关于Smarandache LCM函数的数论函数方程S(SL(n11, 12))=φ2(n)的可解性

袁合才; 王晓峰

doi:10.13718/j.cnki.xdzk.2018.10.012

摘要: 研究了数论函数方程S（SL（n¹¹））=φ₂（n）及S（SL（n¹²））=φ₂（n）的可解性问题，其中S（n）为Smarandache函数，SL（n）为Smarandache LCM函数，φ₂（n）为广义欧拉函数.利用初等数论的内容方法及计算技巧得到上述两个数论函数方程的所有正整数解.

Abstract: In this paper we discuss the solvability of the arithmetic function equation S(SL(n¹¹))=φ₂(n) and S(SL(n¹²))=φ₂(n) of the Smarandache LCM function, where S(n) is a Smarandache function, SL(n) is a Smarandache LCM function, and φ₂(n) is a generalized Euler function. All positive integer solutions of the above two arithmetic function equations are obtained by using the elementary number theory method and the calculation technique.

Key words:

全文HTML

20世纪90年代，美国著名的数学家F. Smarandache在文献[1]中提出了许多新的数论问题，并定义了若干新的数论函数，对现代数论的发展产生较大的影响.其中以F. Smarandache本人命名的Smarandache函数S(n)，以及在函数S(n)基础上衍生出的若干数论函数，如Smarandache LCM函数SL(n)，近年来受到国内外诸多学者的广泛关注和深入研究.Smarandache函数S(n)表示为：对任意正整数n，S(n)为使得n|m!的最小正整数m，即S(n)=min{m∈z：n|m!}.Smarandache LCM函数SL(n)则表示为：使得n|[1，2，…，k]的最小正整数k，即SL(n)=min{k∈z：n|[1，2，…，k]}，也表示1，2，…，$\left[{\frac{n}{2}} \right]$中与n互素的正整数的个数.由广义欧拉函数φ₂(n)的定义^[2]易知φ₂(2)=1；2φ₂(n)=φ(n)(n≥3).关于Smarandache LCM函数SL(n)与欧拉函数φ(n)数及广义欧拉函数φ₂(n)相结合的数论方程，近年来受到关注.文献[2-3]研究了数论函数方程φ(n)=S(n)的可解性问题；文献[4]研究了数论函数方程φ(n)=S(n^k)(k≥2)与SL(n)=φ(n)的可解性问题；文献[5]研究了3类数论函数方程φ(n^k)=S(n)(k≥2)，SL(n^k)=φ(n)(k≥2)及SL(n)=φ(n^k)(k≥2)的可解性问题；文献[6]研究了数论函数方程S(n¹¹)=φ(n)的可解性问题；文献[7]研究了数论函数方程S(n^2k)=φ(n)的几种特殊形式的解的情况；文献[8]研究了数论函数方程φ(n)=S(n¹⁰)的可解性问题；文献[9-10]分别研究了数论方程S(SL(n))=φ(n)和S(SL(n))=φ₂(n)的可解性；文献[11]研究了数论方程S(SL(n²))=φ₂(n)的正整数解.本文在前人研究Smarandache LCM数论函数方程理论工作的基础上，进一步研究了Smarandache LCM函数的数论函数方程S(SL(n¹¹))=φ₂(n)及S(SL(n¹²))=φ₂(n)的可解性问题.

1. 相关引理

引理1^[10] 若n=p₁^r₁p₂^r₂…p_k^r_k，其中p₁，p₂，…，p_k为素数，则：

引理2^[10] 对于整数k和素数p，有S(p^k)≤kp；若进一步有k < p，则S(p^k)=kp.

引理3^[10] 当n≥2时，有φ(n) < n；当n≥3时，φ(n)为偶数.

2. 定理及其证明

定理1 Smarandache LCM函数的数论函数方程

的正整数解为n=360，1 587，2 116，3 174，432，540，208，336

证当n=1时，

显然1不是方程(1)的解.

