设$ I{\rm{ = }}\left\{ {1, 2, \cdots , N} \right\}, \forall i \in I, X $是领导者的策略集，Y_i是第i个跟随者的策略集，记$ Y = \prod\limits_{i = 1}^N {{Y_i}, {Y_{ - i}} = \prod\limits_{j \in I\backslash \left\{ i \right\}} {{Y_j}} } $，领导者的目标函数是$ \varphi :X\times Y\to \mathbb{R} $，第i个跟随者的目标函数是$ {{f}_{i}}:X\times Y\to \mathbb{R} $，定义含有领导者策略参数x的跟随者的Nash均衡点集值映射K：X→2^Y为

领导者首先做出策略x∈X，N人非合作的跟随者展开竞争，设平衡点存在，即存在$ {{y}^{*}}=\left( y_{1}^{*}, y_{2}^{*}, \cdots , y_{N}^{*} \right)\in Y $，使$ \forall i\in I, 令 -i=I\backslash \left\{ i \right\} $，有

平衡点一般是不唯一的，所有平衡点的集合依赖于x，记跟随者的平衡点集为K(x)，由x→K(x)定义集值映射K：X→P₀(Y).

领导者同样要使自己的利益最大化，因此要求$ \mathop {\max }\limits_{y \in K\left( x \right)} \varphi \left( {x, y} \right) $，记$ V\left( x \right) = \mathop {\max }\limits_{y \in K\left( x \right)} \varphi \left( {x, y} \right) $，再求出$ \mathop {\max }\limits_{x \in X} V\left( x \right) $，因此主从博弈平衡点(x^*，y^*)应满足

且$ \forall y \in K\left( {{x^*}} \right) $有$ \varphi \left( {{x^*}, {y^*}} \right) \ge \varphi \left( {{x^*}, y} \right) $.

定义1 ^[11]   设X和Y是两个Hausdorff拓扑空间，P₀(Y)是Y中所有非空子集的集合，F：X→P₀(Y)是一个集值映射，则

1) 称集值映射F在x是上半连续的，如果对Y中任意开集G，G⊃F(x)，存在x的开邻域O(x)，使∀x^′∈O(x)，有G⊃F(x^′).

2) 称集值映射F在x是下半连续的，如果对Y中任意开集G，G∩F(x)≠Ø，存在x的开邻域O(x)，使∀x^′∈O(x)，有G∩F(x^′)≠Ø.

3) 称集值映射F在x是连续的，如果集值映射F在x既是上半连续的，也是下半连续的.称集值映射F在X是连续的，如果集值映射F在每一点x∈X都是连续的.

文献[1]用博弈论的语言建立了抽象的模型M={Λ，Χ，F，Φ}，其中：Λ是参数空间，每个λ∈Λ表示一个博弈；X是行为空间，每个x∈X表示一个策略；F：Λ×X→P₀(X)是可行策略，而由F诱导出行为映射S：Λ→P₀(X)，对于∀λ∈Λ，S(λ)={x∈X：x∈F(λ，x)}，集值映射S的图graph(S)={(λ，x)∈Λ×X：x∈S(λ)}，$ \mathit{\Phi} :\text{graph}\left( S \right)\to {{\mathbb{R}}_{+}} $是理性函数.对于∀λ∈Λ，∀ε≥0，定义E(λ，ε)={x∈S(λ)：Φ(λ，x)≤ε}为博弈的ε-平衡点集，特别地，当ε=0时，定义E(λ)=E(λ，0)={x∈S(λ)：Φ(λ，x)=0}为博弈的平衡点集，而Φ(λ，x)=0当且仅当x∈E(λ).

定义2   1)对λ∈Λ，如果∀ε＞0，∃δ＞0，使∀λ^′∈Λ，ρ(λ，λ^′)＜δ，∃x^′∈E(λ^′)且d(x，x^′)＜ε，称x∈E(λ)为博弈λ的本质平衡点.

2) 如果∀x∈E(λ)，x都是博弈λ的本质平衡点，则此博弈λ是本质的.

以下给出有限理性的主要假设条件：

(H1) (Λ，ρ)是一个完备度量空间，(X，d)是一个度量空间；

(H2) 集值映射S：Λ→P₀(X)是上半连续的，且∀λ∈Λ，S(λ)是非空紧集；

(H3) $ \mathit{\Phi} :\mathit{\Lambda} \times X\to \mathbb{R} $满足当x∈S(λ)时，Φ(λ，x)≥0且在(λ，x)是下半连续的；

(H4) ∀λ∈Λ，E(λ)={x∈S(λ)：Φ(λ，x)=0}≠Ø.

引理1 ^[12]   如果(H1)-(H4)成立，则

1) 平衡映射E：Λ→P₀(X)是一个usco映射；

2) 存在Λ中的一个稠密剩余集Q，使∀λ∈Q，M在λ上是结构稳定的；

3) ∀λ∈Q，M在λ对ε-平衡也是鲁棒的.

