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考虑下面的分数阶耦合系统：
其中：s∈(0，1)，2s＜N；(-Δ)s为分数阶Laplace算子，且p∈(2，2s*)，2s*=
$ \frac{2N}{N-2s}$ ；对于i=1，2，Vi(x)，λi(x)为正的有界连续函数；β＞0为耦合常数.这类系统广泛地出现在非线性光学、材料学和凝聚理论等领域中.当s=1，β=0时，系统(1)便退化成两个一般的Schrödinger方程，这类问题已经被广泛研究(参见文献[1-3]等).当s=1，p=4，Vi(x)和λi(x)为不同的正常数时，系统(1)便转化为一般的非线性Schrödinger耦合系统，其非平凡正解的存在性结果已经有很多了(参见文献[4-7]等)，特别是在文献[6-7]中，作者证明了对于一些常数β2＞β1＞0，当β1＞β＞0或β＞β2时，该Schrödinger系统存在非平凡正解.当β=0时，在不同的假设条件下，对于系统(1)中单个方程的非平凡解的存在性也被考虑(参见文献[8-11]等).近年来，文献[12]考虑了下面的耦合系统：在一定条件下，证明了系统(2)具有一系列低能量解的存在性结果.受文献[9-10, 12]的启发，本文利用(Ce)条件替代(PS)条件的山路定理、Nehari流形方法和集中紧性原理来研究系统(1)正基态解的存在性，主要困难在于解决缺失紧性和排除半平凡解(u，0)和(0，v).本文明显对文献[12]做了一定的推广，考虑带有多个不同周期函数的分数阶耦合系统正基态解的存在性，现陈述主要结果如下：
定理1 假设下列条件成立：
(H1) 2s＜N，s ∈(0，1)，p∈(2，2s*)，2s*=
$ \frac{2N}{N-2s}$ ，且β＞0；(H2) Vi(x)，λi(x) ∈C(
$ {{\mathbb{R}}^{N}}, \mathbb{R}$ )∩L∞($ {{\mathbb{R}}^{N}}$ )在每个x1，x2，…，xN上是1-周期函数；(H3)存在常数Vi，λi＞0，使得Vi(x)≥Vi，λi(x)≥λi(
$ \forall x\in {{\mathbb{R}}^{N}}$ )，且0＜λi*=$ \mathop {\sup }\limits_{x \in {\mathbb{R}^N}} {\mkern 1mu} {\lambda _i}\left( x \right)$ .则存在β*＞0，使得当β∈(β*，+∞)时，系统(1)有正基态解(u，v).注1 条件(H1)为引理4的证明提供了重要保证，当β＞0充分大时，系统(1)没有半平凡解.
为了方便，记C为不同的正常数，Lq(
$ {{\mathbb{R}}^{N}}$ )和L∞($ {{\mathbb{R}}^{N}}$ )中的范数分别记为‖·‖q和‖·‖∞，on(1)表示当n→+∞时的无穷小量，Br(x)表示一个球心在x∈$ {{\mathbb{R}}^{N}}$ 且半径为r＞0的开球.
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首先，回顾一下有关分数阶Laplace算子的基本概念.
对于s∈(0，1)，ζ=(ζ1，ζ2，…，ζN)，分数阶Laplace算子的可测函数u：
$ {{\mathbb{R}}^{N}}\to \mathbb{R}$ 定义为其中
记Hs(
$ {{\mathbb{R}}^{N}}$ )={u∈L2($ {{\mathbb{R}}^{N}}$ )：[u]s＜+∞}为关于下面范数的分数阶Sobolev空间：其中[u]s为关于函数u的Gagliardo半范数.同时，对
$ \forall u\in {{H}^{s}}\left( {{\mathbb{R}}^{N}} \right)$ ，有为简单起见，本文将忽略归一化常数，用Ei表示的分数阶Sobolev空间的内积定义如下：
相应的范数为
$ {{\left\| u \right\|}_{{{E}_{i}}}}^{2}={{\left( u, u \right)}_{{{E}_{i}}}}$ ，且Ei连续地嵌入到Lp($ {{\mathbb{R}}^{N}}$ )中，p ∈[2，2s*].记E=E1×E2，对∀(u，v)∈E，有此外，记E*为E的对偶空间.
为了考虑系统(1)的正基态解，在E上定义如下能量泛函：
易知，系统(1)的解与泛函Φ∈C2(E，
$ \mathbb{R}$ )的临界点一一对应.类似于文献[13-14]，定义与Φ相对应的Nehari流形如下：
并且在
$ \mathcal{N}$ 上，定义
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为了证明定理1，本节给出一些主要的引理.