当n≥2时，设n=p₁^r₁p₂^r₂…p_k^r_k，其中p₁，p₂，…，p_k为素数，由引理1，有

又因

其中n=p^rm，(m，p)=1，则方程(1)可化为

由引理2知

即

下面针对(2)，(3)，(4)式中的p，r的不同取值分10种情形分别加以讨论：

情形1 当r=1时，(3)式为

若p=2，则φ(m)=2S(2¹¹)=28，m=29，58，又因(m，p)=1，则n=p^rm=58，将其代入(2)式，经检验n=58不满足(2)式，因此n=58不是方程(1)的解；

若p=3，则φ(m)=S(3¹¹)=27，由引理3，此时方程(1)无解；

若p=5，则2φ(m)=S(5¹¹)=50，φ(m)=25，由引理3，此时方程(1)无解；

若p=7，则3φ(m)=S(7¹¹)=70，φ(m)不是整数，此时方程(1)无解；

若p=11，则5φ(m)=S(11¹¹)=121，φ(m)不是整数，此时方程(1)无解；

若p≥13，由引理2，则22p=2S(p¹¹)=(p-1)φ(m)，又因(p-1，p)=1，则(p-1)|22，得p=23，φ(m)=23，由引理3，此时方程(1)无解.

情形2 当r=2时，(3)式为2S(p²²)=p(p-1)φ(m)，(4)式为44≥p-1.

若p=2，则φ(m)=S(2²²)=24，m=35，39，45，52，56，70，72，78，84，90，又因(m，p)=1，则n=p^rm=140，156，180，将其代入(2)式，经检验n=140，156，180不满足(2)式，因此n=140，156，180不是方程(1)的解；

若p=3，则3φ(m)=S(3²²)=48，φ(m)=16，m=17，32，34，40，48，60，又因(m，p)=1，则n=p^rm=153，288，306，360，将其代入(2)式，经检验n=360满足(2)式，因此n=360是方程(1)的解；

若p=5，则10φ(m)=S(5²²)=95，φ(m)不是整数，此时方程(1)无解；

若p=7，则21φ(m)=S(7²²)=140，φ(m)不是整数，此时方程(1)无解；

若p=11，则55φ(m)=S(11²²)=231，φ(m)不是整数，此时方程(1)无解；

若p=13，则78φ(m)=S(13²²)=273，φ(m)不是整数，此时方程(1)无解；

若p=17，则136φ(m)=S(17²²)=357，φ(m)不是整数，此时方程(1)无解；

若p=19，则171φ(m)=S(19²²)=399，φ(m)不是整数，此时方程(1)无解；

若p≥23，由引理2，则44p=2S(p²²)=p(p-1)φ(m)，即44=(p-1)φ(m)，得p=23，φ(m)=2，m=3，4，6，n=p^rm=1 587，2 116，3 174，将其分别代入(2)式，经检验n=1 587，2 116，3 174满足(2)式，因此n=1 587，2 116，3 174是方程(1)的解.

情形3 当r=3时，(3)式为2S(p³³)=p²(p-1)φ(m)，(4)式为66≥p(p-1)，即p=2，3，5，7.

若p=2，则2φ(m)=S(2³³)=36，φ(m)=18，m=19，27，38，54，又因(m，p)=1，则n=p^rm=152，216，将其代入(2)式，经检验n=152，216不满足(2)式，因此n=152，216不是方程(1)的解；

若p=3，则9φ(m)=S(3³³)=72，φ(m)=8，m=15，16，20，24，30，又因(m，p)=1，则n=p^rm=432，540，将其代入(2)式，经检验n=432，540满足(2)式，因此n=432，540是方程(1)的解；

若p=5，则50φ(m)=S(5³³)=135，φ(m)不是整数，此时方程(1)无解；

若p=7，则147φ(m)=S(7³³)=203，φ(m)不是整数，此时方程(1)无解.

情形4 当r=4时，(3)式为2S(p⁴⁴)=p³(p-1)φ(m)，(4)式为88≥p²(p-1)，即p=2，3.

若p=2，则4φ(m)=S(2⁴⁴)=48，φ(m)=12，m=13，21，26，28，36，42，又因(m，p)=1，则n=p^rm=208，336，将其代入(2)式，经检验n=208，336满足(2)式，因此n=208，336是方程(1)的解；

若p=3，则27φ(m)=S(3⁴⁴)=90，φ(m)不是整数，此时方程(1)无解.

