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文献[1]将模糊集合引入拟阵理论,提出了模糊拟阵的概念(中国部分学者称之为G-V模糊拟阵[2]).文献[3]定义了模糊拟阵的圈函数和圈区间,通过这些概念,讨论了模糊圈的一系列性质.我们可以发现:模糊圈与导出拟阵圈之间存在密切的关系.能否通过导出拟阵的圈来研究模糊拟阵的模糊圈?本文计划采用将模糊拟阵问题转换为导出拟阵[1](即普通拟阵)问题的方法,利用导出拟阵的圈性质来推广圈函数和圈区间概念.然后,利用推广的概念进一步研究模糊拟阵和模糊圈的性质.这种研究方法首先在文献[4]中提出并使用,后来在文献[5-10]中得到发展和广泛应用.
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设E={x1,x2,…,xN}是非空有限集合,则E上的模糊集μ是一个映射μ:E→[0, 1]. E上模糊集的全体记为F(E).文中使用的模糊数学的有关概念和符号主要参照文献[1].初等模糊集的概念使用较多,介绍如下:∀A⊆E,∀r∈(0,1],称
为支撑集为A,高度为r的初等模糊集.
文献[11]通过独立集公理定义拟阵.文献[1]的定义1.2定义了模糊拟阵及其有关概念.
定理1[1] 设M=(E,ℓ)是模糊拟阵,∀r∈(0,1),令Ir={cr(μ)|∀μ∈ℓ},则Mr=(E,Ir)是E上的拟阵(称为由模糊拟阵M导出的r-水平拟阵,简称导出拟阵).有有限实数列r0<r1<…<rn,使得:
(ⅰ) r0=0,rn≤1;
(ⅱ) 当0<r≤rn时,Ir≠{∅};当r>rn时,Ir={∅};
(ⅲ) ∀s,t∈(ri,ri+1),Is=It(0≤i≤n-1);
(ⅳ) 若ri<s<ri+1<t<ri+2,则Is⊃It(0≤i≤n-2).
则称序列0=r0<r1<…<rn≤1为M的基本序列.
对1≤i≤n,设
$ \overline {{r_i}} $ =(ri+ri-1)/2,称拟阵序列Mr1=(E,Ir1)⊃Mr2=(E,Ir2)⊃…⊃Mrn=(E,Irn)为M的导出拟阵序列.若Mr1=Mri(i=1,2,…,n),则称M是闭模糊拟阵[1].为了便于描述,我们统一规定Mr0=M0=(E,I0),I0={X|∀X⊆E}.当rn<1时,令rn+1=1,Mrn+1=(E,Irn+1),Irn+1={∅}.除特别说明外,我们的讨论主要针对rn=1来进行,但同样适用于rn<1.有两种平凡的模糊拟阵,一种是I={∅},另一种是I=F(E)(此种也称为自由模糊拟阵).以后的讨论中,不涉及这两种模糊拟阵.
文献[3]定义了模糊集截短μαT、模糊拟阵的初等模糊圈、圈函数τ和针对闭模糊拟阵的圈区间
,证明了一些模糊圈的结论.
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设M=(E,ℓ)是模糊拟阵,0=r0<r1<…<rn≤1为其基本序列,Mr1=(E,Ir1)⊃Mr2=(E,Ir2)⊃…⊃Mrn=(E,Irn)为其导出拟阵序列.其中ri=(ri-1+ri)/2,Iri={Cri(μ)|∀μ∈ℓ}i=1,2,…,n.
记ζ={μ∈F(E)|μ是M的模糊圈},称ζ是模糊拟阵M的模糊圈集.记
$ \mathscr{C}$ ={C⊆E|存在r∈[0, 1],使得C是Mr的圈},称$\mathscr{C} $ 是模糊拟阵M的导出拟阵圈集.定理2 设M=(E,ℓ)是闭模糊拟阵,则M无非环模糊圈的充要条件是M有且只有一个模糊基.
