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近年来，破产概率是风险理论研究中的热门话题，越来越多学者开始研究各种风险模型下的破产概率、利率等问题[1-11].文献[9]考虑带借贷的理赔为单复合泊松模型的风险模型，文献[2]研究带借贷及干扰的理赔为双复合泊松模型的风险过程，获得积分微分方程. Poisson分布的重要特征是方差等于均值，但是索赔事件和风险事件不是等价的，实际生活中，保险公司和投保人提高了风险意识，保险公司采用回避风险机制，如免赔制度、无赔款折扣(NCD)制度，所以事故发生时，投保人会权衡其利益得失而决定是否进行索赔，从而理赔次数小于事故发生次数，因此索赔次数并不完全遵循Poisson分布，文献[3-5]对该问题进行了研究，考虑索赔次数为复合Poisson-Geometric风险过程，得到破产概率的积分方程.本文推广上述风险模型，引入双复合Poisson-Geometric风险过程，并用布朗运动描述不确定的付款和收益的影响，同时考虑借贷因素，即研究带借贷及干扰的双复合Poisson-Geometric模型.
记
其中：u是初始准备金，c是保险公司单位时间征收的保险费率；{X，Xi，i=1，2，…}是期望为μ1的独立同分布的非负随机变量序列，X表示A险种的理赔额，其分布为G(x)，密度函数为g(x)，且G*k(x)，g*k(x)分别为G(x)，g(x)的k重卷积；{N1(t)，t≥0}是参数为(λ1，ρ1)的Poisson-Geometric过程，表示到时刻t为止A险种理赔发生的次数；{Y，Yj，j=1，2，…}是期望为μ2的独立同分布的非负随机变量序列，Y表示B险种的理赔额，其分布为F(x)，密度函数为f(x)，且F*k(x)，f*k(x)分别为F(x)，f(x)的k重卷积；{N2(t)，t≥0}是参数为(λ2，ρ2)的Poisson-Geometric过程，表示到时刻t为止B险种理赔发生的次数；{B(t)，t≥0}是一标准布朗运动，表示不确定的付款和收入，σ是一常数；由于各个保险过程和理赔是相互独立的，设{Xi，i=1，2，…}，{Yj，j=1，2，…}，{N1(t)，t≥0}，{N2(t)，t≥0}以及{B(t)，t≥0}是相互独立的.
为了使模型更具有实际意义，假设当保险公司财政赤字时，即盈余是负的，可以允许其以利息力δ＞0进行借贷并继续经营其业务，保险公司通过它的保费收入来偿还其债务，然而当公司的盈余低于
$ - \frac{c}{\delta }$ 时，绝对破产出现.带借贷的双复合Poisson-Geometric模型风险过程，即
其中：I(A)是集合A上的示性函数，设Tδ表示风险模型(2)的破产时刻，
${T_\delta } = \inf \left\{ {t \ge 0:{U_\delta }(t) < - \frac{c}{\delta }} \right\}$ 且约定infϕ=∞；ψ(u)表示模型(2)中初始资本为u的无限时破产概率，即当盈余处于不同水平时，破产概率符合不同的积分微分方程，为了研究问题的方便，当u≥0时，记ψ(u)=ψ+(u)；当
$ - \frac{c}{\delta }$ ＜u＜0时，记ψ(u)=ψ-(u).设T表示风险模型(1)的破产时刻，T= inf{t≥0：U(t)＜0}；ϕ(u)表示风险模型(1)中初始资本为u的无限时破产概率，即
显然当u≥0时，T≤Tδ，ψ+(u)≤ϕ(u)且
$\mathop {\lim }\limits_{u \to + \infty } $ ψ+(u)=0及0＜ψ+(u)≤ϕ(u)＜1.由[5,13]可知，导致破产出现有两种可能.一种是由于理赔引起的，ψs(u)表示破产是由理赔引起的破产概率；另一种是由于扰动引起的，ψd(u)表示破产是由扰动引起的破产概率.因此无限时破产概率有以下分解：
而且，
类似地，当u≥0时，记ψs+=ψs(u)，ψd+=ψd(u)；当
$ - \frac{c}{\delta }$ ＜u＜0时，记ψs-=ψs(u)，ψd-=ψd(u).同样地，定义有限时破产所有变量ψ(u，t)，ψs(u，t)，ψd(u，t)， ψs-(u，t)，ψs+(u，t)，ψd-(u，t)，ψd+(u，t).
为了保证保险公司的稳定经营，假定保费收入的期望值大于总的理赔的均值，由此定义安全负荷条件为
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定义1 称母函数
$G(t) = {{\rm{e}}^{\frac{{\lambda (t - 1)}}{{1 - \rho t}}}}$ 所对应的分布为复合Poisson-Geometric分布，记为PG(λ，ρ)，其中λ＞0，0≤ρ＜1.引理1[6] 当ρ=0时，PG(λ，ρ)是参数为λ的Poisson分布.
引理2[6] 对t＞0，若N(t)服从PG(λt，ρ)分布，则
引理3[6] 若{Ni(t)；t≥0}，是参数为λi，ρi的Poisson-Geometric过程，记
${\alpha _i} = \frac{{{\lambda _i}\left( {1 - {\rho _i}} \right)}}{{{\rho _i}}}$ (若ρi=0，则取αi=λi)，则当t足够小时有其中
且
$\sum\limits_{k = 0}^\infty {A_k^i} (t)$ 一致收敛，i=1，2，o(t)与k无关.
