中，v_τ-t^ε∈D₁(τ-t，θ_-tω)；M仅依赖λ，与τ，ω，ε，D₁无关.

证  让(11)式与A_εv^ε在空间H_g($ {\mathscr{O}} $)上做内积，可得到

首先，对(26)式中的非线性项进行估计，得

为了对(27)式的右边第一项估计，先进行如下计算：

对于(27)式右边第一项，由文献[1]中的引理3，并结合(28)式得

对于(27)式右边最后一项进行估计，得

由(26)-(30)式可得

对(26)式中的第二项进行估计，得

对(26)式中的最后一项进行估计，得

由(26)-(33)式得

由此易知

任给定t≥0，$ \tau \in \mathbb{R} $，ω∈Ω，s∈(τ-1，τ)，对(35)式在区间(s，τ)上积分，得

对上式在区间(τ-1，τ)上积分，并将ω替换成θ_-τω，得到

令T=(τ，ω，D)≥1为引理2中的正常数，那么由引理2可得

对于(36)式右边最后一个式子，有

类似地，有

因此(36)式可化为

结合引理1可证得(25)式.

本节将讨论随机问题(9)和(10)的拉回吸引子的存在性、唯一性.

引理4  假设(3)-(6)式，(14)式和(15)式成立，则存在ε₀＞0，对∀ε∈(0，ε₀)，随机问题(9)的连续协循环具有一个闭的、可测的$ {\mathscr{D}_1} $拉回吸收集K∈$ {\mathscr{D}_1} $，对∀ω∈$ {\mathscr{D}_1} $，∀$ \tau \in \mathbb{R} $，K定义为

其中

证  任给定D₁={D₁(τ，ω)：$ \tau \in \mathbb{R} $，ω∈Ω}∈$ {\mathscr{D}_1} $，定义新的集族$ {{\hat D}_1} $为

因为z(ω)是Tempered，D₁∈$ {\mathscr{D}_1} $，易证得$ {{\hat D}_1} \in {\mathscr{D}_1} $.另外，如果u_τ-t^ε∈D₁(τ-t，θ_-tω)，那么

由引理3，存在T=T(τ，ω，D₁)，使得∀t≥T，有

注意到

由此可知

结合(37)式可得，对u_τ-t^ε∈D₁(τ-t，θ_-tω)，有

因此，对$ \forall \tau \in \mathbb{R} $，ω∈Ω，D₁∈$ {\mathscr{D}_1} $，存在与ε无关的T=T(τ，ω，D₁)≥1，使得∀t≥T，有

接下来，证明K={K(τ，ω)：$ \tau \in \mathbb{R} $，ω∈Ω}是Tempered.任给定δ＞0，$ \tau \in \mathbb{R} $，ω∈Ω，有

结合(14)，(15)和(37)式，可知

因此K(τ，ω)在空间L²($ {\mathscr{O}} $)上是Tempered.另外，对$ \forall \tau \in \mathbb{R} $，L(τ，·)：$ \mathit{\Omega } \longrightarrow \mathbb{R} $是($ \mathscr{F} $，$ \mathscr{B} $)-可测的.所以K是Φ_ε在$ {\mathscr{D}_1} $中的闭的可测的$ {\mathscr{D}_1} $-拉回吸收集.

定理1  假设(3)-(6)式，(14)式和(15)式成立.那么存在ε₀＞0，对∀ε∈(0，ε₀)，协循环Φ_ε在L²($ {\mathscr{O}} $)有唯一的$ {\mathscr{D}_1} $-拉回吸引子A_ε={A_ε(τ，ω)：$ \tau \in \mathbb{R} $，ω∈Ω}∈$ {\mathscr{D}_1} $.

证  首先，由引理4知，Φ_ε有一闭的、可测的$ {\mathscr{D}_1} $-拉回吸收集K，由(39)式和紧嵌入H¹($ {\mathscr{O}} $)$ \circlearrowleft $L²($ {\mathscr{O}} $)，根据索伯列夫紧嵌入定理可知，Φ_ε在L²($ {\mathscr{O}} $)上有一个紧的吸收集.因此，由文献[1]中吸引子的存在性结论，可得协循环Φ_ε存在$ {\mathscr{D}_1} $-拉回吸引子.

定理2  假设(3)-(6)式，(14)式和(15)式成立，协循环Φ₀在L²($ \mathscr{Q} $)上有唯一的$ {\mathscr{D}_0} $-拉回吸引子