情形5 当r=5时，(3)式为2S(p⁵⁵)=p⁴(p-1)φ(m)，(4)式为110≥p³(p-1)，即p=2，3.

若p=2，则8φ(m)=S(2⁵⁵)=60，φ(m)不是整数，此时方程(1)无解；

若p=3，则81φ(m)=S(3⁵⁵)=114，φ(m)不是整数，此时方程(1)无解.

情形6 当r=6时，(3)式为2S(p⁶⁶)=p⁵(p-1)φ(m)，(4)式为132≥p⁴(p-1)，即p=2.

若p=2，则16φ(m)=S(2⁶⁶)=68，φ(m)不是整数，此时方程(1)无解.

情形7 当r=7时，(3)式为2S(p⁷⁷)=p⁶(p-1)φ(m)，(4)式为154≥p⁵(p-1)，即p=2.

若p=2，则32φ(m)=S(2⁷⁷)=80，φ(m)不是整数，此时方程(1)无解.

情形8 当r=8时，(3)式为2S(p⁸⁸)=p⁷(p-1)φ(m)，(4)式为176≥p⁶(p-1)，即p=2.

若p=2，则64φ(m)=S(2⁸⁸)=92，φ(m)不是整数，此时方程(1)无解.

情形9 当r=9时，(3)式为2S(p⁹⁹)=p⁸(p-1)φ(m)，(4)式为198≥p⁷(p-1)，即p=2.

若p=2，则128φ(m)=S(2⁹⁹)=104，φ(m)不是整数，此时方程(1)无解.

情形10 当r≥10时，2^r-2≻22r，显然22pr≥p^r-1(p-1)不成立，此时方程(1)无解.

综上所述，可得Smarandache LCM函数的数论函数方程S(SL(n¹¹))=φ₂(n)的正整数解为：

定理2 Smarandache LCM函数的数论函数方程

的正整数解为n=275，550，480.

证当n=1时，

显然1不是方程(5)的解.

当n≥2时，设n=p₁^r₁p₂^r₂…p_k^r_k，其中p₁，p₂，…，p_k为素数，由引理1知

又因

其中：

则方程(5)可化为

由引理2知

即

下面针对(6)，(7)，(8)式中的p，r的不同取值分10种情形分别加以讨论：

情形1 当r=1时，(7)式为2S(p¹²)=(p-1)φ(m).

若p=2，则φ(m)=2S(2¹²)=32，m=51，64，68，80，96，102，120，又因(m，p)=1，则n=p^rm=102，将其代入(6)式，经检验n=102不满足(6)式，因此n=102不是方程(5)的解；

若p=3，则φ(m)=S(3¹²)=27，由引理3，此时方程(5)无解；

若p=5，则2φ(m)=S(5¹²)=50，φ(m)=25，由引理3，此时方程(5)无解；

若p=7，则3φ(m)=S(7¹²)=77，φ(m)不是整数，此时方程(5)无解；

若p=11，则5φ(m)=S(11¹²)=121，φ(m)不是整数，此时方程(5)无解；

若p≥13，由引理2，则24p=2S(p¹²)=(p-1)φ(m)，又因(p-1，p)=1，则(p-1)|24，得p=13，φ(m)=26，经检验，不存在m使得φ(m)=26，此时方程(5)无解.

情形2 当r=2时，(7)式为2S(p²⁴)=p(p-1)φ(m)，(8)式为48≥p-1，即p≤49.

