众所周知，有限群的许多性质可以由群的一些特殊数量关系体现出来，如特殊子群的个数、特征标维数等都可以刻画群的结构^[1-3].长期以来，人们一直在追求用较少的数量去刻画群较多的性质. 20世纪80年代，施武杰教授提出“用群阶和元素阶之集刻画有限单群”的课题，并做了大量的研究，证明了：几乎所有有限单群都可以由“群阶”与“元素阶之集”这两个数量唯一确定.在中俄群论学者的共同努力下，该课题于2009年被完全证明(部分工作见文献[4-9])，但如何弱化课题的条件就成为大家关注的热点问题.文献[10-13]仅用高阶元的阶和群的阶刻画了系列单群，文献[14-15]去掉了“群阶相等”、“元素阶集合相同”这些重要的数量条件，只用与最高阶元素有关的几个数量条件刻画了单K₃-群和Mathieu单群，局部地弱化了课题的条件，推广了施武杰教授等人的工作.本文将继续这一工作，讨论与最高阶元素有关的几个数量条件对Conway单群和Fischer单群的结构的影响.

为了叙述方便，我们先对本文中出现的一些符号加以说明.设G是有限群，π_e(G)表示群G中元素阶的集合. i是正整数，π(i)表示i的相异素因子的集合，π(G)=π(|G|)，l_p(G)表示π(G)中的最大素因子. o₁(G)，o₂(G)分别表示G中最高阶元素的阶和次高阶元素的阶，n₁(G)表示G中最高阶元素的个数.设G一共有r个o₁(G)阶元，其中心化子的阶两两不同，并依次设这些中心化子的阶为c₁(G)，c₂(G)，…，c_r(G).令

我们称ONC₁(G)为G的第一ONC-度量. m^k‖n表示m^k|n但m^k+1n.其余符号及术语是标准的.本文主要讨论G的第一ONC-度量对Conway单群和Fischer单群的结构的影响.

引理1^[16]  若群G是Conway单群，则G是下列群之一：Co₃，Co₂，Co₁.

引理2^[16]  若群G是Fischer单群，则G是下列群之一：F_i22，F_i23，F_i24^′.

引理3^[17]  设π^′-群H作用在π-群G上，且G和H中至少有一个可解.则对任意素数p||G|，G中存在H-不变的Sylow p-子群，并且G的任意两个H-不变Sylow p-子群在C_G(H)下共轭.

定理1  设G为有限群，M为Conway单群，则G≌M的充分必要条件是ONC₁(G)=ONC₁(M)，且l_p(G)=l_p(M).

证  必要性显然，下面讨论充分性.

情形1  当M=Co₃时，ONC₁(G)=ONC₁(Co₃)={30；2⁹·3⁶·5²·7·11·23；30}，l_p(G)=23.因为G的30阶元都是自中心化的，所以任何30阶元a所在的共轭类长度都是|G/C_G(〈a〉)|=|G/〈a〉|=|G|/30.设G中30阶元一共分为t个共轭类，则

从而有

因为G有30阶元，所以{2，3，5}⊆π(G).又因为

所以23∈π(G).由n₁(G)=2⁹·3⁶·5²·7·11·23知|G|＞2⁹·3⁶·5²·7·11·23，于是{2，3，5，7，23}⊆π(G)或{2，3，5，11，23}⊆π(G)，且5²||G|或3⁵||G|.

可以断言G有一正规列1◁H◁K◁G，其中K/H为非交换单群，且5，23∈π(K/H).事实上，令1=G_k◁G_k-1◁…◁G₁◁G₀=G为G的一主群列，则存在正整数i使得{5，23}∩π(G_i)≠∅，而{7，23}∩π(G_i+1)=∅.取K=G_i，H=G_i+1，则1◁H◁K◁G为G的正规列，而K/H为G/H的极小正规子群.断言{5，23}⊆π(K).事实上，如果5∈π(K)，而23∉π(K)，那么23∈π(G/K).由Frattini论断有G=N_G(S₅)K，其中S₅为K的一个的Sylow 5-子群，于是23∈π(N_G(S₅)).现考查Ω₁(Z(S₅)).由于Ω₁(Z(S₅))是初等交换5-群，且Ω₁(Z(S₅))|5³.因为23|L₃(5)|，所以G的23阶元平凡地作用在Ω₁(Z(S₅))上，从而有115∈π_e(G)，矛盾，故23∈π(K).同理可以证明当23∈π(K)时，5∈π(K).所以{5，23}⊆π(K)，即{5，23}⊆π(K/H).由于K/H为同构单群的直积，故K/H只能为非交换单群.而||G|2¹⁰·3⁷·5³·7·11·23，由文献[16]和文献[11]的表3有

