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在本文中，设控制系统为
性能指标为
设
$\mathit{\boldsymbol{A}}( \bullet ) \in {L^\infty }\left( {[0, T];{\mathbb{R}^{n \times n}}}\right), $ $\mathit{\boldsymbol{B}}( \bullet ) \in {L^\infty }\left( {[0, T];{\mathbb{R}^{n \times m}}} \right),\mathit{\boldsymbol{R}}( \bullet ) \in {L^\infty }\left( {[0, T];{S^n}} \right), \mathit{\boldsymbol{M}}( \bullet ) \in {L^\infty }([0, T];{\mathbb{R}^{m \times n}}), $ $\mathit{\boldsymbol{N}}( \bullet ) \in {L^\infty }\left( {[0, T];{S^m}} \right), \mathit{\boldsymbol{G}} \in S_ + ^n$ 并且$\boldsymbol{R}(\bullet), \boldsymbol{M}(\bullet), \boldsymbol{N}(\bullet)$ 满足其中：Sn表示n×n阶对称矩阵全体，S+n表示n×n阶半正定对称矩阵全体.
设控制集U为
$\mathbb{R}^{m}$ 中的有界闭凸集，可行控制集$\mathscr{U}$ ad定义为由以上假设知
$J(\boldsymbol{u}(\bullet))$ 为凸函数.本文考虑的约束线性二次最优控制问题(CLQ)为：求u(·)∈
$\mathscr{U}_{a d}$ ，使得满足(2)式的u(·)和(1)式关于u(·)的解x(·)组成的(x(·)，u(·))称为最优对.
由Pontryagin最大值原理[1]，最优对(x(·，u(·))若存在，必满足一阶最优性条件：
其中
称为伴随方程.
在L2上定义范数‖·‖2和内积〈φ，ψ〉L2，
设
$\mathit{\boldsymbol{x}} \circ \mathit{\boldsymbol{u}}( \bullet )$ 为(1)式中微分方程关于u(·)的解，$\mathit{\boldsymbol{p}} \circ \mathit{\boldsymbol{u}}( \bullet )$ 为(4)式中伴随方程关于u(·)和$\mathit{\boldsymbol{x}} \circ \mathit{\boldsymbol{u}}( \bullet )$ 的解.定义映射$F\circ \bullet : \mathscr{U}_{a d} \longrightarrow L^{2}\left(0, T ; \mathbb{R}^{m}\right)$ 于是(3)式可转化为抽象变分不等式VI(F，
$\mathscr{U}_{a d}$ )：求解u∈$\mathscr{U}_{a d}$ 使得这样，一阶必要性条件可等价写成变分不等式VI(F，
$\mathscr{U}_{a d}$ )的形式，而在凸性的条件下，一阶必要条件为充要条件(定理2)，故可以将最优控制问题等价转化为变分不等式问题.进而利用变分不等式问题的Tikhonov正则化方法来证明CLQ问题的正则性.
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变分不等式是研究偏微分方程，最优控制等的工具.经过几十年的研究，变分不等式理论和算法得到了很好的完善和发展[2-4].在本节中我们列出本文用到的变分不等式理论中的相关结论.
定义1[2] 设X为Hilbert空间，其上赋予内积〈·，·〉X和范数‖·‖X. K为X中的非空闭凸子集，F：K→X为给定的映射，变分不等式问题VI(F，K)定义为：求解u∈K使得
定义2[2] 设K为Hilbert空间X中的非空闭凸子集，F：K→X称为
(i) 单调映射，若对于任意的u，v ∈K有
(ii) 强单调映射，若存在常数μ＞0，使得对任意的u，v ∈K有
引理1[2] 设K为Hilbert空间X中的非空有界闭凸集，若F：K→X连续且单调，则变分不等式VI(F，K)有解.此外，若F强单调，则变分不等式VI(F，K)有唯一解.
引理2[2] 设K为Hilbert空间X中的非空闭凸集，若F：K→X连续且强单调，则变分不等式VI(F，K)存在唯一解.
引理3[5] 设K为Hilbert空间X中的非空闭凸集，若F：K→X连续且单调，则u是变分不等式VI(F，K)的解当且仅当u是对偶变分不等式的解：求解u∈K使得
在变分不等式理论中，如果F只是单调的而不是强单调的，变分不等式的解可能不唯一.处理这类问题的思路之一是在F上增加扰动εI使它强单调，利用扰动强单调变分不等式的解来逼近原问题的解.于是学者们引入了变分不等式的Tikhonov正则化理论[6-9].