证 首先证明必要性.
由M是闭模糊拟阵和文献[12]的定理1.10知,M存在模糊基,取其一个模糊基μ.令ν为M的任何一个模糊基,我们要证明μ=ν.
由文献[12]的定理1.9,有R+(μ)⊆{r1,…,rn},R+(ν)⊆{r1,…,rn}.因此,由模糊集的分解定理[13]得出
用文献[11]的定理2.1.1(增广定理)可以证明:对∀i(1≤i≤n),Cri(μ)都是Cri-1(μ)在Mri中的极大独立子集.
用文献[3]的定理2.2(ⅱ)和归纳法证明Cri(μ)=Cri(ν)(1≤i≤n).
所以,μ=ν.
再证充分性.如果M有且只有一个模糊基μ,则有
下面证明,M无非环模糊圈.
用文献[12]的定理1.10、文献[11]的定理2.1.1和归纳法可以证明:对∀i(1≤i≤n),Cri(μ)都是Mri的唯一基.
用文献[11]的定理2.1.1和归纳法可以证明:对∀i(1≤i≤n),Mri都没有非环圈.
最后证明M无非环模糊圈.反证,如果M有非环模糊圈μ,则Cm(μ)(μ)就是Mm(μ)的非环圈.
由Im(μ)≠∅,存在i(1≤i≤n),使得m(μ)∈(ri-1,ri],则由定理1知Mm(μ)=Mri.因此Cm(μ)(μ)是Mri的非环圈,矛盾.
故M无非环模糊圈.
命题1(导出拟阵圈的连贯性)设M=(E,ℓ)是闭模糊拟阵,取A∈
$\mathscr{C} $ ,如果A是Mri和Mri+2(假定i+2≤n)的圈,则A也是Mri+1的圈.证 由A是Mri的圈,则A∉Iri⊃Iri+1,得出A是Mri+1的相关集.又由A是Mri+2的圈,则∀x∈A,都有A\{x}∈Iri+2 Iri+1.因此A是Mri+1的圈.
定理3 设M=(E,ℓ)是闭模糊拟阵,取A∈
$ \mathscr{C}$ ,则有两个整数j,k(j,k=0,1,2,…,n;j<k),使得:(ⅰ)∀λ∈(rj,rk],A都是Mλ的圈;
(ⅱ)∀λ∈[0, 1]\(rj,rk],A都不是Mλ的圈.
证 根据
$ \mathscr{C}$ 的定义知,必有r∈(0,1],使得A是Mr的圈.也存在i(1≤i≤n或n+1,rn<1时,令rn+1=1),使得r∈(ri-1,ri].因此A是Mri的圈.令I0=Ir0={X|X⊆E}(自由拟阵[11]).
(ⅰ)我们先找j.考察A是否为Mri-1(i-1>0时)的圈.如果A不是Mri-1的圈,则终止.如果A是Mri-1的圈,则继续考察A是否为Mri-2(i-2>0时)的圈,以此继续.由于Mr0=(E,Ir0)无圈,因此,这个过程结束时,会找到j(j=0,1,2,…,i-1),使得A是Mrj+1的圈,但不是Mrj的圈.
再找k.考察A是否为Mri+1(i+1≤n时)的圈.如果A不是Mri+1的圈,则终止.如果A是Mri+1的圈,则继续考察A是否为Mri+2(i+2≤n时)的圈,以此继续.由于n的有限性,会找到k(k=i,i+1,…,n),使得A是Mrk的圈.如果k<n,则A不是Mrk+1的圈.
根据前面的证明知,A是Mrj+1,…,Mri,…,Mrk的圈.而且,∀λ∈(rj,rk],必有l(l=j,…,k-1),使得λ∈(rl,rl+1].根据导出拟阵的性质知,Mλ=Mrl+1.因此,A是Mλ的圈.
