本文中的环R指有单位元的结合环,R-Mod(Mod-R)表示左(右)R-模范畴,所有的模均指酉模,wD(R)指环R的弱整体维数.对任意的左R-模C,C⁺=Hom_R(C,Q/Z)表示C的示性模.

定义1^[4]  设n是非负整数,

(ⅰ)如果存在正合序列F_n→F_n-1→…→F₁→F₀→M→0,其中F_i(i=0,1,…,n)是有限生成自由的左R-模,则称左R-模M是有限n-表示的；

(ⅱ)如果对任意的有限n-表示右R-模F,都有Tor₁^R(F,M)=0,则称左R-模M是FP_n-平坦模,FP_n-平坦左R-模的类记为$\mathscr{FP}_n$-Flat；

(ⅲ)如果对任意的有限n-表示左R-模F,都有Ext_R¹(F,M)=0,则称左R-模M是FP_n-内射模,FP_n-内射左R-模的类记为$\mathscr{FP}_n$-Inj.

注1  当n=1时,有限1-表示模即为有限表示模.由文献[3]知,左R-模M是有限表示的当且仅当存在短正合序列0→K→F₀→M→0,其中F₀是有限生成自由的左R-模,K是有限生成的左R-模.

定义2^[5]  设$\mathscr{C}$是左R-模类.如果对于任意的C^′∈$\mathscr{C}$,序列Hom_R(C,C^′)→Hom_R(M,C^′)→0是正合的,则称左R-模同态f：M→C是M的$\mathscr{C}$-预包络,其中C∈$\mathscr{C}$.

定义3^[3]  设$\mathscr{C}$是左R-模类,

(ⅰ)如果对于任意的C^′∈$\mathscr{C}$,序列0→M⁺⊗_RC^′→C⁺⊗_RC^′是正合的,则称左R-模同态ϕ：C→M是M的$\mathscr{C}$-伴随预覆盖,其中C∈$\mathscr{C}$；

(ⅱ)如果对于任意的C^′∈$\mathscr{C}$,序列0→(C^′)⁺⊗_RM→(C^′)⁺⊗_RC是正合的,则称左R-模同态ϕ：M→C是M的$\mathscr{C}$-伴随预包络,其中C∈$\mathscr{C}$.

定义4^[1]  如果Tor₁^R(M,E)=0,其中E是任意的内射左R-模,则称右R-模M是余纯平坦的.

定义5  设n是非负整数.如果Tor₁^R(M,E)=0,其中E是任意的FP_n-内射左R-模,则称右R-模M是余纯FP_n-平坦的.

注2  (ⅰ)类似地,可以给出余纯FP_n-平坦左R-模的定义；

(ⅱ)当n=0时,E∈$\mathscr{FP}_0$-Inj,即E是内射模,因此每个模M是余纯平坦的；

(ⅲ)因为对任意n,$\mathscr{FP}_0$-Inj$ \subseteq $$\mathscr{FP}_n$-Inj,所以余纯FP_n-平坦模是余纯平坦模.

根据余纯FP_n-平坦模的定义,我们可以得到如下的结论：

定理1  设R是环,M是有限表示的右R-模.如果M是余纯FP_n-平坦的,则M是一个FP_n-平坦预包络的余核.

证  因为M是有限表示的右R-模,所以存在短正合序列0→K→F₀→M→0,其中K是有限生成的右R-模,F₀是有限生成自由的右R-模.下证K→F₀是K的FP_n-平坦预包络.对任意的FP_n-平坦右R-模F,由文献[4]的命题3.5知,F⁺是FP_n-内射左R-模.又因为M是余纯FP_n-平坦的,所以Tor₁^R(M,F⁺)=0.则有如下交换图：

另一方面.又因为K是有限生成的右R-模,所以存在一个有限生成投射的右R-模P,使得序列P →K→0正合.因此可以得到如下交换图：

由文献[6]的引理3.60知δ_P是同构.因此δ_K是满同态.因为δ_F0ϕ=ψδ_K且δ_F0是同构,所以ψ是单同态.故序列0→Hom_R(K,F)⁺→Hom_R(F₀,F)⁺正合.这等价于序列Hom_R(F₀,F)→Hom_R(K,F)→0正合.又因为F₀是有限生成自由的右R-模,所以F₀是FP_n-平坦右R-模.于是K→F₀是K的FP_n-平坦预包络.

定理2  设R是环,M是右R-模.如果M是一个右R-模K的FP_n-平坦预包络f：K→F的余核,其中F是平坦右R-模,则M是余纯FP_n-平坦的.

证  设f：K→F是右R-模K的FP_n-平坦预包络,其中F是平坦右R-模,右R-模M是f的余核.令L=Im(f).则0→L→F→M→0正合且L→F是L的FP_n-平坦预包络.对任意的FP_n-内射右R-模E,由文献[4]的命题3.6知,E⁺是FP_n-平坦左R-模.因此序列Hom(F,E⁺)→Hom(L,E⁺)→0正合.考虑如下交换图：

则序列(F⊗_R E)⁺→(L⊗_RE)⁺→0正合.这等价于序列0→L⊗_RE→F⊗_RE正合.用-⊗_RE作用短正合序列0→L→F→M→0,有

正合.于是Tor₁^R(M,E)=0,即右R-模M是余纯FP_n-平坦的.