若p=2，则φ(m)=S(2²⁴)=28，m=29，58，又因(m，p)=1，则n=p^rm=116，将其代入(6)式，经检验，n=116不满足(6)式，因此n=116不是方程(5)的解；

若p=3，则3φ(m)=S(3²⁴)=54，φ(m)=18，m=19，27，38，54，又因(m，p)=1，则n=p^rm=171，342，将其代入(6)式，经检验，n=171，342不满足(6)式，因此n=171，342不是方程(5)的解；

若p=5，则10φ(m)=S(5²⁴)=100，φ(m)=10，m=11，22，又因(m，p)=1，则n=p^rm=275，550，将其代入(6)式，经检验n=275，550满足(6)式，因此n=275，550是方程(5)的解；

若p=7，则21φ(m)=S(7²⁴)=147，φ(m)=7，由引理3，此时方程(5)无解；

若p=11，则55φ(m)=S(11²⁴)=242，φ(m)不是整数，此时方程(5)无解；

若p=13，则78φ(m)=S(13²⁴)=299，φ(m)不是整数，此时方程(5)无解；

若p=17，则136φ(m)=S(17²⁴)=391，φ(m)不是整数，此时方程(5)无解；

若p=19，则171φ(m)=S(19²⁴)=437，φ(m)不是整数，此时方程(5)无解；

若p=23，则253φ(m)=S(23²⁴)=529，φ(m)不是整数，此时方程(5)无解；

若p≥29，由引理2，则48p=2S(p²⁴)=p(p-1)φ(m)，即48=(p-1)φ(m)，而不存在p使得p≥29和48=(p-1)φ(m)同时成立，此时方程(5)无解.

情形3 当r=3时，(7)式为2S(p³⁶)=p²(p-1)φ(m)，(8)式为72≥p(p-1)，即p=2，3，5，7.

若p=2，则2φ(m)=S(2³⁶)=40，φ(m)=20，m=25，33，44，50，66，又因(m，p)=1，则n=p^rm=200，264，将其代入(6)式，经检验n=200，264不满足(6)式，因此n=200，264不是方程(5)的解；

若p=3，则9φ(m)=S(3³⁶)=78，φ(m)不是整数，此时方程(5)无解；

若p=5，则50φ(m)=S(5³⁶)=150，φ(m)=3，由引理3，此时方程(5)无解；

若p=7，则147φ(m)=S(7³⁶)=224，φ(m)不是整数，此时方程(5)无解.

情形4 当r=4时，(7)式为2S(p⁴⁸)=p³(p-1)φ(m)，(8)式为96≥p²(p-1)，即p=2，3.

若p=2，则4φ(m)=S(2⁴⁸)=52，φ(m)=13，由引理3，此时方程(5)无解；

若p=3，则27φ(m)=S(3⁴⁸)=99，φ(m)不是整数，此时方程(5)无解.

情形5 当r=5时，(7)式为2S(p⁶⁰)=p⁴(p-1)φ(m)，(4)式为120≥p³(p-1)，即p=2，3.

若p=2，则8φ(m)=S(2⁶⁰)=64，φ(m)=8，m=15，16，20，24，30，又(m，p)=1，则n=p^rm=480，将其代入(6)式，经检验n=480满足(6)式，因此n=480是方程(5)的解；

若p=3，则81φ(m)=S(3⁶⁰)=126，φ(m)不是整数，此时方程(5)无解.

情形6 当r=6时，(7)式为2S(p⁷²)=p⁵(p-1)φ(m)，(8)式为144≥p⁴(p-1)，即p=2.

若p=2，则16φ(m)=S(2⁷²)=76，φ(m)不是整数，此时方程(5)无解.

情形7 当r=7时，(7)式为2S(p⁸⁴)=p⁶(p-1)φ(m)，(8)式为168≥p⁵(p-1)，即p=2.

若p=2，则32φ(m)=S(2⁸⁴)=88，φ(m)不是整数，此时方程(5)无解.

情形8 当r=8时，(7)式为2S(p⁹⁶)=p⁷(p-1)φ(m)，(8)式为192≥p⁶(p-1)，即p=2.

若p=2，则64φ(m)=S(2⁹⁶)=100，φ(m)不是整数，此时方程(5)无解.

情形9 当r=9时，(7)式为2S(p¹⁰⁸)=p⁸(p-1)φ(m)，(8)式为216≥p⁷(p-1)，即p=2.

若p=2，则128φ(m)=S(2¹⁰⁸)=112，φ(m)不是整数，此时方程(5)无解.