(ⅱ)∀λ∈[0,rn]\(rj,rk],我们采用反证法.如果存在λ,使得A是Mλ的圈,存在l,使得λ∈(rl,rl+1].根据λ的取法,必有l+1≤j<k,或l≥k>j且l≤n-1.又由于Mλ=Mrl+1,因此A是Mrl+1的圈.
当l+1≤j<k时,A是Mrl+1和Mrk的圈.因此,由命题1,A也是Mrj的圈.这与j的选取矛盾.
当l≥k>j且l≤n-1时,A是Mrk和Mrl+1的圈,而且l+1>k.因此,由命题1,A是Mrk+1的圈.这与k的选取矛盾.即∀λ∈[0,rn]\(rj,rk],A都不是Mλ的圈.
如果rn=1,前面已经说明∀λ∈[0, 1]\(rj,rk],A都不是Mλ的圈.
如果rn<1,对∀λ∈(rn,1],由定理1,都有Iλ={∅}.所以,∀x∈E,{x}都是Mλ的圈(环).而且Mλ没有非环圈.
若|A|>1,∀λ∈(rn,1]\(rj,rk],A不是Mλ的圈.
若|A|=1,A是M1的圈(环).因此,与A对应的j≤n<k,rk=1(k=n+1). (rn,1]\(rj,rk]=(rn,1]\(rj,1]=∅.没有λ使得λ∈(rn,1]\(rj,rk].
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定义1 设M=(E,ℓ)是闭模糊拟阵,0=r0<r1<…<rn≤1为其基本序列,Mr1⊃Mr2⊃…⊃Mrn为其导出拟阵序列.设F(E)是E上的全体模糊集.构造映射π:F(E)→{r0,r1,…,rn}×{r0,r1,…,rn}如下:
∀μ∈F(E),如果supp μ∉
$ \mathscr{C}$ ,则定义π(μ)=(r0,r0);如果supp μ∈$\mathscr{C} $ ,根据定理3,可找到与之对应的唯一一对整数j,k(j,k=0,1,2,…,n;j<k),则定义π(μ)=(rj,rk).我们称此映射π为广义圈函数.如果μ∈ζ,令
(μ)=(rj,rk],称之为μ的圈范围.如果rn<1,令rn+1=1,此时π的像集有稍微改变,π:F(E){r0,r1,…,rn}×{r0,r1,…,rn+1}.
从定义1可以看出,映射π的像取决于模糊圈的支撑集,而与其模糊隶属度没有本质联系.
由定理3和定义1,可以扩展文献[3]的定理3.4,得出如下定理:
定理4 设M=(E,ℓ)是闭模糊拟阵,0=r0<r1<…<rn≤1为其基本序列,Mr1⊃Mr2⊃…⊃Mrn为其导出拟阵序列,∀μ∈ζ,圈范围为
(μ)=(rj,rk],都有:(ⅰ)∀λ∈
(μ),supp μ都是Mλ的圈;(ⅱ)∀λ∈[0, 1]\
(μ),supp μ都不是Mλ的圈;(ⅲ) ∀λ∈[0,rj],supp μ∈Iλ;∀λ∈(rk,1](如果rk<1),supp μ∉Iλ;
(ⅳ) ∀ri∈{r1,…,rn},存在μ∈ζ,使得π(μ)=(ri,β)或π(μ)=(α,ri).
证 令A=supp μ.
(ⅰ)和(ⅱ)都可从定理3获知.
再来证明(ⅲ).若存在λ∈[0,rj],使得supp μ∉Iλ,则存在Mλ的圈C,使得C⊆supp μ.则ω(C,λ),ω(supp μ,rk)都是初等模糊圈,而且ω(C,λ)≤ω(supp μ,rk).由文献[3]的定理2.8知,必有C=supp μ,即supp μ也是Mλ的圈.这与π(μ)的定义矛盾.所以supp μ∈Iλ.
