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投射模是同调代数中的重要研究对象之一.文献[1]在一般环上引入了Gorenstein投射模的概念，推广了经典的投射模.自此，众多学者对Gorenstein同调理论进行了研究.文献[2]引入了Level模的概念，并在此基础上定义了Gorenstein AC-投射模.文献[3]研究和刻画了Gorenstein投射维数有限的模，特别地，建立了Gorenstein投射维数有限的模的稳定子范畴与Gorenstein投射模的稳定子范畴间的伴随函子.受此启发，本文将研究和刻画Gorenstein AC-投射维数有限的模，并建立Gorenstein AC-投射维数有限的模的稳定子范畴和Gorenstein AC-投射模的稳定子范畴间的伴随函子.
本文中R指有单位元的结合环，除非特别指出，所有的R-模都指左R-模.对任意模M，pdRM表示M的投射维数，用ΩM表示满映射P→M的核，其中P是投射模.设Ω1M=ΩM和ΩnM=ΩΩn-1M，即如果P*→M→0是M的一个投射分解，则ΩnM是映射Pn→Pn-1的像，其中n≥1.
定义1[4] 令M是左R-模，如果M有一个投射分解
其中每个Pi都是有限生成模，则称M是超有限表示(或FP∞型)的.
定义2[4] 如果对任意超有限表示右R-模M，有TorR1(M，N)=0，则称左R-模N是Level模.
定义3[2] 如果存在投射模的正合列
使得M≌Ker(P0→P1)，并且对任意Level模L，HomR(-，L)作用以上序列仍然得到正合序列，则称左R-模M是Gorenstein AC-投射模.
定义4[5] 设M是左R-模.令
GCpdR(M)=inf{n：存在正合列0→Gn→…→G1→G0→M→0，其中每个Gi是Gorenstein AC-投射模}则称GCpdR(M)是M的Gorenstein AC-投射维数.如果没有这样的n存在，那么就记GCpdR(M)=∞.
命题1 模M是Gorenstein AC-投射的当且仅当存在一个左R-模的短正合列
其中P是投射的，G是Gorenstein AC-投射的.
证 必要性 由定义可得.
充分性 因P是投射的，则P也是Gorenstein AC-投射的.由文献[5]的引理3.3可知Gorenstein AC-投射模类是可解的，所以M是Gorenstein AC-投射的.
命题2 对模M，n∈Z，以下条件是等价的：
(a) GCpdRM≤n；
(b) 存在短正合列0→K→G→M→0，其中G是Gorenstein AC-投射的，并且pdRK≤n-1(如果n=0，则K=0)；
(c) 存在短正合列0→M→A→G′→0，其中G′是Gorenstein AC-投射的，并且pdRA≤n.
证 (a)⇒(b)若GCpdRM≤n，则存在正合列
其中每个Gi是Gorenstein AC-投射模(i=0，1，…，n).取M的投射分解
其中每个Pi是投射模.由文献[6]的引理2.2.1可知，G′是Gorenstein AC-投射模.由Gorenstein AC-投射模的定义知，存在正合列
其中G是Gorenstein AC-投射模，Qi是投射模(i=0，1，…，n-1).且对任意的Level模L，HomR(-，L)作用于正合列(1)仍保持正合.特别地，HomR(-，Pi)作用于正合列(1)仍保持正合.于是存在同态Qi→Pi(i=0，1，…，n-1)和G→M，使得下图交换：
从而得到复形链映射
取映射锥可得正合列
其中P0⊕G是Gorenstein AC-投射模，Pi⊕Qi-1以及Qn-1是投射模.取K=Ker(P0⊕GM)，则得到以下两个正合列：
显然pdRK≤n-1.
(b) ⇒(a) 显然.
(b) ⇒(c) 由G是Gorenstein AC-投射模知，存在短正合列0→G→P→G′→0，其中P是投射模，G′是Gorenstein AC-投射模.考虑推出图
由pdRK≤n-1可得pdRA≤n.显然，在序列0→M→A→G′→0中，G′是Gorenstein AC-投射模.
