首先给出欧氏空间中调和函数平均值性质的定义.令Ω⊂${\mathbb{R}}$ⁿ是连通区域，用B_r(x)⊆${\mathbb{R}}$ⁿ表示以x为心r＞0为半径的球.

定义1  对于u∈C(Ω)，令ω_n是${\mathbb{R}}$ⁿ上单位球的表面积.

(ⅰ)若对于任何B_r(x)∈Ω有

则称u满足第一平均值性质；

(ⅱ)若对于任何B_r(x)∈Ω有

则称u满足第二平均值性质.

用Δ表示经典的Laplace算子.下面我们引进Heisenberg群上的次Laplace算子.

Heisenberg群${\mathbb{N}}$ⁿ是${\mathbb{R}}$²ⁿ⁺¹(n≥1)上具有群作用°的Lie群，群作用°为

其中ξ=(x₁，…，x_n，y₁，…，y_n，t)=(x，y，t)，ξ₀=(x₀，y₀，t₀).

相应的左不变向量场Lie代数为

函数u的Heisenberg梯度定义为

${\mathbb{N}}$ⁿ上的次Laplace算子${{\Delta }_{\mathbb{H}}}$定义为

易得X_i和Y_i满足[X_i，Y_j]=-4Tδ_ij，[X_i，X_j]=[Y_i，Y_j]=0，其中i，j=1，…，n. Hörmander条件对于{X₁，…，X_n，Y₁，…，Y_n}成立(见文献[8])，这表明${{\Delta }_{\mathbb{H}}}$是退化椭圆算子(见文献[8])，且含算子${{\Delta }_{\mathbb{H}}}$的方程的解满足极值原理(见文献[9]).

记Q=2n+2是${{\nabla }_{\mathbb{H}}}u$的齐次维数，${{\left| \xi \right|}_{\mathbb{H}}}$为点ξ到原点的距离(见文献[10])，具体表示为

${{\left| \xi \right|}_{\mathbb{H}}}$上两点的距离记为

以ξ₀为心R＞0为半径的球表示为

基底{X_i，Y_i，T}可由$\left\{ \frac{\partial }{\partial {{x}_{i}}}, \frac{\partial }{\partial {{y}_{i}}}, \frac{\partial }{\partial t} \right\}$通过$\left( \begin{matrix} {{I}_{n}} & 0 & 2y \\ 0 & {{I}_{n}} & -2x \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right)$形式的变换得到，这里的Lebesgue测度是${\mathbb{N}}$ⁿ上的Haar测度.

由群伸缩δ_λ(ξ)=(λx，λy，λ²t)，可知$\xi \to |\xi {{|}_{\mathbb{H}}}$是一阶齐次的，则有

其中|·|是Lebesgue测度.

直接计算可以得到

${{\Delta }_{\mathbb{H}}}$作用在只与ρ有关的径向函数u上，由(2)式可以得到

其中ψ定义为

类似于Kohn-Laplace算子和经典的Laplace算子，文献[11]给出了-Δ$_{\mathbb{H}}$的基本解，记为

同时文献[12-13]也给出了如下平均值公式：设Ω⊆${\mathbb{N}}$ⁿ为有界开集，u∈C²(Ω)，$\overline{{{B}_{\mathbb{H}}}(\xi , R)}\subseteq \mathit{\Omega }$，有

其中M_R为平均值算子

这里ψ由(3)式给出，${{C}_{Q}}={{\left| {{B}_{\mathbb{H}}}(\xi , 1) \right|}^{-1}}$.

证明关于方程(1)的Liouville定理之前，我们首先给出两个引理，引理1在流形上的证明可参见文献[1, 14]，引理1是关于梯度估计的直接结果.这里满足的假设条件不同，我们根据文献[15]给出证明.

引理1  设M^m>是具有非负Ricci曲率的完备流形，在M^m>上记B_p(φ)是以p为心φ＞0为半径的球.存在常数C(m)＞0，使得对任意定义在M上的调和函数u(即-Δu=0)，如果记

那么对任意的x∈B_p(φ)，有

特别地，M不容许任何非常数的调和函数满足增长估计

其中r_p(x)=r(p，x)是M上的点x距p的距离，为了简单记为r(x).

证  因为Ricci曲率是非负的，方程u是调和的，因此对任意x∈B_p(φ)和ε＜2，利用文献[12]中定理6.1的梯度估计，有

显然，u(x)-i(2φ)是B_p(2φ)上的正调和函数.利用(5)式，令ε=1，对任意的x∈B_p(φ)可以得到

由极值原理，i(φ)的极值在某点x∈əB_p(φ)处达到.特别地，φ^-1i(φ)=r^-1(x)u(x).由u的增长性假设可以得到

因此，任意固定点x∈M，有

则可知u必为常数.引理1得证.

现在根据文献[16]接着证明引理2，即欧氏空间上次线性增长调和函数的Liouville定理.

引理2  设u是${\mathbb{R}}$ⁿ上的调和函数，满足次线性增长条件

则u为常数.

证  由u是调和函数，则Δ(D_xiu)=0，即D_xiu是调和函数.由平均值性质和散度定理，有

为了简单，我们假设u非负，则有

对任意的x∈${\mathbb{R}}$ⁿ，利用次线性增长条件$\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {r^{ - 1}}(x)u(x) = 0$，可以得到Du(x)=0.

定理1  假设u是方程(1)的解，且满足次线性增长条件$\mathop {\lim }\limits_{\xi \to \infty } {r^{ - 1}}(\xi )u(\xi ) = 0$，则u为常数.

证  由Hörmander条件可知，$T=\frac{\partial }{\partial t}$与X_i，Y_i可交换，因此就有

由(4)式，对任意的ξ∈${\mathbb{N}}$ⁿ，R＞0，可以得到

利用次线性增长条件

对任意的ξ∈${\mathbb{N}}$ⁿ，有

则u∈${\mathbb{R}}$²ⁿ⁺¹是方程

的解.利用引理1和引理2即得到结论.

本文利用Heisenberg群上平均值公式建立了Heisenberg群上次Laplace方程的解在满足次线性增长条件时的Liouville型定理，其结果是对经典Liouville定理的推广，把以前要求的解的有界性条件减弱成了解的次线性增长条件，这对于解决具有同样类型条件的问题具有一定的借鉴意义.