情形10 当r≥10时，2^r-2≻24r，显然24pr≥p^r-1(p-1)不成立，此时方程(5)无解.

综上所述，可得Smarandache LCM函数的数论函数方程S(SL(n¹²))=φ₂(n)的正整数解为：n=275，550，480.

参考文献 (11)

姓名
	姓名不能为空！
邮箱
	邮箱不能为空！非法的邮箱地址。
手机号码
	电话不能为空！请输入有效手机号!
标题
	标题不能为空！
留言内容
	内容不能为空！
验证码
	验证码不能为空！验证码错误！

[1]	SMARANDACHE F. Only Problems, Not Solutions[M]. Chicago:Xiquan Publishing House, 1992.
[2]	潘承洞, 潘承彪.初等数论[M].北京:北京大学出版社, 1992.
[3]	doi: http://d.old.wanfangdata.com.cn/Periodical/xnnydxxb201202012 MA J P. An Equation Involving the Smarandache Function[J]. Journal of Scientia Magna, 2005, 1(2):89-90.
[4]	赵艳琳.有关Smarandache函数的方程和一类重要序列性质的研究[D].西安: 西北大学, 2010.
[5]	范盼红.关于F.Smarandache函数和欧拉函数的三个方程[J].黑龙江大学自然科学学报, 2012, 29(5):626-628. doi: http://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-HLDZ201205012.htm
[6]	唐刚.关于Smarandache函数和Euler函数的方程S(n¹¹)=φ(n)的解[J].阿坝师范高等专科学校学报, 2014, 31(2):119-121. doi: 10.3969/j.issn.1008-4142.2014.02.029
[7]	陈斌.一类Smarandache方程的可解性问题[J].数学杂志, 2013, 33(5):923-928. doi: 10.3969/j.issn.0255-7797.2013.05.024
[8]	赵院娥, 马彩艳, 祁兰.一类包含Smarandache函数方程φ(n)=S(n¹⁰)[J].延安大学学报(自然科学版), 2012, 31(2):3-7. doi: 10.3969/j.issn.1004-602X.2012.02.003
[9]	张利霞, 赵西卿, 郭瑞, 等.关于数论函数方程S(SL(n))=φ(n)的可解性[J].纯粹数学与应用数学, 2015, 31(5):533-536. doi: 10.3969/j.issn.1008-5513.2015.05.014
[10]	张利霞, 赵西卿, 郭瑞.关于数论函数方程S(SL(n))=φ₂(n)的可解性[J].江汉大学学报(自然科学版), 2016, 44(1):18-21. doi: http://d.old.wanfangdata.com.cn/Periodical/ccsxyyysx201505014
[11]	白继文, 赵西卿.关于数论函数方程S(SL(n²))=φ(n)的解[J].云南师范大学学报(自然科学版), 2017, 37(4):31-33. doi: 10.7699/j.ynnu.ns-2017-049

留言板

关于Smarandache LCM函数的数论函数方程S(SL(n^{11, 12}))=φ₂(n)的可解性

1.
华北水利水电大学数学与统计学院, 郑州 450046

2.
河南科技学院数学科学学院, 河南新乡 453003

作者简介:
袁合才(1978-), 男, 副教授, 主要从事微分方程、丢番图方程的研究 .

On the Solvability of the Arithmetic Function Equation S (SL (n^{11, 12}))=φ₂ (n) of Smarandache LCM Function

1.
School of Mathematics and Statistics, North China University of Water Resource and Electric Power, Zhengzhou 450046, China

2.
Department of Math., Henan Institute of Science and Technology, Xinxiang Henan 453003, China

计量

关于Smarandache LCM函数的数论函数方程S(SL(n^{11, 12}))=φ₂(n)的可解性

作者简介: 袁合才(1978-), 男, 副教授, 主要从事微分方程、丢番图方程的研究
1. 华北水利水电大学数学与统计学院, 郑州 450046

2. 河南科技学院数学科学学院, 河南新乡 453003

English Abstract

On the Solvability of the Arithmetic Function Equation S (SL (n^{11, 12}))=φ₂ (n) of Smarandache LCM Function

全文HTML

目录

留言板