(c) ⇒(b) 由pdRA≤n可知，存在短正合列0→K→P→A→0，其中P是投射模且pdRK≤n-1.考虑拉回图
已知G′是Gorenstein AC-投射的，由命题1可得G也是Gorenstein AC-投射的.
引理1 设模M的Gorenstein AC-投射维数有限，有如下结论成立：
(ⅰ)设0→K→G→M→0和0→K→G→M→0是左R-模的两个短正合列，其中K和K的投射维数有限，G和G是Gorenstein AC-投射模，则存在同构式G⊕K≌G⊕K；
(ⅱ)设0→M→A→G′→0和0→M→A→G′→0是左R-模的两个短正合列，其中A和A的投射维数有限，G′和G′是Gorenstein AC-投射模，则存在同构式G′⊕A≌G′⊕A.
证 (ⅰ) 已知G是Gorenstein AC-投射的，pdRK＜∞，由文献[5]的引理3.3得ExtR1(G，K)=0.用HomR(G，-)作用正合列0→K→G→M→0，可得正合列
因此存在λ：G→G，使得下图右边方框可交换：
由分解引理知存在映射l：K→K，使得左边方框可交换，此即该图是交换图.考虑两个正合列的映射锥：0→K→G⊕K→M⊕G→M→0.构造图
则有正合列
因为G是Gorenstein AC-投射的，K的投射维数有限，故ExtR1(G，K)=0.因此正合列(2)可裂.故存在同构G⊕K≌G⊕K.
(ⅱ) 已知G′是Gorenstein AC-投射的，且pdRA＜∞，由文献[5]的引理3.3可知ExtR1(G′，A)=0.用HomR(-，A)作用正合列0→M→A→G′→0，可得正合列
因此存在ρ：A→A，使得下图左边方框可交换：
由分解引理知，存在映射γ：G′→G′使得右边方框可交换.即该图是交换图.考虑两个正合列的映射锥0→M→A⊕M→G′⊕A→G′→0，构造图
则有正合列
因为G′是Gorenstein AC-投射的，A的投射维数有限，故ExtR1(G′，A)=0.因此正合列(3)可裂.故存在同构G′⊕A≌G′⊕A.
推论1 设模M的Gorenstein AC-投射维数有限，则以下结论成立：
(a) M是Gorenstein AC-投射的当且仅当对任意投射维数有限的模K，ExtR1(M，K)=0.
(b) M的投射维数有限当且仅当对任意的Gorenstein AC-投射模G′，ExtR1(G′，M)=0.
证 (a)必要性 显然.
充分性 考虑短正合列
其中G是Gorenstein AC-投射的，K的投射维数有限.由ExtR1(M，K)=0知正合列(4)是可裂的.则M是Gorenstein AC-投射模G的直和项.由文献[3]的引理8.3知，Gorenstein AC-投射模的类对直和项是封闭的，所以M是Gorenstein AC-投射模.
(b) 必要性 显然.
充分性 考虑短正合列
其中G′是Gorenstein AC-投射的，A的投射维数有限.由ExtR1(G′，M)=0知正合列(5)是可裂的.则M是模A的直和项，所以M的投射维数有限.
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设M和N是两个R-模.则由所有态射f：M→N构成的集合可以作成阿贝尔群HomR(M，N)的子群，其中f可以分解为M→A→N，这里A是某个投射维数有限的模.记对应的商群为
$ \mathscr{F} \mathscr{P}- \operatorname{Hom}_{R}(M, N)$ ，并且对任意的f∈HomR(M，N)，记$ [f]=[f]_{\mathscr{F} \mathscr{P}}$ .定义$\mathscr{F} \mathscr{P} $ -R-Mod范畴，其对象为所有R-模，其态射集为$ \mathscr{F} \mathscr{P}$ -HomR(M，N).记GP(R)和FGP(R)分别是Gorenstein AC-投射模类和Gorenstein AC-投射维数有限的模类.引理2 设M和N是两个Gorenstein AC-投射维数有限的R-模，f：M→N为态射.考虑两个R-模的正合列
和
其中K和L是投射维数有限的模，G和H是Gorenstein AC-投射模.有如下结论成立：
(ⅰ)存在态射g：G→H，使得qg=fp；
(ⅱ)若g，g′：G→H满足qg=fp，qg′=fp，则[g]=[g′]∈
$\mathscr{F} \mathscr{P} $ -HomR(G，H)；(ⅲ)若[f]=[0]∈
$\mathscr{F} \mathscr{P} $ -HomR(M，N)，则对任意满足qg=fp的态射g：G→H，有证 (ⅰ) 因为G是Gorenstein AC-投射的，L的投射维数有限，所以ExtR1(G，L)=0.因此q*：HomR(G，H)→HomR(G，N)是满的.因此存在态射g：G→H，使得fp=q*(g)=qg.