引理1 假设条件(H1)-(H3)成立，则对∀z=(u，v)∈E\{(0，0)}，存在唯一的tz＞0，使得tzz∈
$ \mathcal{N}$ .证 对每个固定的z=(u，v)∈E\{(0，0)}，定义φ(t)=Φ(tz)(t∈[0，+∞))，则由φ′(t)=0知tz ∈
$ \mathcal{N}$ ，那么其中t ∈(0，+∞).由条件(H1)-(H3)知φ(0)=0.当t＞0充分小时，φ(t)＞0；当t＞0充分大时，φ(t)＜0.且(6)式右端是一个关于t的严格增函数.则易知存在唯一的tz＞0，使得φ(tz)=
$ \mathop {\max }\limits_{t \geqslant 0} {\mkern 1mu} $ φ(t)且φ′(tz)=0，也即是Φ(tzz)=$\mathop {\max }\limits_{t \geqslant 0} {\mkern 1mu} $ Φ(tz)且tzz∈$ \mathcal{N}$ .注2 在(H1)-(H3)成立的条件下，对∀(u，v)∈
$\mathcal{N}$ ，不难得到下列关系式成立：引理2(山路几何结构) 假设条件(H1)-(H3)成立，容易验证泛函Φ满足下列条件：
(ⅰ)存在常数ρ0，α＞0，如果‖(u，v)‖E=ρ0，则Φ(u，v)≥α；
(ⅱ)存在(u0，v0)∈E，使得‖(u0，v0)‖E＞ρ0且Φ(u0，v0)＜0.
在Φ满足引理2的条件下，由文献[15]知，存在一个(Ce)c′序列{(un，vn)}⊂E，使得：
其中
类似于文献[14]中引理2.4的证明，有
引理3 假设条件(H1)-(H3)成立，如果对任意的(Ce)c序列{(un，vn)}⊂E，满足：
则序列{(un，vn)}在E中有界.
证 设∀{(un，vn)}⊂E且满足(7)式，那么
即知{(un，vn)}是有界的.
引理4 假设条件(H1)-(H3)成立，如果(u，v)是系统(1)的正基态解，且存在正常数β*＞0，使得β＞β*时有u，v≢0.
证 运用文献[9-10]的证明思想，不难证得下列单个方程可以分别获得正基态解u0和v0：
为证引理4，只需证
由引理1知，存在常数t0＞0，使得(t0u0，t0v0)∈
$ \mathcal{N}$ ，有则
再由(4)，(5)，(9)式和φ(t)的定义可得
要证(8)式成立，即需证
注意到在(H1)的条件下，在(10)式中，当β→+∞时g(β)→0.则存在常数β*＞0，使得当β＞β*时(8)式成立.
定理1的证明 由引理3可知，存在有界的(Ce)c序列{(un，vn)}E满足(7)式.现假设
则由分数阶Sobolev空间的集中紧性原理(参见文献[9]中引理Ⅱ.4)，对∀p∈(2，2s*)，在Lp(
$ {{\mathbb{R}}^{N}}$ )×Lp($ {{\mathbb{R}}^{N}}$ )上有(un，vn)→(0，0)，那么矛盾，从而σ＞0.
必要时取子序列(仍记为{(un，vn)})，那么存在常数R＞0和{yn}⊂
$ {{\mathbb{Z}}^{N}}$ ，使得其中
又由Φ和
$ \mathcal{N}$ 的平移不变性知：必要时再取一个子序列，存在(
$ \tilde{u}, \tilde{v}$ )∈E使得则由(11)式可得(
$ \tilde{u}, \tilde{v}$ )≠(0，0)，再由一般的讨论方法知，Φ′($ \tilde{u}, \tilde{v}$ )=0，($ \tilde{u}, \tilde{v}$ )∈$ \mathcal{N}$ 且c≤Φ($ \mathcal{N}$ ).此外，由Fatou引理和条件(H2)有
那么c=Φ(
$ \tilde{u}, \tilde{v}$ )，又由引理4知，当β＞β*时，$ \tilde{u}, \tilde{v}$ ≢0.则($ \tilde{u}, \tilde{v}$ )是系统(1)的非平凡基态解.下面证明系统(1)存在正基态解.由引理1知，存在
$ {\tilde{t}}$ ＞0，使得：又由条件(H1)-(H3)、注2及泛函Φ的形式有
则(
$ \tilde{t}\left| {\tilde{u}} \right|, \tilde{t}\left| {\tilde{v}} \right|$ )=(u，v)是系统(1)的非平凡基态解.最后由强极大值原理(参见文献[16])可得，对∀x∈$ {{\mathbb{R}}^{N}}$ 都有u，v＞0.
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