引理2 ^[11]   设X和Y是两个Hausdorff拓扑空间，{A_α}是X中一族非空紧集网，A_α→A，其中A是X中一个非空紧集，{y^α}是Y中一个网，y^α→y∈Y，{f^α(x，y)}是X×Y上一族连续函数网，$ \mathop {\sup }\limits_{\left( {x, y} \right) \in X \times Y} |{f^\alpha }\left( {x, y} \right) - f\left( {x, y} \right)| \to 0 $，其中f(x，y)是X×Y上一个连续函数，则

引理3 ^[11]   设X，Y和Z是3个度量空间，其中Z是紧的，{A_m}是X中一列非空紧集，{y_m}是Y中一个序列而{φ^m(x，y，z)}是定义在X×Y×Z上的一列连续函数，如果h(Α_m，A) →0，其中h是X上的Hausdorff距离，A是X中的一个非空紧集，y_m→y∈Y，且

其中φ是定义在X×Y×Z上的一个连续函数，则

设X，Y为两个度量空间，定义博弈空间Λ={λ=(φ，f_i，K)：φ在X×Y上是连续的，对任意的i∈I，f_i在X×Y上是连续的，集值映射K在X上是连续的，对任意的x∈X，

记E(λ)是单主多从博弈的平衡点组成的集合，则E(λ)≠Ø，∀λ₁，λ₂∈Λ，定义距离

其中h是X×Y上的Hausdorff距离，假设

则(Λ，ρ)是一个度量空间.

定理1   (Λ，ρ)是一个完备度量空间.

证   设{λ_n}是Λ中的任意一个Cauchy序列，则对∀ε＞0，存在正整数P(ε)，使∀n，m＞P(ε)，有

因为$ {{\mathbb{R}}^{N+1}} $完备，所以对∀(x，y_i，y_-i)∈X×Y_i×Y_-i，∀i∈I，存在函数φ(x，y_i，y_-i)与函数f_i(x，y_i，y_-i)，使得

且存在一个紧集K(x)，使得$ \mathop {\lim }\limits_{m \to \infty } {K_m}\left( x \right) = K\left( x \right) $，且对∀n＞P(ε)，有

容易证明φ在X×Y上是连续的，f_i在X×Y上是连续的，K在X上是连续的.由于$ {\lambda _n} = \left( {{\varphi _n}, f_j^n, {K_m}} \right) \in \mathit{\Lambda} $，则存在$ {x^n} \in X, u_i^n \in Y, \left( {u_i^n, y_{ - i}^n} \right) \in K\left( {{x^n}} \right) $，使得

由于X，Y都是非空紧集，不妨设$ \left( {{x^n}, y_i^n, y_{ - i}^n} \right) \to \left( {{x^*}, y_i^*, y_{ - i}^*} \right) \in X \times {Y_i} \times {Y_{ - i}} $，则

所以有h(K_n(xⁿ)，K(x^*))→0.

设d是Hausdorff线性拓扑空间上的距离函数，则

所以有$ \left( {u_i^*, y_{ - i}^*} \right) \in K\left( {{x^*}} \right) $.

因为f_i在X×Y上是连续的，所以有

于是对∀i∈I，有

对∀i∈I，f_iⁿ，f_i连续，

所以根据引理2，有

于是对∀i∈I，有

由于X是紧集，则存在{u_p1} ⊂X，使u_p1→u，且V_n(u_p1)≤V_n(xⁿ)，

有V_n(xⁿ)→V(x^*).由

且$ |{V_n}\left( {{x^n}} \right) - V\left( {{x^*}} \right)| \to 0 $，

对任意的$ \left( {{u_i}, y_{ - i}^n} \right) \in K\left( {{x^*}} \right) $，有$ h\left( {{K_n}\left( {{x^n}} \right), K\left( {{x^*}} \right)} \right) \to 0 $，则存在$ \left( {{u_{pi}}, y_{ - pi}^n} \right) \in {K_n}\left( {{x^n}} \right) $，使$ \left( {{u_{pi}}, y_{ - pi}^n} \right) \to \left( {{u_i}, y_{ - i}^n} \right) $，因为$ {\varphi _n}\left( {{x^n}, {u_{pi}}, y_{ - pi}^n} \right) \le {\varphi _n}\left( {{x^n}, y_i^n, y_{ - i}^n} \right) $，则

因此λ=(φ，f_i，K)∈Λ，所以(Λ，ρ)是一个完备度量空间.

对∀λ∈Λ，∀(x， y_i，y_-i)∈X×Y_i×Y_-i，定义集值映射S(λ)=X×K(x)，则集值映射S是连续的，且对∀λ∈Λ，S(λ)是一个非空紧集.对∀(x，y_i，y_-i)∈S(λ)，定义单主多从博弈的有限理性函数为：

其中：

w₁(x,u_i, y_-i)作为领导者的平衡条件；w_2i(x，u_i，y_-i)为每个跟随者的Nash平衡条件.