设K为Hilbert空间X中的非空闭凸集，F：K→X连续且单调，对任意的ε＞0，定义扰动变分不等式VI(F+εI，K)：求解uε∈K使得
称上述扰动问题为原问题的Tikhonov正则化问题.由假设，对任意的ε＞0，扰动变分不等式VI(F+εI，K)有唯一解uε.称集合{uε}ε＞0为原变分不等式VI(F，K)的Tikhonov正则化轨道.
下面这个定理说明扰动问题的解收敛到原问题的最小范数解.
定理1[2] 设K为Hilbert空间X中的非空闭凸集，若F：K→X连续且单调，且变分不等式VI(F，K)的解集非空，则
(i)‖uε‖X≤‖u‖X，其中u为变分不等式VI(F，K)的最小范数解；
(ii) uε在X上收敛于u.
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首先证明在一定的条件下，一阶最优性条件(3)和CLQ问题(2)等价.
定理2 若存在可行控制u(·)∈
$\mathscr{U}_{a d}$ 满足一阶最优性条件(3)，则u(·)为CLQ问题(2)的最优控制.证 由于U为
$\mathbb{R}^{m}$ 中的闭凸集，容易验证$\mathscr{U}_{a d}$ 为L2(0，T；$\mathbb{R}^{m}$ )中的闭凸集.对任意的可行控制u(·)∈$\mathscr{U}_{a d}$ ，定义其中λ∈(0，1).设xλ(·)为微分方程(1)关于uλ(·)的解，并记
$\delta \mathit{\boldsymbol{x}}(\mathit{\boldsymbol{ \bullet }}) = {\mathit{\boldsymbol{x}}^\lambda }(\mathit{\boldsymbol{ \bullet }}) - \mathit{\boldsymbol{\bar x}}(\mathit{\boldsymbol{ \bullet }})$ ，则δx(·)满足设p（t）为如下方程的解
由J(u(·))为凸函数可得
令λ→0+，得到J(u(·))-J(u(·))≥0.由u(·)∈
$\mathscr{U}_{a d}$ 的任意性，u(·)为CLQ问题(2)的最优控制.定理3 设F为(4)式中定义的映射，则存在常数L≥0使得
并且，
证 对任意u1，u2∈
$\mathscr{U}_{a d}$ ，记其中x1(·)，x2(·)为方程(1)关于u1(·)，u2(·)的解，记δp(·)=p1(·)-p2(·)，其中p1(·)是方程(6)关于(x1(·)，u1(·))的解，p2(·)是方程(6)关于(x2(·)，u2(·))的解.
由关于δx(·)的微分方程的先验估计，存在常数C1≥0使得
类似地，由关于δp(·)的微分方程解的先验估计，存在常数C2≥0使得
由(10)，(11)式可得，存在常数L≥0使得
于是(8)式成立，下面证明(9)式.
由于δx(t)满足微分方程
并且p2(t)满足
类似于前面的推导过程，可得
令λ→0+，得到
相应地，可得
结合(14)，(15)式，可得
即F单调.
下面研究CLQ问题的Tikhonov正则化.设ε＞0，定义关于性能指标的Tikhonov正则化扰动
则CLQ问题的Tikhonov正则化扰动问题(TRCLQ)为：求uε(·)∈
$\mathscr{U}_{a d}$ ，使得由前面的讨论， uε(·)是扰动问题(16)的解当且仅当uε(·)满足一阶最优性条件：
进一步，一阶最优条件(17)可转化为变分不等式问题VI(F+εI，
$\mathscr{U}_{a d}$ )：求解uε(·)∈$\mathscr{U}_{a d}$ 使得其中F由(5)式定义.
下面证明CLQ问题的Tikhonov正则化轨道{uε}ε＞0收敛.
定理4设控制集U是
$\mathbb{R}^{m}$ 中的紧凸集，则CLQ问题(2)有唯一最小范数解，并且其Tikhonov正则化扰动问题(16)的解收敛到原问题的最小范数解.证 U是
$\mathbb{R}^{m}$ 中的紧凸集，则可行控制$\mathscr{U}_{a d}$ 是L2(0，T；$\mathbb{R}^{m}$ )中的弱紧凸集.由定理3可以知道F单调，由引理1，变分不等式VI(F，$\mathscr{U}_{a d}$ )解集非空闭凸.故VI(F，$\mathscr{U}_{a d}$ )有唯一最小范数解.由定理2，VI(F，$\mathscr{U}_{a d}$ )的最小范数解也是CLQ问题的最小范数解.因此CLQ问题(2)有唯一最小范数解. Tikhonov正则化扰动问题(16)的解收敛到原问题的最小范数解直接由定理1得到.
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