定理3  设R是环,M是有限表示的左R-模.如果M是余纯FP_n-平坦的,则M是一个FP_n-平坦伴随预包络的余核.

证  因为M是有限表示的左R-模,所以存在短正合序列0→K→F₀→M→0,其中K是有限生成的左R-模,F₀是有限生成自由的左R-模.下证K→F₀是K的FP_n-平坦伴随预包络.对任意的FP_n-平坦左R-模F,由文献[4]的命题3.5知,F⁺是FP_n-内射右R-模.又因为M是余纯FP_n-平坦的,所以Tor₁^R(F⁺,M)=0.用F⁺⊗_R-作用短正合序列0→K→F₀→M→0,则序列0 = Tor₁^R(F⁺,M)→F⁺⊗_RK→F⁺⊗_RF⁰→F⁺⊗_RM→0正合.又因为F⁰是有限生成自由的左R-模,所以F₀是FP_n-平坦左R-模.于是K→F₀是K的FP_n-平坦伴随预包络.

定理4→设M是左R-模.则以下条件等价：

(ⅰ) M是余纯FP_n-平坦的；

(ⅱ)对任意的短正合序列0→A→B→M→0,其中B是平坦左R-模,A→B是A的FP_n-平坦伴随预包络；

当wD(R)≤1时,以上条件等价于：

(ⅲ) M是一个FP_n-平坦伴随预包络f：A→B的余核,其中B是平坦左R-模.

证  (ⅰ)⇒(ⅱ)设F是任意的FP_n-平坦左R-模.由文献[4]的命题3.5知,F⁺是FP_n-内射右R-模.因为M是余纯FP_n-平坦的,所以Tor₁^R(F⁺,M) = 0.用F⁺⊗_R-作用短正合序列0→A→B→M→0,有正合序列0=Tor₁^R(F⁺,M)→F⁺⊗_RA→F⁺⊗_RB.又因为B是平坦左R-模,所以B是FP_n-平坦左R-模.于是A→B是A的FP_n-平坦伴随预包络.

(ⅱ)⇒(ⅲ)因为短正合序列0→A→B→M→0总是存在的,其中B是平坦左R-模,所以由(ⅱ)知M是A的FP_n-平坦伴随预包络A→B的余核.

(ⅲ)⇒(ⅰ)设左R-模M是一个FP_n-平坦伴随预包络f：A→B的余核.则对于f：A→B,存在满的左R-模同态π：A→Im(f)以及单的左R-模同态λ：Im(f)→B,使得f=λπ.对任意的FP_n-内射右R-模E,由文献[4]的命题3.6知,E⁺是FP_n-平坦左R-模.因此得到如下交换图：

因为E⁺⁺⊗_RA→E⁺⁺⊗_R B是单的,E⁺⁺⊗_RA→E⁺⁺⊗_R Im(f)是满的,所以E⁺⁺⊗_R Im(f)→E⁺⁺⊗_R B是单的.考虑短正合序列0→Im(f)→B→M→0,用E⁺⁺⊗_R-作用,有正合序列0 = Tor₁^R(E⁺⁺,B)→Tor₁^R(E⁺⁺,M)→E⁺⁺⊗_R Im(f)→E⁺⁺⊗_RB.因此Tor₁^R(E⁺⁺,M) = 0.因为E是E⁺⁺的纯子模,所以有纯正合序列0→E→E⁺⁺→F^′→0.用-⊗_RM作用,有Tor₂^R(F^′,M)→Tor₁^R(E,M)→Tor₁^R(E⁺⁺,M)=0.又因为wD(R)≤1,所以Tor₂^R(F^′,M)=0.故Tor₁^R(E,M)=0,即M是余纯FP_n-平坦的.

对偶地,我们可以定义余纯FP_n-内射模.

定义6  设n是非负整数.如果Ext_R¹(E,N)=0,其中E是任意的FP_n-内射左R-模,则称左R-模N是余纯FP_n-内射的.

定理5  设R是凝聚环,M是左R-模.如果M是一个左R-模K的FP_n-内射伴随预覆盖h：E→K的核,其中E是内射左R-模,则M⁺⁺是余纯FP_n-内射的.

证  设h：E→K是K的FP_n-内射伴随预覆盖,其中E是内射左R-模.令L=Im(h).对于h,有如下交换图：

其中π是满的,λ是单的.因此可以得到如下交换图：

对任意的FP_n-内射左R-模E^′,有如下交换图：

因为K⁺⊗_RE^′→E⁺⊗_RE^′是单的,K⁺⊗_RE^′→L⁺⊗_RE^′是满的,所以0→L⁺⊗_RE^′→E⁺⊗_RE^′正合.考虑短正合序列0→M→E→L→0,则有短正合序列0→L⁺→E⁺→M⁺→0,用-⊗_RE^′作用,有正合序列Tor₁^R(E⁺,E^′)→Tor₁^R(M⁺,E^′)→L⁺⊗_RE^′→E⁺⊗_RE^′.又因为E是内射左R-模,所以E⁺是平坦右R-模.因此Tor₁^R(E⁺,E^′)=0.于是Tor₁^R(M⁺,E^′)=0.又因为Tor₁^R(M⁺,E^′)⁺≅Ext_R¹(E^′,M⁺⁺),所以Ext_R¹(E^′,M⁺⁺)=0,即M⁺⁺是余纯FP_n-内射的.