K/H≌M₂₃(2⁷·3²·5·7·11·23)，M₂₄(2¹⁰·3³·5·7·11·23)，Co₃(2¹⁰·3⁷·5³·7·11·23)

设K/H≌M₂₃，M₂₄.由G/C_G(K/H)同构于Aut(K/H)的一个子群知|G/C_G(K/H)|||Aut(K/H)|.因为此时|Out(K/H)|=1，故|Aut(K/H)|=|K/H|.又因为5²|G|或3⁵||G|，于是比较阶得p∈π(C_G(K/H))，其中p∈{3，5}.如果p∈π(H)，那么用G中的23阶元共轭作用在H的Sylow p-子L群上，该作用平凡，从而115∈π_e(G)或69∈π_e(G)，矛盾.于是p∉π(H).设g为C_G(K/H)中的p阶元，则|gH|=p，从而K/H中有115阶元或69阶元，矛盾.因此K/H≌Co₃.比较阶有K=G，H=1，从而有G≌Co₃.

情形2   当M=Co₂时，ONC₁(G)=ONC₁(Co₂)={30；2¹⁷·3⁶·5²·7·11·23；30}，l_p(G)=23.类似情形1的讨论知

此时G有一正规列1◁H◁K◁G，其中K/H为非交换单群，且5，23∈π(K/H).由文献[16]和文献[11]的表3有K/H≌M₂₃(2⁷·3²·5·7·11·23)，M₂₄(2¹⁰·3³·5·7·11·23)，Co₃(2¹⁰·3⁷·5³·7·11·23)，Co₂(2¹⁸·3⁷·5³·7·11·23).

若K/H≌M₂₃，M₂₄，由情形1的讨论可推出矛盾.于是设K/H≌Co₃.因为2¹⁴||G|，比较阶得2∈π(C_G(K/H)).设2∈π(H).用G中的23阶元共轭作用在H上，则存在H的一个Sylow 2-子群L在该作用下不变.考虑Ω₁(Z(L)).由于Ω₁(Z(L))是初等交换2-群，且Ω₁(Z(S₅))|2⁸，此时G的23阶元只能平凡地作用在Ω₁(Z(L))上，从而有46∈π_e(G)，矛盾.于是2∉π(H).设g为C_G(K/H)中的2阶元，则|gH|=2，从而K/H中有46阶元，矛盾.因此K/H≌Co₂.比较阶有K=G，H=1，从而有G≌Co₂.

情形3   当M=Co₁时，ONC₁(G)=ONC₁(Co₁)={60；2¹⁹·3⁸·5³·7²·11·13·23；60}，l_p(G)=23.

类似情形1的讨论知|G||2²¹·3⁹·5⁴·7²·11·13·23，{2，3，5，23}⊆π(G)，7²||G|或13||G|.此时G有一正规列1◁H◁K◁G，其中K/H为非交换单群，且5，23∈π(K/H).由文献[16]和文献[11]的表3有

K/H≌M₂₃(2⁷·3²·5·7·11·23)，M₂₄(2¹⁰·3³·5·7·11·23)，Co₃(2¹⁰·3⁷·5³·7·11·23)，Co₂(2¹⁸·3⁷·5³·7·11·23)，Co₁(2²¹·3⁹·5⁴·7²·11·13·23)

若K/H≌M₂₃，M₂₄，Co₃，Co₂，因为7²|G|或13|G|，比较阶得p∈π(C_G(K/H))，其中p∈{7，13}.类似情形1和情形2的讨论知，G中有161阶元或299阶元，矛盾.因此K/H≌Co₁.比较阶有K=G，H=1，从而有G≌Co₁.