(ⅱ)设g，g′：G→H是两个态射，使得qg=fp，qg′=fp.
则q(g′-g)=qg′-qg=fp-fp=0，因此存在态射h：G→L，使得g′-g=jh.因为L的投射维数有限，所以[g]=[g′]∈
$\mathscr{F} \mathscr{P} $ -HomR(G，H).(ⅲ) 假设f可以分解成
$ M \stackrel{a}{\longrightarrow} A \stackrel{b}{\longrightarrow} N$ ，其中A的投射维数有限.设$ 0 \longrightarrow A^{\prime} \longrightarrow P \stackrel{\pi}{\longrightarrow} A \longrightarrow 0$ 是R-模的短正合列，其中P是投射模，A′的投射维数有限.由(ⅰ)知，存在α：G→P和β：P→H，使得πα=ap且qβ=bπ.即有q(βα)=(ba)p=fp.因此对任意满足qg=fp的态射g：G→H，由(ⅱ)可得[g]=[βα]∈
$\mathscr{F} \mathscr{P} $ -HomR(G，H).因此[βα]=[0]∈$\mathscr{F} \mathscr{P} $ -HomR(G，H).设
$\mathscr{F} \mathscr{P} $ -GP(R)和$\mathscr{F} \mathscr{P} $ -FGP(R)是$\mathscr{F} \mathscr{P} $ -R-Mod的全子范畴，其对象为Gorenstein AC-投射模和Gorenstein AC-投射维数有限的模，则$\mathscr{F} \mathscr{P} $ -GP(R)是$\mathscr{F} \mathscr{P} $ -FGP(R)的全子范畴.由引理1(ⅰ)和引理2可得，存在一个可定义的加法函子μ：$\mathscr{F} \mathscr{P} $ -FGP(R)→$\mathscr{F} \mathscr{P} $ -GP(R).定理1 加法函子μ：
$\mathscr{F} \mathscr{P} $ -FGP(R)$\mathscr{F} \mathscr{P} $ -GP(R)是嵌入函子：$\mathscr{F} \mathscr{P} $ -GP(R)↺$\mathscr{F} \mathscr{P} $ -FGP(R)的右伴随.证 设G是Gorenstein AC-投射模，N是Gorenstein AC-投射维数有限的模.考虑R-模的短正合列
$0 \longrightarrow L \stackrel{j}{\longrightarrow} H \stackrel{q}{\longrightarrow} N \longrightarrow 0 $ ，其中pdRL＜∞，H是Gorenstein AC-投射模.由伴随同构的定义，只需证明[q]*：$\mathscr{F} \mathscr{P} $ -HomR(G，H)→$\mathscr{F} \mathscr{P} $ -HomR(G，N)是双射，并且在G和N处具有自然性.由引理2可知，[q]*在G和N处具有自然性.下面证明[q]*是双射的.因为G是Gorenstein AC-投射的，pdRL＜∞，因此ExtR1(G，L)=0，所以态射q*：HomR(G，H)→HomR(G，N)是满的，所以[q]*是满的.假设态射g：G→H满足[qg]=[q][g]=[q]*[g]=[0]∈
$\mathscr{F} \mathscr{P} $ -HomR(G，N).考虑交换图由引理2(ⅲ)可得[g]=[0]∈
$\mathscr{F} \mathscr{P} $ -HomR(G，H).推论2 设模N的Gorenstein AC-投射维数有限.则以下条件等价：
(a) pdRN＜∞；
(b) 对任意的Gorenstein AC-投射模G，有
$\mathscr{F} \mathscr{P} $ -HomR(G，N)=0；(c) 存在R-模的短正合列
$0 \longrightarrow L \stackrel{j}{\longrightarrow} H \stackrel{q}{\longrightarrow} N \longrightarrow 0 $ ，使得[q]=[0]∈$\mathscr{F} \mathscr{P} $ -HomR(H，N)，其中pdRL＜∞，H是Gorenstein AC-投射的.证 (a)⇒(b)和(b)⇒(c)显然.