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定理1 假设ψs(u)是二次连续可微的，当u≥0时，则ψs(u)符合下面积分微分方程：
当
$ - \frac{c}{\delta }$ ＜u＜0时，则ψs(u)符合下面积分微分方程：边界条件为
其中
证 当u≥0时，令
则
且
由伊藤积分公式有
即
所以
在充分小的时间段(0，t]内，考虑(2)式定义的风险过程Uδ(t).既然N1(t)和N2(t)都是Poisson-Geometric过程，则在(0，t]有以下4种可能情况：
1) N1(t)和N2(t)都没有跳跃，即没有保单到达，也没有索赔发生，其发生的概率为(1-λ1 t+o(t))(1-λ2 t+o(t)).
2) N1(t)至少有一个跳跃，且N2(t)没有跳跃，其发生的概率为(1-λ2 t+o(t))
$\sum\limits_{k = 1}^\infty$ [α1ρ1k t+Ak1(t)o(t)].3) N1(t)没有跳跃，且N2(t)至少有一跳跃，其发生的概率为(1-λ1 t+o(t))
$\sum\limits_{k = 1}^\infty$ [α2ρ2k t+Ak2(t)o(t)].4) N1(t)(或者N2(t))至少有两个跳跃或者N1(t)和N2(t)同时有跳跃，其发生的概率为o(t).
因此
整理可得
在(7)式两边同时除以t，令t→0，同时利用(6)式则有
其中
所以(3)式成立.
当
$ - \frac{c}{\delta } < u < 0$ 时，令Y(t)=ueδt+ct+σBt，则Y(0)=u及dY(t)=(uδeδt+c)dt+σdBt.由伊藤积分公式有：
即
所以
利用同u≥0时的讨论方法可得：
整理可得
在(9)式两边同时除以t，令t→0，同时利用(8)式则有(4)式成立.
在(4)式中，令
$u \to - \frac{c}{\delta }$ ，得边界条件(5)式中的第2式.注1 当ρi=0时，αi=λi，i=1，2，(3)，(4)式分别退化为文献[2]中的(3)，(4)式.
定理2 假设ψd(u)是二次连续可微的，当u≥0时，则ψd(u)符合下面积分微分方程：
当
$ - \frac{c}{\delta } < u < 0$ 时，ψd(u)符合下面积分微分方程：边界条件为
其中
证 类似于定理1.
注2 当ρi=0时，αi=λi，i=1，2，(10)，(11)式分别退化为文献[2]中的(10)，(11)式.
推论1 在定理1和定理2的条件下，当u＞0时，ψ(u)符合下面的积分微分方程：
当
$ - \frac{c}{\delta } < u < 0$ 时，则ψ(u)符合下面积分微分方程：边界条件为
其中
证
因此，根据(3)式和(10)式得(13)式，根据(4)式和(11)式得(14)式，根据(5)式和(12)式得(15)式.
注3 当ρi=0时，αi=λi，i=1，2，(13)，(14)及(15)式分别退化为文献[2]中的(13)，(14)及(15)式.
定理3 假设ψs(u，t)对u是二次连续可微的，对t是一次连续可微的.当u≥0时，ψs(u，t)符合下面的偏微分积分方程：
当
$ - \frac{c}{\delta } < u < 0$ 时，则ψs(u，t)符合下面积分微分方程：边界条件为
其中
注4 当ρi=0时，αi=λi，i=1，2，(16)，(17)式分别退化为文献[2]中的(23)，(24)式.
证 当u≥0时，令H(t)=u+ct+σB(t)，则H(0)=u且dH(Δ)=cdΔ+σdBΔ.
由伊藤积分公式有
所以
在充分小的时间段(0，Δ]内，考虑(2)式定义的风险过程.首先研究索赔引起的有限时破产概率ψs(u，t)，由全概公式整理可得
在(20)式两边同时除以Δ，令Δ→0，同时利用(19)式得(16)式.
当
$ - \frac{c}{\delta } < u < 0$ 时，令Y(t)=ueδt+ct+σBt，则Y(0)=u及dY(Δ)=(uδeδΔ+c)dΔ+σdBΔ.由伊藤积分公式可得利用同u≥0时讨论的方法得
在(22)式两边同时除以Δ，令Δ→0，同时利用(21)式得(17)式.
注5
${\left. {\frac{{\partial {\psi _s}(u, t)}}{{\partial t}}} \right|_{t = \infty }}$ ，当t→∞时，(16)式即为(3)式，(17)式即为(4)式.定理4 假设ψd(u，t)对u是二次连续可微的，对t是一次连续可微的.当u≥0，ψs(u，t)符合下面的偏微分积分方程：
当
$ - \frac{c}{\delta } < u < 0$ 时，则ψd(u，t)符合下面积分微分方程：边界条件为
其中
注6
${\left. {\frac{{\partial {\psi _d}(u, t)}}{{\partial t}}} \right|_{t = \infty }}$ =0，当t→∞时，(23)式即为(10)式，(24)式即为(11)式.注7 当ρi=0时，αi=λi，i=1，2，(23)，(24)式分别退化为文献[2]中的(30)，(31)式.
推论2 在定理3和定理4条件下，当u≥0，ψ(u，t)符合下面的偏微分积分方程：
当
$ - \frac{c}{\delta } < u < 0$ 时，则ψ(u，t)符合下面积分微分方程：边界条件为
其中
注8
${\left. {\frac{{\partial \psi (u, t)}}{{\partial t}}} \right|_{t = \infty }}$ =0，当t→∞时，(25)式即为(13)式，(26)式即为(14)式.注9 当ρi=0时，αi=λi，i=1，2，(25)，(26)式分别退化为文献[2]中的(32)，(33)式.
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