定理2  设G为有限群，M为Fischer单群：F_i23，F_i24^′，则G≌M的充分必要条件是ONC₁(G)=ONC₁(M)，且l_p(G)=l_p(M).

证  必要性显然，只讨论充分性.

情形1  当M=F_i23时，ONC₁(G)=ONC₁(F_i23)={60；2¹⁶·3¹²·5·7·11·13·17·23；60}，l_p(G)=23.

类似定理1的讨论知

{2，3，5，13，23}⊆π(G)，或{2，3，5，17，23}⊆π(G).此时G有一正规列1◁H◁K◁G，其中K/H为非交换单群，且13，23∈π(K/H)或17，23∈π(K/H).由文献[16]和文献[11]的表3知，K/H只能同构于F₂₃(2¹⁸·3¹³·5²·7·11·13·17·23)，比较阶有K=G，H=1，从而有G≌F_i23.

情形2  当M=F_i24^′时，有ONC₁(G)=ONC₁(F_i24^′)={60；2¹⁹·3¹⁵·5·7³·11·13·17·23·29；60}，l_p(G)=29.

类似定理1的讨论知

或

此时G有一正规列1◁H◁K◁G，其中K/H为非交换单群，且17，29∈π(K/H)或23，29∈π(K/H).由文献[16]与文献[11]的表3知，K/H只能同构于F₂₄^′(2²¹·3¹⁶·5²·7³·11·13·17·23·29).比较阶有K=G，H=1，从而有G≌F_i24^′.

定理3  设G为有限群，则G≌F_i22的充分必要条件是ONC₁(G)=ONC₁(F_i22)，o₂(G)=o₂(F_i22)且l_p(G)=l_p(F_i22).

证  必要性显然，只讨论充分性.此时

类似定理1的讨论知

且2¹³||G|，3⁶||G|.此时G有一正规列1◁H◁K◁G，其中K/H为非交换单群，且5，13∈π(K/H).由文献[16]与文献[11]的表3知，K/H同构于下列单群之一：

L₂(25)(2³·3·5²·13)，Sz(8)(2⁶·5·7·13)，U₃(4)(2⁶·3·5²·13)，L₂(64)(2⁶·3²·5·7·13)，L₄(3)(2⁷·3⁶·5·13)，²F₄(2)^′(2¹¹·3³·5²·13)，L₃(9)(2⁷·3⁶·5·7·13)，G₂(4)(2¹²·3³·5²·7·13)，A₁₃(2⁹·3⁵·5²·7·11·13)，S₆(3)(2⁹·3⁹·5·7·13)，O₇(3)(2⁹·3⁹·5·7·13)，Suz(2¹³·3⁷·5²·7·11·13)，F_i22(2¹⁷·3⁹·5²·7·11·13)

若K/H≌L₂(25)，U₃(4)，L₄(3)，²F₄(2)^′，考虑7||G|或11||G|，比较阶得p∈π(C_G(K/H))，其中p=7，11，于是G中有91阶元或143阶元，矛盾.

若K/H≌Sz(8)，L₂(64)，L₃(9)，S₆(3)，O₇(3)，考虑5²||G|或11||G|，比较阶得p∈π(C_G(K/H))，其中p=5，11，于是G中有65阶元或143阶元，矛盾.

若K/H≌A₁₃，则G中有35阶元，矛盾.

若K/H≌G₂(4)，仍然考虑G共轭作用在K/H=G₂(4)上.因为Aut(G₂(4))中没有30阶元，所以G的30阶元g∈C_G(K/H).又因为H至多为{2，3，11}-群，所以gH的阶至少是5，从而G有65阶元，矛盾.

最后设K/H≌Suz.若3⁸||G|，做类似讨论知G中有39阶元.于是设3⁷‖|G|，此时必有2¹⁶||G|，再做类似讨论可知G中有26阶元，矛盾于o₁(G)=30，o₂(G)=24.

综上所述，K/H≌F_i22.比较阶有K=G，H=1，从而有G≌F_i22.

注  因Aut(Suz)中有30阶元，讨论K/H≌Suz时没有用到K/H≌G₂(4)时所用的方法.