收敛性是L-拓扑空间中的重要性质，文献[1-3]在L-拓扑空间中建立了不同的收敛性.作为L-拓扑空间的推广，文献[4]建立了Lω-空间，随后讨论了Lω-空间的多种拓扑性质^[5-6].借助于L-拓扑空间中β开集^[7-8]等概念，文献[9]在Lω-空间中建立了ωβ-连通性理论.本文进一步在Lω-空间中建立分子网的ωβ-收敛性理论，讨论了其基本性质，并给出了相关应用.

在本文中，L为fuzzy格，M和M_i分别表示L和L_i(i=1，2)中所有分子(即非零并既约元)所成之集合. L^X表示定义在非空集合X上，取值于L的所有L-fuzzy集合构成的集族，1和0分别表示L^X中的最大元和最小元，M^*(L^X)表示L^X中所有分子所成的集合.其它相关概念可参见文献[10-11].

定义1  设(L^X，Ω)为Lω-空间，A∈L^X，

(a) 如果A≤ωcl(ωint(ωcl(A)))，则称A为ωβ-开集；

(b) 如果A≥ωint(ωcl(ωint(A)))，则称A为ωβ-闭集.

ωβO(L^X)和ωβC(L^X)分别表示ωβ-开集和ωβ-闭集的全体.显然，A∈ωβO(L^X)当且仅当A′∈ωβC(L^X).

定义2  设(L^X，Ω)为Lω-空间，A，B∈L^X.记

分别称ωβint(A)和ωβcl(A)为A的ωβ-内部和ωβ-闭包.

定理1  设(L^X，Ω)为Lω-空间，A∈L^X，则：

(ⅰ) A为ωβ-开集当且仅当A=ωβint(A)；

(ⅱ) A为ωβ-闭集当且仅当A=ωβcl(A)；

(ⅲ) ωβcl(A′)=(ωβint(A))′，ωβint(A′)=(ωβcl(A))′.

定义3  设(L^X，Ω)为Lω-空间，x_α∈M^*(L^X)，P∈ωβC(L^X).如果x_a$\nleq$P，则称P为x_α的ωβ-闭远域.令ωβη^-(x_α)表示x_α的所有ωβ-闭远域构成的集族.

定义4  设(L^X，Ω)为Lω-空间，x_α∈M^*(L^X)，N={N(n)∈M^*(L^X)：n∈D}是L^X中的分子网，

(a) 如果∀P∈ωβη^-(x_α)，存在m∈D，当n≥m时，N(n)$\nleq$P，则称x_α为N的ωβ-极限点，记作N→_ωβ x_α，N的所有ωβ-极限点的并记为ωβ-lim N；

(b) 如果∀P∈ωβη^-(x_α)及∀m∈D，存在n∈D，n≥m，使得N(n)$\nleq$P，则称x_α为N的ωβ-聚点，记作N∝_ωβ x_α，N的所有ωβ-聚点的并记为ωβ-ad N.

由定义4，N的ωβ-极限点必是ωβ-聚点，从而ωβ-lim N≤ωβ-ad N.

定理2  设(L^X，Ω)为Lω-空间，x_α∈M^*(L^X)，N={N(n)∈M^*(L^X)：n∈D}是L^X中的分子网，则：

(ⅰ) N→_ωβ x_α当且仅当x_α≤ωβ-lim N；

(ⅱ) N∝_ωβ x_α当且仅当x_α≤ωβ-ad N.

证 (ⅰ)假设N→_ωβ x_α，由定义4，x_α≤ωβ-lim N.

反之，如果x_α≤ωβ-lim N，任取P∈ωβη^-(x_α)，则ωβ-lim N$\nleq$P.存在N的ωβ-极限点e，使得e$\nleq$P，即P∈ωβη^-(e).于是，存在m∈D，当n∈D，n≥m时，N(n)$\nleq$P.则N→_ωβ x_α.

(ⅱ)类似于(ⅰ).

定理3  设(L^X，Ω)为Lω-空间，x_α∈M^*(L^X)，N={N(n)∈M^*(L^X)：n∈D}和T={T(n)∈M^*(L^X)：n∈D}是L^X中的分子网，且对∀n∈D，N(n)≤T(n).则：

(ⅰ)如果N→_ωβ x_α，则T→_ωβ x_α；

(ⅱ)如果N∝_ωβ x_α，则T∝_ωβ x_α.

定理4  设(L^X，Ω)为Lω-空间，x_α∈M^*(L^X)，N={N(n)∈M^*(L^X)：n∈D}是L^X中的分子网，则：

(ⅰ) N→_ωβ x_α当且仅当∀e∈β^*(x_α)，N→_ωβ e；

(ⅱ) N∝_ωβ x_α当且仅当∀e∈β^*(x_α)，N∝_ωβ e.

证 (ⅰ)设N→_ωβ x_α，e∈β^*(x_α).任取P∈ωβη^-(e)，因e≤x_α，x_α$\nleq$P，即P∈ωβη^-(x_α)，存在m∈D，当n∈D，n≥m时，N(n)$\nleq$P.从而N→_ωβ e.

反之，设x_α不是N的ωβ-极限点.存在P∈ωβ^-(x_α)，对于所有m∈D，能找到n∈D，n≥m，有N(n)≤P.另一方面，由x_α=∨β^*(x_α)，存在e∈β^*(x_α)，e$\nleq$P.于是P∈ωβη^-(e)，但e不是N的ωβ-极限点.

(ⅱ)类似于(ⅰ).

