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设X为无限维可分的Banach空间，U，V⊂X为任意非空开集.如果存在n≥0，使得Tn(U)∩V≠∅，则称算子T是拓扑传递的.如果T⊕T是拓扑传递的，则称T是弱混合的.如果存在N≥0，使得对∀n≥N，有Tn(U)∩V≠∅，则称T是混合的.设
$A \subset \mathbb{N}_{+}$ ，如果序列(nk)k⊂A单增，且$\sup\limits_{k \geqslant 1}(n_{k+1}-n_{k} )<\infty$ ，则称A为syndetic集. A为syndetic集等价于$\mathbb{N}_{+} \backslash A$ 中的连续整数区间的长度是有限的.类似地，$M \subset \mathbb{R}_{+}$ 是syndetic集等价于M的补集$\mathbb{R}_{+} \backslash M$ 包含的区间长度是有限的.文献[1]提出了频繁超循环算子这一概念.设$A \subset \mathbb{N}_{+}$ ，A的下密度被定义为：如果存在x∈X(频繁超循环向量)，使得dens(N(x，U))＞0，则称T为频繁超循环的.关于它的更多研究结果详见文献[2-4].文献[5]首次提出了C0-半群的超循环性.如果X上的算子族(Tt)t≥0满足：T0=I；对∀s，t＞0有Tt+s=TsTt；对∀x∈X，t≥0，有
$\lim\limits_{s \rightarrow t} T_{s} x=T_{t} x$ ，则称(Tt)t≥0为C0-半群.如果存在t≥0，使得Tt(U)∩V≠∅，则称(Tt)t≥0是拓扑传递的.如果(Tt⊕Tt)t≥0是拓扑传递的，则称(Tt)t≥0是弱混合的.如果存在t0≥0，使得对∀t≥t0，有Tt(U)∩V≠∅，则称(Tt)t≥0是混合的.文献[6]将频繁超循环性引入到C0-半群.设$M \subset \mathbb{R}_{+}$ 为可测集，M的下密度定义为其中μ为
$\mathbb{R}_{+}$ 上的Lebesgue测度.令(Tt)t≥0为C0-半群，如果存在x∈X(频繁超循环向量)，使得dens{R(x，U)}＞0，其中$R(x, U)=\left\{t \in \mathbb{R}_{+} : T_{t}(x) \in U\right\}$ ，则称(Tt)t≥0为频繁超循环半群.学者们常常利用偏微分方程的解半群来探索PDE的本质.因此一些特定的PDE的解半群的性质研究得到了更多的青睐[7-8]，在生物、物理、化学、工程等领域都有重要的应用[9-11].
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文献[12-13]利用回复集刻画了算子的弱混合性.类似地，文献[14-15]证明了C0-半群(Tt)t≥0的弱混合性等价于对任意的非空开集U，V⊂X和0-邻域集W，有R(U，W)∩R(W，V)≠∅，其中R(U，W)={t≥0：Tt(U)∩W≠∅}.本文的定理1将Erdös-Sárközy定理推广到了正实数集合上.
定理1 设
$M \subset \mathbb{R}_{+}$ 有正的下密度，则D=M-M={n-m：n，m∈M，n≥m}是syndetic集.证 若D不是syndetic集，则存在
$\left(n_{k}\right)_{k} \subset \mathbb{R}_{+}$ ，使得对$\forall k \in \mathbb{N} $ 都有$t_{1}+t_{2}+\cdots+t_{k} \in \mathbb{R}_{+} \backslash D$ .因为dens(M)＞0，所以对∀m＞0，都有令
则
对∀k≤m，存在N≥1，使得
$\mu\left(M_{k} \cap[0, N]\right)>\frac{N+1}{m}$ .设Mj∩Mk=∅(k=1，…，m)，从而矛盾.因此，存在j＜k，使得Mj∩Mk≠∅，tj+1+…+tk∈D，这与tk的选取矛盾，所以M-M是syndetic集.
利用定理1的结论，我们得到了频繁超循环C0-半群的弱混合性质：
定理2 Fréchet空间X上的频繁超循环C0-半群是弱混合的.
证 设W为0-邻域集，U，V⊂X为非空开集，(Tt)t≥0为X上的频繁超循环C0-半群，则存在非空开集U0⊂U，使得Tt0(U0)⊂W.因为(Tt)t≥0是频繁超循环的，则存在t0≥0，使得Tt0(U)∩W≠∅.设x是频繁超循环向量，则存在
$M \subset \mathbb{R}_{+}$ ，dens(M)＞0，使得Tt(x)∈U0(∀t∈M).又对∀t，s∈M，t＞s，有Tt0+t-s(Tsx)=Tt0(Ttx)∈W，从而则dens(R(U，W))＞0，故R(U，W)是syndetic集.因为(Tt)t≥0为C0-半群，则T-t(W)是0-邻域集，即对∀k≥0，存在0-邻域集W0，使得Tt(W0)⊂W(0≤t≤k).由拓扑传递性知，存在s＞k，y∈W0，使得Ts(y)∈V，所以对∀0≤t≤k，有
即对∀k≥0，R(W，V)包含了长度为k的区间，所以R(U，W)∩R(W，V)≠∅，(Tt)t≥0是弱混合的.
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可分的Fréchet空间上满足频繁超循环准则的算子是拓扑混合的[3]，这一结论在C0-半群上也成立.
定理3 设X为可分Fréchet空间，(Tt)t≥0为C0-半群，如果(Tt)t≥0满足频繁超循环准则，即存在X0⊂X，且X0稠密，和一列映射St：X0X(t＞0)，使得对∀x∈X0，有
(ⅰ) TtStx=x，TtSrx=Sr-tx(r＞t＞0)；
(ⅱ)
$t \longmapsto T_{t} x \mathrm{d} t$ 和$t \longmapsto S_{t} x \mathrm{d} t$ 在[0，+∞)上是Pettis可积的.则对∀x∈X0，当t→+∞时，有Ttx→0，Stx→0.
证 对任意有界线性泛函φ∈X*，∀x∈X0，有φ(Ttx)→0.否则，存在ε0＞0和
$\left(t_{n}\right)_{n} \in \mathbb{R}_{+}$ ，使得矛盾.
设X0=(yl)l⊂X稠密且可数，则存在
$\left\{N_{l}\right\}_{l \in \mathbb{N}} \subset \mathbb{N}$ 单增，对∀λ≤l和紧集K⊂[Nl，+∞)，有令
则
$\left\|T_{n+1} x-u_{l}\right\|<\frac{4}{2^{l}}$ [16].因(ul)l⊂X的稠密性，则对∀ε＞0，Ttx∈X，存在uli，使得‖Ttx-uli‖＜ε.从而存在ul1，ul2，当l1，l2充分大时，有故存在N＞0，当s，t＞N时，有
因此(Ttx)t依范数收敛.由极限的唯一性知Ttx→0(∀x∈X0).
对∀x∈X0，有Srx∈X，X0⊂X稠密，则对∀δ＞0，存在xδ∈X0，使得‖Srx-xδ‖＜δ.因Tr-t是连续的，故对∀ε0＞0，存在δ0(xδ=xδ0)，当‖Srx-xδ0‖＜δ0时，有‖Tr-t(Srx-xδ0)‖＜ε0.易知‖Tr-txδ0‖＜ε0，于是
故Stx→0(∀x∈X0).
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