设E(λ)表示单主多从博弈的平衡点集，显然有Φ(λ，(x，y_i，y_-i))≥0，Φ(λ，(x，y_i，y_-i))=0当且仅当(x，y_i，y_-i)∈E(λ).

定理2   Φ(λ，(x，y_i，y_-i))在(λ，(x，y_i，y_-i))上是下半连续的.

证   只需证明：对∀ε＞0，∀λ_n∈Λ，λ_n→λ∈Λ，∀(x_n，y_in，y_-in)∈X×Y_i×Y_-i，(x_n，y_in，y_-in)→(x，y_i，y_-i)∈X×Y_i×Y_-i，则存在正整数N₀，使∀n≥N₀，有Φ(λ_n，(x_n，y_in，y_-in))＞Φ(λ，(x，y_i，y_-i))-ε.

由于K在X上是连续的，且K(x)是紧集，对∀x_n∈X，x_n→x∈X，

所以Kⁿ(x_n)→K(x).

因为φ在(x_n，u_i，y_-in)是连续的，则存在正整数N₁，当∀n≥N₁时，有

由于

所以

又因为(x_n，u_i，y_-in)→(x，u_i，y_-i)，则存在正整数N₂，当∀n≥N₂时，有

同理可得

令N₃=max{N₁，N₂}，则对∀n≥N₃，

于是，对任意的t∈T，根据Cauchy-Schwartz不等式，有

所以

同理可得，对任意的j=1，2，…，N，

综上可得

注1   由定理1和定理2可以得到单主多从博弈满足有限理性的4个主要假设条件，所以单主多从博弈满足引理1的所有性质，于是有以下定理3，4，5成立.

定理3   平衡映射E：Λ→P₀(X)是一个usco映射.

定理4   存在Λ中的一个稠密剩余集Q，使∀λ∈Q，M在λ是结构稳定的.

定理5   ∀λ∈Q，M在λ对ε-平衡也是鲁棒的.

注2   由于Q是稠密集，对于∀λ∈Λ可以用一列λⁿ∈Q对λ任意逼近，其中每个λⁿ都是本质的.对于∀λ∈Q，由于集值映射E：Λ→P₀(X)在λ∈Q上是连续的，且对∀λ^′∈Λ，E(λ^′)是非空紧集，从而有$ \mathop {\lim }\limits_{\lambda ' \to \lambda } h\left( {E\left( {\lambda '} \right), E\left( \lambda \right)} \right) = 0 $，即单主多从博弈Nash平衡点在λ上是稳定的.又Q是第二纲的，所以在Baire分类意义上，大多数的单主多从博弈λ∈Λ都是本质的.

定理6   λ∈Λ，如果E(λ)={(x₁，x₂，…，x_N)}(单点集)，则博弈λ必是本质的.

证   对X中的任意开集O，有O∩E(λ)≠ Ø，由E(λ)={(x₁，x₂，…，x_N)}，有x=(x₁，x₂，…，x_N)∈O，所以O ⊃E(λ)，由于集值映射E：Λ→P₀(X)是一个usco映射，所以集值映射E在λ是上半连续的，则存在λ的开邻域U(λ)，使得∀λ^′∈U(λ)，有O∩E(λ^′)，所以O∩E(λ^′)≠Ø，集值映射E在λ上是下半连续的，从而由定理4知，博弈λ必是本质的.

注3   如果Λ是完备度量空间，而M在λ∈Λ上是结构稳定的，即平衡映射E在λ上是连续的，则表明博弈λ是本质的，定理4正是博弈λ的平衡点集通有稳定性的结果.

注4   如果Λ不是完备度量空间，只需将定理4、定理5中稠密剩余集Q中的“稠密”二字去掉.去掉“稠密”二字，定理4与定理5的结论仍然有意义.

根据定理1，2，6可得以下稳定性结论成立：

推论1   存在一个稠密剩余集Q，使得对∀λ∈Q，∀λ_n∈Λ，λ_n→λ，ε_n→0，有h(E(λ_n，ε_n)，E(λ))→0.

注5   推论1表明当λ∈Q时，虽然博弈λ_n是近似的，求解方法也是近似的(一般来说ε_n＞0但较小)，但可以用有限理性得到的ε_n-平衡点集E(λ_n，ε_n)来近似代替完全理性得到的平衡点集E(λ).注意到Q是第二纲的(或是第二范畴的)，这表明在Baire分类的意义上，或者在非线性分析和拓扑学的意义上，有限理性的引入不会对完全理性之上的模型分析结果产生较大的影响或冲击，这就是本文的理论意义所在.

本文主要研究了有限理性条件下单主多从博弈中平衡点集的稳定性.同时也指出了对于非本质的平衡点集，可以利用有限理性得到的平衡点集来近似代替完全理性得到的平衡点集，也即非本质的平衡点集可以被本质的平衡点集逼近.进一步，可将此结论应用到实际的博弈问题，例如多寡头Stackelberg模型以及地方政府模型等.