∀λ∈(rk,1](如果rk<1),rk<λ,如果supp μ∈Iλ,则由supp μ∈Iλ⊆Irk知,与supp μ是Mrk的圈矛盾.因此supp μ∉Iλ.
最后证明(ⅳ).当i<n时,考察导出拟阵Mri和Mri+1.由于Mri⊃Mri+1,因此两个拟阵的圈集(分别为Cri,Cri+1)不能相同,而且Mri+1必定有圈.
取Mri+1的一个圈C,使其不是Mri的圈,则取μ=ω(C,ri+1)∈ζ.根据定义1,存在β∈{r1,…,rn},使得π(μ)=(ri,β).
如果没有这样的圈,则Cri⊇Cri+1.再取C∈Cri\Cri+1,则C是Mri的圈,而非Mri+1圈.取μ=ω(C,ri)∈ζ,则由定义1,存在α∈{r0,r1,…,rn-1},使得π(μ)=(α,ri).
当i=n时,考察导出拟阵Mrn.由于前面已经排除了自由模糊拟阵的情况,因此,Mrn必定有圈C.取初等模糊圈μ=ω(C,rn)∈ζ.如果rn=1,则有α∈{r0,r1,…,rn-1},使得π(μ)=(α,1)=(α,rn).如果rn<1,由Irn⊃{∅}知,必有x∈E,使得{x}不是Mrn的环,而是M1=(E,{∅})的环.取μ=ω({x},1)∈ζ,则π(μ)=(rn,1).
下面,讨论广义圈函数、圈范围,与圈函数、圈区间的关系(圈函数与圈区间的符号来自文献[3]).
定理5 设M=(E,ℓ)是闭模糊拟阵,0=r0<r1<…<rn≤1为其基本序列,Mr1⊃Mr2⊃…⊃Mrn为其导出拟阵序列.∀μ∈ζ,有π(μ)=(rj,rk),则τ(μ)=rj且
(μ)⊆ (μ).定理5可以通过定理4和定理2给予证明.
由此可以看出,广义圈函数和圈范围是圈函数和圈区间的推广.
下面,我们用广义圈函数来描述精细模糊拟阵[2]和准模糊图拟阵[14].
定理6 设M=(E,ℓ)是闭模糊拟阵.则M是精细模糊拟阵的充要条件是:∀μ∈ζ,都存在rj(j=1,2,…,n),使得π(μ)=(rj,1).
文献[5]的定理11给出了准模糊图拟阵的充要条件.现在,我们使用推广圈函数和圈区间的概念,再给出一个充要条件:
定理7 设M=(E,ℓ)是闭模糊拟阵.则M是准模糊图拟阵的充要条件是:∀μ∈ζ,只要|supp μ|>1,都存在rk(k=1,2,…,n),使得π(μ)=(0,rk).
证 由广义圈函数的定义知:∀μ∈ζ,都存在rj,rk,rj<rk,使得π(μ)=(rj,rk).因此,只需要证明:M是准模糊图拟阵⇔∀μ∈ζ且|supp μ|>1,则rj=0.
先证必要性.存在i(i=1,2,…,n),使得m(μ)∈(ri-1,ri].由文献[3]的定理2.5,Cm(μ)=supp μ是Mm(μ)=Mri的非环圈.再由准模糊图拟阵的定义知,supp μ也是Mr1的非环圈.因此,由定理3及其证明知,rj<r1.即rj=r0=0.
再证充分性.任取Mri(i=2,…,n)的非环圈C,构造模糊集ν=ω(C,ri).则由文献[3]的定理2.5知,ν是M的模糊圈且|supp ν|>1.由已知,存在rk≥ri>r1>0,使得π(ν)=(0,rk),显然r1∈(0,rk].由定理4(ⅰ)知,C也是Mr1的非环圈.所以,M是准模糊图拟阵.
利用推广的圈函数和圈区间,可以研究模糊拟阵的许多问题.比如,使用现在的概念去讨论文献[15]的模糊圈的秩,可以得到更好的结论.