定理1  设p＞1，$ \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1 $，λ，α，β是常数，K(x，y)＞0是λ阶的齐次可测函数，$ \frac{\alpha}{p}+\frac{\beta}{q}-(\lambda+ 1)=c$，s+r=1(0＜r＜1)，$ K(1, t) t^{-\frac{\beta+1}{q}+c r} $及$ K(t, 1) t^{-\frac{\alpha+1}{p}+c s} $在(0，+∞)上递减，且

收敛.那么：

(ⅰ)当且仅当c≥0时，存在常数M＞0，对∀a_m＞0，∀b_n≥0，有

(ⅱ)设M₀是(4)式的最佳常数因子，则$ {M_0} \le \mathop {\inf }\limits_{r \in (0, 1)} \left\{ {{W_1}(\beta , r)} \right\} $.当c=0时，有

证  (ⅰ)设(4)式成立.如果$ \frac{\alpha}{p}+\frac{\beta}{q}-(\lambda+ 1)=c$＜0，令

那么有

同时，由于$ K(t, 1) t^{-\frac{\alpha+1}{p}+c s} $在(0，+∞)上递减，又有

于是得到

但因$ \sum\limits_{n = 1}^\infty {{n^{ - 1}}} $发散到+∞，得到矛盾.因而c＜0不能成立，故c≥0.

反之，设c≥0.记

根据Hölder不等式及引理1，有

于是得到

任取$M \ge \mathop {\inf }\limits_{r \in (0, 1)} \left\{ {{W_1}(\beta , r)} \right\}$，均有(4)式成立.

在定理1的条件下，Hilbert型级数不等式(1)的基本结构特征是$\frac{\alpha }{p} + \frac{\beta }{q} - (\lambda + 1) \ge 0$，即如果$ \frac{\alpha}{p}+\frac{\beta}{q}-(\lambda+1)<0 $，则(1)式永远不可能成立.

(ⅱ)首先，根据(5)式可得$ {M_0} \le \mathop {\inf }\limits_{r \in (0, 1)} \left\{ {{W_1}(\beta , r)} \right\} $.

当c=0时，(5)式化为

此时若W₀不是最佳的，则M₀＜W₀，且

对足够小的ε＞0，取${a_m} = {m^{\frac{{ - a - 1 - |\lambda {|_\varepsilon }}}{p}}}(m = 1,2, \cdots )$，$ b_{n}=n^{\frac{-\beta-1-|\lambda| \varepsilon}{q}}(n=1, 2, \cdots) $，有

同时还有

设δ＞0足够小，存在N，当m＞N时，$ \frac{1}{m}<\delta $.记

那么有

由(6)，(7)，(8)式，得到

令ε→0⁺，得到

再令δ→0⁺，得到

这与M₀＜W₀矛盾，故M₀=W₀.

定理2  设p＞1，$ \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1 $，λ，α，γ是常数，K(x，y)＞0是λ阶的齐次可测函数，$ \frac{\alpha-\gamma}{p}-(\lambda+1)=c $，r+s=1(0＜s＜1)，$ K(1, t) t^{\frac{\gamma+1}{p}-1+c r} $及$ K(t, 1) t^{-\frac{\alpha+1}{p}+c s} $在(0，+∞)上递减，且

收敛.那么：

(ⅰ)当且仅当c≥0时，存在常数$ \widetilde{M}>0 $，对∀a_m≥0，有

(ⅱ)若$ \widetilde{M}_{0} $是(9)式的最佳常数因子，则$ {\widetilde M_0} \le \mathop {\inf }\nolimits_{s \in (0, 1)} \left\{ {W_2^{\frac{1}{\rho }}(\alpha , s)} \right\} $.当c=0时，

证  记$\beta=\frac{\gamma}{1-p} $，则由$ \frac{\alpha-\gamma}{p}-(\lambda+1)=c $，可得

于是只需证明(9)式与(4)式等价即可.

若存在常数$\widetilde M$使得(9)式成立，则由Hölder不等式，对∀a_m≥0，∀b_n≥0，有

令$\widetilde{M}^{\frac{1}{p}}=M $，则得到(4)式.

反之，若存在常数M使得(4)式成立，令

则有

由此得到

令$M^{p}=\widetilde{M} $，得到(9)式.

设p＞1，α是常数，a_m≥0(m=1，2，…)，并记

对∀a={a_m}(a_m≥0)，定义级数算子T为

其中核K(m，n)≥0.若存在常数M，对∀a={a_m}∈l_α^p，有

则称T是l_α^p到l_γ^p的有界算子，此时T的(p，p)-型范数定义为

特别地，记‖a‖_p，0=‖a‖_p，l₀^p=l^p.若T是l_α^p到自身的有界算子，则称T是l_α^p中的有界算子.

命题1  设p＞1，$ \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1 $，λ，α，γ是常数，K(x，y)＞0是λ阶的齐次可测函数，

且$ K(1, t) t^{\frac{\gamma+1}{p}-1+c r} $及$ K(t, 1) t^{-\frac{\alpha+1}{p}+c s} $在(0，+∞)上递减，$ W_{2}(\alpha, s)=\int_{0}^{+\infty} K(t, 1) t^{-\frac{a+1}{p}+c s} \text{d}t$收敛，算子T由(10)式定义.那么

(ⅰ) T是l_α^p到l_γ^p的有界算子的充分必要条件是c≥0；

(ⅱ) c≥0时，T的算子范数$||T||{_{(p,p)}}\mathop {\inf }\limits_{s \in (0,1)} \left\{ {{W_2}(\alpha ,s)} \right\} $.当c=0时，

证  由定理2可证.

注1  在命题1的条件下，当且仅当$\frac{\alpha}{p}-\frac{\gamma}{p}-(\lambda+1) \geqslant 0$，时T才是l_α^p到l_γ^p的有界算子.特别地，T是l^p中的有界算子，其基本特征是λ≤-1.

命题2  设p＞1，$ \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1 $，λ，α，γ是常数，满足

定义算子T为

则当且仅当$ \lambda \geqslant 1+\frac{\gamma-\alpha}{p}$时，T是l_α^p到l_γ^p的有界算子.

证  首先由(11)式左边可知λ＞0.设$K(x, y)=\frac{1}{x^{\lambda}+y^{\lambda}}$，则K(x，y)是λ阶的齐次非负函数.又令

求导数可得

易知σ＜0时，f′(t)＜0，从而f(t)在(0，+∞)上递减.根据(11)式右边，经计算可知

其中

于是$ K(t, 1) t^{-\frac{\alpha+1}{p}+\frac{c}{p}} $和$ K(1, t) t^{\frac{\gamma+1}{p}-1+\frac{c}{q}} $都在(0，+∞)上递减.

再由(11)式左边，经计算可知

从而

收敛.其中B(·，·)是Beta函数.

在命题1中取$ r=\frac{1}{q}, s=\frac{1}{p} $，可知命题2成立.

注2  在命题2中，取α=γ=0，则(11)式化为

$ \lambda \geqslant 1+\frac{\gamma-\alpha}{p}$化为λ≥1.再注意到$ \max \left\{2-p, \frac{p-2}{p-1}\right\}<1 $，于是可知，当且仅当1≤λ≤2时，T是l^p中的有界算子.

注3  在命题2中，取α=(p-1)(1-λ)，γ=λ-1，则可得到：当0＜λ≤max{p，q}时，有