(c) ⇒(a) 由定理1可得[q]*：
$\mathscr{F} \mathscr{P} $ -HomR(H，H)→$\mathscr{F} \mathscr{P} $ -HomR(H，N)是双射的.因为[q]*[1H]=[q][1H]=[q1H]=[q]=[0]∈$\mathscr{F} \mathscr{P} $ -HomR(H，N)，所以[1H]=[0]∈$\mathscr{F} \mathscr{P} $ -HomR(H，H).因此H是某个投射维数有限的模的直和项，即H也是投射维数有限的.再由H是Gorenstein AC-投射的，可得H是投射的，于是N的投射维数有限.
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设M和N是两个R-模.则由所有态射f：M→N构成的集合可以作成阿贝尔群HomR(M，N)的子群，其中f可以分解为M→A→N，这里A是某个Gorenstein AC-投射模.记对应的商群为
$\mathscr{G} \mathscr{P} $ -HomR(M，N)，并且对任意的f∈HomR(M，N)，记[f]=[f]$\mathscr{G} \mathscr{P} $ .定义$\mathscr{G} \mathscr{P} $ -R-Mod范畴，其对象为所有R-模，其态射集为$\mathscr{G} \mathscr{P} $ -HomR(M，N).引理3 设M和N是两个Gorenstein AC-投射维数有限的R-模，f：M→N为态射.考虑
$0\longrightarrow M \stackrel{ι}{\longrightarrow} A \stackrel{p}{\longrightarrow} G^{\prime} \longrightarrow 0 $ 和$ 0 \longrightarrow N \stackrel{j}{\longrightarrow} B \stackrel{q}{\longrightarrow} H^{\prime} \longrightarrow 0$ ，其中A和B是投射维数有限的模，G′和H′是Gorenstein AC-投射模.有以下结论成立：(ⅰ)存在态射g：A→B，使得gι=jf；
(ⅱ)若g，g′：A→B满足gι=jf，g′ι=jf，则[g]=[g′]∈
$\mathscr{G} \mathscr{P} $ -HomR(A，B)；(ⅲ)若[f]=[0]∈
$\mathscr{G} \mathscr{P} $ -HomR(M，N)，则对任意满足gι=jf的态射g：A→B有证 (ⅰ) 因为G′是Gorenstein AC-投射的，B的投射维数有限，所以ExtR1(G′，B)=0.因此有ι*：HomR(A，B)→HomR(M，B)是满的.因此存在态射g：A→B，使得jf=ι*(g)=gι.
(ⅱ) 设g，g′：A→B是两个态射，使得gι=jf，g′ι=jf.
