令J=[0, 1]，J₀=[0，t₁]，J_i=(t_i，t_i+1]，i=1，2，…，p-1，J_p=(t_p，1]，D=[t₁，t₂，…，t_p]∈(0，1)，J^′=J\D.并且PC[J，ℝ]={u|u: J→ℝ，u∈C[0，t₁]∪C(t_k，t_k+1]；u(t_k⁺)和u(t_k^-)都存在，且u(t_k)=u(t_k^-)(1≤k≤p)}，其中${\left\| u \right\|_{PC}} = \mathop {\sup }\limits_{t \in J} |u(t)|$.

定义1^[14]  函数f∈[0，∞)R的α＞0阶Riemann-Liouville积分

叫作函数f(t)的α次积分.若函数f(t) n阶可导，则对f(t)的α次Caputo导数定义如下:

其中n=[α]+1.

引理1^[14]  令α＞0，则₀I_t^α₀^CD_t^αh(t)=h(t)+c₀+c₁t+…+c_n-1t^n-1，其中c_i为常数，n=[α]+1.

引理2^[15]  E⊂PC(J，ℝ)是相对紧的当且仅当任何函数u(t)∈E在J上一致有界，且在J_k(k=1，2，…，p)上是等度连续的.

引理3^[16]  若E是Banach空间，假设Ω⊂E为有界的开集，且θ∈Ω，令T: Ω→E是全连续算子，满足∀u∈∂Ω，‖Tu‖≤‖u‖，则T在Ω上有不动点.

引理4^[16]  若E是Banach空间，假设T: E→E是全连续算子，且V={u∈E|u=μTu，0＜μ＜1}有界，则T在E上有不动点.

引理5  假设y: [0, 1]→ℝ是连续函数，且1＜α＜2，则分数阶脉冲微分方程混合边值问题

等价于非线性积分方程

证  必要性

假设u(t)是方程(1)的解，当t∈J_k时，对方程(1)中的第一个方程两边同时取α次积分，再由引理1，对a_k，b_k∈ℝ(k=0，1，…，p)，有

再由t₀=0，t_p=1，以及u(0)+u′(1)=0，u′(0)+u(1)=0，可得

又因为Δu′(t_k)=J_k(u(t_k))=u′(t_k⁺)-u′(t_k^-)=b_k-b_k-1，Δu(t_k)=I_k(u(t_k))=u(t_k⁺)-u(t_k^-)，得

将(6)，(7)式代入(4)，(5)式，且两式相减，可得

将(8)，(9)式代入(6)，(7)式，得

因此，对k=0，1，…，p-1，当t∈(t_k，t_k+1]时，有

则必要性成立.另外，对积分方程两边分别求α次分数阶导数，易知其满足方程(1)，充分性成立.

定义算子A: PC(J，ℝ)→PC(J，ℝ)，令算子

在引理5中，令y(t)=f(t，u(t))，则分数阶脉冲微分方程混合边值问题的解可以转化为Au=u，分数阶脉冲微分方程(1)有解当且仅当A有不动点.

定理1  若满足以下条件:

(H₁) $\mathop {\lim }\limits_{u \to 0} \frac{{f(t, u)}}{u} = 0, \mathop {\lim }\limits_{u \to 0} \frac{{{I_k}(u)}}{u} = 0, \mathop {\lim }\limits_{u \to 0} \frac{{{J_k}(u)}}{u} = 0$.

则分数阶脉冲微分方程混合边值问题(1)至少存在1个解.

证  令Ω⊂PC(J，ℝ)有界.由于f，I_k和J_k在J上连续，所以A连续.由于Ω有界，则对∀u∈Ω，存在常数L₁＞0，L₂＞0，使得|f(t，u)|≤L₁，|I_k(u)|≤L₂，|J_k(u)|≤L₃，所以

即算子A在Ω上有界.

对∀u∈PC(J，ℝ)，∀t，τ∈J_k，k=0，1，…，p，当t→τ时，|(Au)(t)-(Au)(τ)|→0，即A等度连续.再由引理2知，算子A是定义在Ω上的全连续算子.

由条件(H₁)知，存在ε₁＞0，ε₂＞0，ε₃＞0和常数C，对∀t∈J，当‖u‖≤R时，有

且使得$\frac{{3(1 + \alpha )}}{{\mathit{\Gamma }(\alpha + 1)}}{\varepsilon _1}$+4pε₂+7pε₃≤1成立.令Ω={u∈PC(J，ℝ)|‖u‖≤r}，取u∈PC(J，ℝ)且‖u‖=r，即u∈∂u，有|f(t，u)|≤ε₁|u|，|I_k(u)|≤ε₂|u|，|J_k(u)|≤ε₃|u|.所以

即对∀u∈∂u，‖Au‖≤‖u‖.由引理3知，分数阶脉冲微分方程混合边值问题(1)至少存在1个解u∈Ω.

定理2  若满足以下条件:

(H₂)对∀t∈J_k，u∈PC(J，ℝ)，若存在常数L₁，L₂，使得|f(t，u)|≤L₁，|I_k(u)|≤L₂，|J_k(u)|≤L₃.

则分数阶脉冲微分方程混合边值问题(1)至少有1个解.

证  令

则对∀u∈V，以及∀t∈J_k，有

则对∀t∈J，有‖u‖≤$\frac{{3\mu {L_1}(1 + \alpha )}}{{\mathit{\Gamma }(\alpha + 1)}}$+4μpL₂+7μpL₃.所以集合V有界.再由定理1可知，A是全连续算子.故由引理4可知，算子A在PC(J，ℝ)上至少有1个不动点，则分数阶脉冲微分方程混合边值问题(1)至少有1个解.

定理3  若满足以下条件:

(H₃)对∀t∈J，∀u，v∈PC(J，ℝ)，存在非负常数l_k(k=1，2)，满足∀t_k∈J，有

(H₄)存在非负连续函数L(t)，使得∀u，v∈PC(J，ℝ)，有|f(t，u)-f(t，v)|≤L(t)|u-v|.且对∀t∈J，有$\frac{{3(1 + \alpha )}}{{\mathit{\Gamma }(\alpha + 1)}}$L(t)+4pl₁+7pl₂＜1.

则方程(1)有唯一的解.

证  对∀u(t)，v(t)∈Ω，有

因此

由条件可知

所以A是压缩映像.故A有唯一的不动点，即混合边值问题(1)有唯一的解.

对∀u(t)，v(t)，∀t∈[0, 1]，有

显然，对u∈[0，+∞)及∀t∈[0，1]，有

取l₁=$\frac{1}{25}$，l₂=$\frac{1}{49}$，因为1.33＜Γ(2.5)＜1.34，则

定理3中的所有假设满足，所以方程(12)有唯一解.