定理5  设(L^X，Ω)为Lω-空间，x_α∈M^*(L^X)，N={N(n)∈M^*(L^X)：n∈D}是L^X中的分子网，则：

(ⅰ) N∝_ωβ x_α当且仅当N存在子网T，T→_ωβ x_α；

(ⅱ) N→_ωβ x_α，则对N的任意子网T，T→_ωβ x_α.

证 (ⅰ)设N∝_ωβ x_α，则对∀ P∈ωβη^-(x_α)及n∈D，存在D中的k≥n，满足N(k)$\nleq$P.取k=S((n，P))，对映射S：D×ωβη^-(x_α)D，有N(S(n，P))$\nleq$P.令E=D×ωβη^-(x_α)，定义(n₁，P₁)≥(n₂，P₂)当且仅当n₁≥n₂，P₁≥P₂，于是E是定向集.取

可知T是N的子网，且T→_ωβ x_α.

假设T={T(m)：m∈E}是N的子网，T→_ωβ x_α.任取P∈ωβη^-(x_α)及n₀∈D，存在映射S：E $\longrightarrow$D及m₀∈E，则对所有m≥m₀，有S(m)≥n₀.由T→_ωβ x_α，存在m₁∈E，当m≥m₁时，T（m）$\nleq$P.由E的定向性，存在m₂∈E，满足m₂≥m₀及m₂≥m₁.于是T（m₂）$\nleq$P，且S(m₂)≥n₀.令n=S(m₂)，则

且

即N∝_ωβ x_α.

(ⅱ)假设N={N(n)：n∈D}，N→_ωβ x_α，T={T(m)：m∈E}是N的任一子网.则对∀P∈ωβη^-(x_α)，存在n₀∈D，当n≥n₀时，N(n)$\nleq$P.由子网的定义，存在映射S：E $\longrightarrow$D及m₀∈E，当m∈E，m≥m₀时，有

且

于是T(m)≤|P，T→_ωβ x_α.

定理6  设(L^X，Ω)为Lω-空间，x_α∈M^*(L^X)，A∈L^X.则x_α≤ωβcl(A)当且仅当存在A中的分子网N，使得N→_ωβ x_α.

证 假设x_α≤ωβcl(A)，对∀P∈ωβη^-(x_α)，A$\nleq$P.由

存在e_P≤A，e_P$\nleq$P.令

可知N是A中的分子网且N→_ωβ x_α.

反之，设N={N(n)：n∈D}是A中的分子网且N→_ωβ x_α.任取P∈ωβη^-(x_α)，存在m∈D，当n∈D，n≥m时，N(n)$\nleq$P.于是∀n∈D，N(n)≤A，有A$\nleq$P，即x_α≤ωβcl(A).

定理7  设(L^X，Ω)为Lω-空间，A∈L^X，则：

(ⅰ) A是ωβ-闭集；

(ⅱ) A中的任意分子网N，ωβ-ad N≤A；

(ⅲ) A中的任意分子网N，ωβ-lim N≤A.

证 (ⅰ)⇒(ⅱ)设A是ωβ-闭集，N={N(n)：n∈D}是A中的分子网.任取x_α∈M^*(L^X)且x_α≤ωβ-ad N.对∀P∈ωβη^-(x_α)及m∈D，存在n∈D，n≥m满足N(n)$\nleq$P.于是A$\nleq$P，即x_α≤ωβcl(A)≤A.从而ωβ-ad N≤A.

(ⅱ)⇒(ⅲ)对任意分子网N，ωβ-lim N≤ωβ-ad N，从而结论成立.

(ⅲ)⇒(ⅰ)任取x_α∈M^*(L^X)，且x_α≤ωβcl(A).由定理6，存在A中分子网N，N→_ωβ x_α.由，x_α≤ωβ-lim N≤A.于是ωβcl(A)≤A，A是ωβ-闭集.

定义5  设(L^X，Ω₁)，(L^Y，Ω₂)为Lω-空间.映射f：(L^X，Ω₁)(L^Y，Ω₂)，如果对任意的A∈ωβO(L^Y)，有f^-1(A)∈ωβO(L^X)，则称f是Mωβ-连续的.

由定义5，有以下定理：

定理8  设(L^X，Ω₁)，(L^Y，Ω₂)为Lω-空间. f：(L^X，Ω₁)(L^Y，Ω₂)是Mωβ-连续的当且仅当∀x_α∈M^*(L^X)及∀P∈ωβη^-(f(x_α))，有f^-1(P)∈ωβη^-(x_α).

定理9  设(L^X，Ω₁)，(L^Y，Ω₂)为Lω-空间，N={N(n)∈M^*(L^X)：n∈D}是L^X中的分子网，f：(L^X，Ω₁) $\longrightarrow$(L^Y，Ω₂)是Mωβ-连续的.如果N→_ωβ x_α，则f(N)→_ωβ f(x_α).

证 设f是Mωβ-连续的，N→_ωβ x_α.任取P∈ωβη^-(f(x_α))，由定理8，f^-1(P)∈ωβη^-(x_α).存在m∈D，当n∈D，n≥m时N(n)$\nleq$f^-1(P)，从而f(N(n))$\nleq$P，即f(N)→_ωβ f(x_α).

推论1  设(L^X，Ω₁)，(L^Y，Ω₂)为Lω-空间，f：(L^X，Ω₁) $\longrightarrow$(L^Y，Ω₂)是Mωβ-连续的.则对L^X中任意分子网N，有f(ωβ-lim N)≤ωβ-lim f(N).