则有(g′-g)ι=g′ι-gι=jf-jf=0，因此存在态射h：G′→B使得g′-g=hp.因为G′是Gorenstein AC-投射模，所以[g]=[g′]∈
$\mathscr{G} \mathscr{P} $ -HomR(A，B).(ⅲ) 假设f可以分解成
$M \stackrel{a}{\longrightarrow} \varGamma \stackrel{b}{\longrightarrow} N $ ，其中Γ是Gorenstein AC-投射模.设$ 0 \longrightarrow \varGamma \stackrel{k}{\longrightarrow} P \longrightarrow \varGamma^{\prime} \longrightarrow 0$ 是R-模的短正合列，其中P是投射模.由(ⅰ)知，存在α：A→P和β：P→B，使得αι=ka且βk=jb即有(βα)ι=j(ba)=jf.因此对任意满足gι=jf的态射：g：A→B，由(ⅱ)可得[g]=[βα]∈
$\mathscr{G} \mathscr{P} $ -HomR(A，B).因此[βα]=[0]∈$\mathscr{G} \mathscr{P} $ -HomR(A，B).设
$\mathscr{G} \mathscr{P} $ -FP(R)和$\mathscr{G} \mathscr{P} $ -FGP(R)是$\mathscr{G} \mathscr{P} $ -R-Mod的全子范畴，其对象为投射维数有限的模和Gorenstein AC-投射维数有限的模，则$\mathscr{G} \mathscr{P} $ -FP(R)是$\mathscr{G} \mathscr{P} $ -FGP(R)的全子范畴.由引理1(ⅱ)和引理3可得，存在一个可定义的加法函子ν：$\mathscr{G} \mathscr{P} $ -FGP(R)$\mathscr{G} \mathscr{P} $ -FP(R).定理2 加法函子ν：
$\mathscr{G} \mathscr{P} $ -FGP(R)$\mathscr{G} \mathscr{P} $ -FP(R)是嵌入函子$\mathscr{G} \mathscr{P} $ -FP(R)↺$\mathscr{G} \mathscr{P} $ -FGP(R)的左伴随.证 设B是投射维数有限的模，M是Gorenstein AC-投射维数有限的模.考虑R-模的短正合列
$0 \longrightarrow M \stackrel{ι}{\longrightarrow} A \stackrel{p}{\longrightarrow} G^{\prime} \longrightarrow 0 $ ，其中pdRA＜∞，G′是Gorenstein AC-投射模.由伴随同构的定义，只需证明[ι]*：$\mathscr{G} \mathscr{P} $ -HomR(A，B)$\mathscr{G} \mathscr{P} $ -HomR(M，B)是双射，并且在B和M处具有自然性.由引理3可知，[ι]*在B和M处具有自然性.下面证明[ι]*是双射的.因为G′是Gorenstein AC-投射的，pdRB＜∞，因此ExtR1(G′，B)=0，所以态射ι*：HomR(A，B)→HomR(M，B)是满的，所以[ι]*是满的.假设态射g：A→B满足[gι]=[g][ι]=[ι]*[g]=[0]∈
$\mathscr{G} \mathscr{P} $ -HomR(M，B).考虑交换图由引理3(ⅲ)可得[g]=[0]∈
$\mathscr{G} \mathscr{P} $ -HomR(A，B).推论3 设模M的Gorenstein AC-投射维数有限.则以下条件等价：
(a) M是Gorenstein AC-投射的；
(b) 对任意投射维数有限的模B，有
$\mathscr{G} \mathscr{P} $ -HomR(M，B)=0；(c) 存在R-模的短正合列
$0 \longrightarrow M \stackrel{ι}{\longrightarrow} A \stackrel{q}{\longrightarrow} G^{\prime} \longrightarrow 0 $ ，使得[ι]=[0]∈$\mathscr{G} \mathscr{P} $ -HomR(M，A)，其中pdRA＜∞，G′是Gorenstein AC-投射的.证 (a)⇒(b)和(b)⇒(c)显然.
(c) ⇒(a) 由定理2可得[ι]*：
$\mathscr{G} \mathscr{P} $ -HomR(A，A)→$\mathscr{G} \mathscr{P} $ -HomR(M，A)是双射的.因为[ι]*[1A]=[1A][ι]=[1Aι]=[ι]=[0]∈$\mathscr{G} \mathscr{P} $ -HomR(M，A)，所以[1A]=[0]∈$\mathscr{G} \mathscr{P} $ -HomR(A，A).因此A是某个Gorenstein AC-投射模的直和项，即A也是Gorenstein AC-投射的.于是M是Gorenstein AC-投射的.
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